2021-2022学年上海市复旦附中高一下学期期中考试数学试题(解析版)

期中考试试卷(高中)PAGEPAGE1上海市复旦附中2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．已知向量，则．2．已知为虚数单位，则复数的虚部是．3．已知，则的值为．4．函数的严格减区间为．5．已知，则．6．将函数图像上的点保持纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍后得到函数的图像，再将的图像向上平移1个单位后得到函数的图像，则的函数表达式是．7．设平行四边形中，的重心为，，则．8．已知为虚数单位，，则．9．设函数，其中，且，则的最小值为．10．设锐角的外心为，且，则．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）11．①加速度是向量；②若且，则；③若，则直线与直线平行．上面说法中正确的有个A．0 B．1 C．2 D．312．在中，下列说法中错误的是A． B． C． D．，则为锐角三角形13．设函数，则在，上所有零点的和为A． B． C． D．14．有下面两个命题：①若是周期函数，则是周期函数；②若是周期函数，则是周期函数，则下列说法中正确的是A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误三、解答题（共4小题，满分60分）15．（12分）已知向量．（1）若，求实数的值；（2）若可以构成平面上的一个基底，求实数的取值范围．16．（14分）设是实数，关于的方程有两根，．（1）若，求的取值范围；（2）若，求的取值范围．

17．（16分）在工厂实习中，小宋拿到的材料是一块顶角为的扇形铝板（足够大），现在需要将铝板放在切割机上，加工成一个内角为的三角形工件．（1）小宋的师傅拿出了一个工件样品，其中，求，的值；（2）师傅在小宋的扇形铝板的顶角的角平分线上打了一个点，且，并要求小宋加工的工件的边经过点，则：①用角表示工件的面积；②求的最小值，以及取得最小值时角的大小．18．（18分）已知函数，．若存在使得是严格增函数，那么称为缓降函数”．（本题可以利用以下事实：当时，．（1）判断以下函数是否是“缓降函数”①②（无需写出理由）；（2）求证：是“缓降函数”；（3）已知，求证：是“缓降函数”的充要条件是．

▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．〖解析〗．〖答案〗2．〖解析〗复数的虚部为1．〖答案〗13．〖解析〗已知，，解得．〖答案〗4．〖解析〗对于函数，令，，求得，，可得函数的严格单调减区间为，，．〖答案〗，，5．〖解析〗，则．〖答案〗6．〖解析〗将的图像向下平移1个单位得到，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到．〖答案〗7．〖解析〗平行四边形中，的重心为，，，，，．〖答案〗8．〖解析〗设，，，，，．〖答案〗99．〖解析〗由题意，函数，因为，可得或，，因为，要使得取得最小值，且，所以函数关于，对称，可得，所以，，若，时，可得，其中，，所以，其中，，所以，其中，，因为，当时，可得；若，时，可得，其中，，所以，其中，，所以，其中，，因为，当时，可得．〖答案〗10．〖解析〗设锐角的外接圆的半径为，，，，化为，，化为，，，．〖答案〗8二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）11．〖解析〗①加速度是向量，正确；②若且，取，则与可能不共线，因此不正确；③若，则直线与直线平行或重合，因此不正确．上面说法中正确的有1个．〖答案〗B12．〖解析〗对于A，在中，，所以，故A正确；对于B，，则，且，，在上递减，所以，即，故B正确；对于C，在中，，由正弦定理，得，所以，故C正确；对于D，，可得，则，所以，所以，所以为锐角，但三角形不一定是锐角三角形，所以D错误．〖答案〗D13．〖解析〗令，则，故在，上所有零点问题，即为函数，的图象的交点问题；作出函数在，上的大致图象，如图示：由于的最小正周期，故在，上正好有的11个周期，每个周期内图象和直线都有一个交点，故在，上共有个交点，由于点为，的对称中心，故在，上，，图象的交点也有12个，且，和，上的交点两两关于对称，因此，图象所有交点的横坐标之和为，即在，上所有零点的和为．〖答案〗D14．〖解析〗根据题意，依次分析两个命题的真假：对于①，若是周期函数，则，也是周期函数，①正确；对于②，设，，则，，是周期函数，但不是周期函数，②错误．〖答案〗B三、解答题（共4小题，满分60分）15．解：（1）由已知可得，解得或2．（2）因为可以构成平面上的一个基底，所以不平行，所以，所以且，即实数的取值范围是，，，．16．解：（1），方程有两实根或一对虚根，Δ，即，解得．（2）①若有两个不等实根，由Δ，，，，则，，于是或，②若是两个虚根，则两根为，于是，得到，于是．的取值范围为，，．17．解：（1）因为，所以且为三角形内角，所以或，所以或．所以或，．（2）①在和中由正弦定理，得，，所以，于是；②利用二倍角公式和积化和差公式可得由题意可得．所以当即时，取到最小值．18．（1）解：①是“缓降函数”，②不是“缓降函数”．（2）证明：当时，由题意得，所以再结合所给事实可得：当时，．令，再取，，于是，这说明是“缓降函数”．（3）证明：令.充分性：已知，取，则，于是是严格增函数，所以是缓降函数．必要性：用反证法，当时，若存在使是严格增函数，令，这里代表不大于的最大整数，取．此时，我们知道，这说明与严格增函数矛盾．此即说明不是缓降函数．上海市复旦附中2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．已知向量，则．2．已知为虚数单位，则复数的虚部是．3．已知，则的值为．4．函数的严格减区间为．5．已知，则．6．将函数图像上的点保持纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍后得到函数的图像，再将的图像向上平移1个单位后得到函数的图像，则的函数表达式是．7．设平行四边形中，的重心为，，则．8．已知为虚数单位，，则．9．设函数，其中，且，则的最小值为．10．设锐角的外心为，且，则．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）11．①加速度是向量；②若且，则；③若，则直线与直线平行．上面说法中正确的有个A．0 B．1 C．2 D．312．在中，下列说法中错误的是A． B． C． D．，则为锐角三角形13．设函数，则在，上所有零点的和为A． B． C． D．14．有下面两个命题：①若是周期函数，则是周期函数；②若是周期函数，则是周期函数，则下列说法中正确的是A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误三、解答题（共4小题，满分60分）15．（12分）已知向量．（1）若，求实数的值；（2）若可以构成平面上的一个基底，求实数的取值范围．16．（14分）设是实数，关于的方程有两根，．（1）若，求的取值范围；（2）若，求的取值范围．

