专题20 立体几何解答题分类练（原卷版）

专题20立体几何解答题分类练一、长度、面积及体积的计算1.（2023届安徽省安庆市高三第三次模拟）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，为的中点，且．记的中点为，若在线段上（异于、两点）．

(1)若点是中点，证明：面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．2.（2024届江苏省南通市如东高三上学期学情检测）劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，对于培育社会主义建设者和接班人具有重要战略意义.为了使同学娴熟把握肯定劳动技能，理解劳动制造价值，某一般高中组织同学到工厂进行实践劳动.在设计劳动中，某同学欲将一个底面半径为20cm，高为40cm的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.(1)求该圆柱的侧面积的最大值；(2)求该圆柱的体积的最大值.3.（2024届云南省昆明市第一中学高三其次次双基检测）如图，在三棱锥中，平面分别为棱的中点.

(1)证明：；(2)若，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积.二、平行关系的证明4.（2024届安徽省江淮十校高三第一次联考）如图，在五面体中，四边形为正方形，为正三角形，，.

(1)若平面平面，证明：；(2)求二面角的余弦值.5.（2024届山西省忻州市名校高三上学期开学联考）如图，在多面体ABCDE中，平面BCD，平面平面BCD，其中是边长为2的正三角形，是以为直角的等腰三角形，.

(1)证明：平面BCD.(2)求平面ACE与平面BDE的夹角的余弦值.6.（2023届四川省绵阳市涪城区南山中学高三仿真）如图，在多面体ABCDEF中，四边形与均为直角梯形，平面，．

(1)已知点G为AF上一点，且，求证：BG与平面DCE不平行；(2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为，求AF的长及四棱锥D－ABEF的体积．三、垂直关系的证明7.（2023届四川省南充高级中学高三下学期第三次模拟）如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面.

(1)证明：BDCC1；(2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.8.（2024届云南省昆明市第一中学高三上学期第一次月考）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，，平面平面ABCD，且，，点G是EF的中点．

(1)证明：平面ABCD；(2)线段AC上是否存在一点M，使平面ABF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．9.（2024届广东仲元中学高三上学期9月月考）如图，在以为顶点的五面体中，面为正方形，，且二面角与二面角都是.(1)证明：平面平面；(2)求二面角的正弦值.10.（2024届广西百色市贵百联考高三上学期9月月考）四边形为菱形，平面，，，．

(1)设中点为，证明：平面；(2)求平面与平面的夹角的大小．四、线面角的计算11.（2023届河南省部分名校高三仿真模拟）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为，为线段上的动点.

(1)求证：平面；(2)设直线与平面所成的角为，求的取值范围.12．（2023届河南省部分学校高三押题信息卷）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，分别是的中点，平面经过点与棱交于点．

(1)试用所学学问确定在棱上的位置；(2)若，求与平面所成角的正弦值．13．（2024届湖南省三湘创新进展联合体高三上学期9月月考）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，，，E为BC的中点．

(1)证明：．(2)若二面角的平面角为，G是线段PC上的一个动点，求直线DG与平面PAB所成角的最大值．五、二面角的计算14.（2024届新疆巴音郭楞蒙古自治州高三上学期开学考试）在长方体中，，，与交于点，点为中点.

(1)求证：平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值.15．（2024届江西省吉安市第三中学高三上学期开学考试）如图，在四棱锥中，，四边形是菱形，是棱上的动点，且．

(1)证明:平面．(2)是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．16．（2024届江苏省南京市第九中学2高三上学期学情检测）如图，在四棱柱中，，，平面平面，.

(1)求证：平面；(2)若为线段的中点，直线与平面所成角为，求二面角的正弦值.17．（2024届湖北省宜荆荆恩高三9月起点联考）如图，在三棱台中，，，，，且平面.设P，Q，R分别为棱，，的中点.

(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面所成的角的余弦值.六、距离问题18.（2023届海南省高三全真模拟）如图，在平面四边形中，，，将沿向上折起，使得平面与平面所成的锐二面角的平面角最大．

(1)求该几何体中任意两点间的距离的最大值；(2)若，垂足为，点是上一点，证明：平面平面．19.（2023届陕西省宝鸡市高三下学期模考）如图，在长方体中，，和交于点为AB的中点.

(1)求证：平面；(2)已知与平面所成角为，求（ⅰ）平面与平面的夹角的余弦值；（ⅱ）点到平面的距离.七、立体几何探究性问题与开放问题20.（2024届北京市清华高校附属中学高三上学期开学考试）如图，在三棱柱中，平面，点，分别在梭和棱上，且为棱中点．

(1)求证：平面；(2)从下面两个选项中选择一个作为条作，求二面角的余弦值．①；②．21.（2023届福建省宁德第一中学高三一模）如图①在平行四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，得到图②所示几何体．(1)若为的中点，求四棱锥的体积；(2)在线段上，是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为，假如存在，求出的值，假如不存在，说