17．（16分）在工厂实习中，小宋拿到的材料是一块顶角为的扇形铝板（足够大），现在需要将铝板放在切割机上，加工成一个内角为的三角形工件．（1）小宋的师傅拿出了一个工件样品，其中，求，的值；（2）师傅在小宋的扇形铝板的顶角的角平分线上打了一个点，且，并要求小宋加工的工件的边经过点，则：①用角表示工件的面积；②求的最小值，以及取得最小值时角的大小．18．（18分）已知函数，．若存在使得是严格增函数，那么称为缓降函数”．（本题可以利用以下事实：当时，．（1）判断以下函数是否是“缓降函数”①②（无需写出理由）；（2）求证：是“缓降函数”；（3）已知，求证：是“缓降函数”的充要条件是．

▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．〖解析〗．〖答案〗2．〖解析〗复数的虚部为1．〖答案〗13．〖解析〗已知，，解得．〖答案〗4．〖解析〗对于函数，令，，求得，，可得函数的严格单调减区间为，，．〖答案〗，，5．〖解析〗，则．〖答案〗6．〖解析〗将的图像向下平移1个单位得到，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到．〖答案〗7．〖解析〗平行四边形中，的重心为，，，，，．〖答案〗8．〖解析〗设，，，，，．〖答案〗99．〖解析〗由题意，函数，因为，可得或，，因为，要使得取得最小值，且，所以函数关于，对称，可得，所以，，若，时，可得，其中，，所以，其中，，所以，其中，，因为，当时，可得；若，时，可得，其中，，所以，其中，，所以，其中，，因为，当时，可得．〖答案〗10．〖解析〗设锐角的外接圆的半径为，，，，化为，，化为，，，．〖答案〗8二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）11．〖解析〗①加速度是向量，正确；②若且，取，则与可能不共线，因此不正确；③若，则直线与直线平行或重合，因此不正确．上面说法中正确的有1个．〖答案〗B12．〖解析〗对于A，在中，，所以，故A正确；对于B，，则，且，，在上递减，所以，即，故B正确；对于C，在中，，由正弦定理，得，所以，故C正确；对于D，，可得，则，所以，所以，所以为锐角，但三角形不一定是锐角三角形，所以D错误．〖答案〗D13．〖解析〗令，则，故在，上所有零点问题，即为函数，的图象的交点问题；作出函数在，上的大致图象，如图示：由于的最小正周期，故在，上正好有的11个周期，每个周期内图象和直线都有一个交点，故在，上共有个交点，由于点为，的对称中心，故在，上，，图象的交点也有12个，且，和，上的交点两两关于对称，因此，图象所有交点的横坐标之和为，即在，上所有零点的和为．〖答案〗D14．〖解析〗根据题意，依次分析两个命题的真假：对于①，若是周期函数，则，也是周期函数，①正确；对于②，设，，则，，是周期函数，但不是周期函数，②错误．〖答案〗B三、解答题（共4小题，满分60分）15．解：（1）由已知可得，解得或2．（2）因为可以构成平面上的一个基底，所以不平行，所以，所以且，即实数的取值范围是，，，．16．解：（1），方程有两实根或一对虚根，Δ，即，解得．（2）①若有两个不等实根，由Δ，，，，则，，于是或，②若是两个虚根，则两根为，于是，得到，于是．的取值范围为，，．17．解：（1）因为，所以且为三角形内角，所以或，所以或．所以或，．（2）①在和中由正弦定理，