高中数学各个击破9知识资料点线面位置关系125

千里之行，始于足下朽木易折，金石可镂Word-可编辑高中数学各个击破高中数学高中数学各个击破1（集合与简易逻辑）各个口击破高中数学各个击破2（重要不等式）高中数学各个击破3（函数的性质）高中数学各个击破4（基本初等函数）高中数学各个击破5（异常函数）高中数学各个击破6（三角函数）高中数学各个击破7（解三角形）高中数学各个击破8（向量与复数）高中数学各个击破9（点线面位置关系）高中数学各个击破10（空间角与空间距离）高中数学各个击破11（异常空间几何体）高中数学各个击破12（直线与圆）高中数学各个击破13（圆锥曲线的定义与性质）高中数学各个击破14（圆锥曲线的弦长与面积）高中数学各个击破15（圆锥曲线的定点定值问题）高中数学各个击破16（数列与通项）高中数学各个击破17（数列求和）高中数学各个击破18（导数的概念与运算）高中数学各个击破19（导数的应用）高中数学各个击破20（函数的零点）舒华瑛•编著高中数学各个击破21（计数原理）高中数学各个击破22（概率）高中数学各个击破23（统计与统计分析）提质、减负、增效哪里不足补哪里担心“浙大数学优辅”B站看见名师公益讲座担心“浙大数学优辅”分享“浙大数学优辅”培优资讯浙大数学优辅学习交流群：浙江大学出版社点线面位置关系高中数学各个击破9点线面位置关系舒华瑛编著斯理炯审定图书在版编目(CIP)数据高中数学各个击破.9,点线面位置关系/舒华瑛编著.-杭州:浙江大学出版社,2024.5ISBN978-7-308-24876-1I.①高...II.①舒...III.①中学数学课一高中一教学参考资料IV.①G634.603中国国家版本馆CIP数据核字(2024)第082327号高中数学各个击破9点线面位置关系舒华瑛编著策划陈海权(:)责任编辑夏晓冬责任校对陈海权封面设计林智广告出版发行浙江大学出版社(杭州市天目山路148号邮政编码310007)(:http://www.zjupress.com)排版杭州朝曦图文设计有限公司印刷杭州杭新印务有限公司开本889印张7.75字数169千版印次2024年5月第1版2024年5月第1次印刷书号ISBN978-7-308-24876-1定价26.60元版权所有侵权必究印装差错负责调换浙江大学出版社市场运营中央联系方式:0571-1;http://zjdxcbs.tmall.com新课程、新评价对学生的要求从“知识、能力立意”转向“价值引领、素质导向、能力为重、知识为基”;新课标把高中数学分成五个主题,并强化单元整体教学.由此不难发现,这一轮课改的目标是在价值引领前提下,在数学课程教学中体现素质导向.实现这个目标的途径是多样的、展开的,兴许主题化和单元化就是核心路径.而“高中数学各个击破”系列图书(以下简称“各个击破”)正是编者对主题化和单元化的有效融合的追求.“各个击破”实现化整为零.“各个击破”把高中数学必修五大主题和挑选性必修四大主题整合成了23个大单元,每个大单元自立成册,每册又按照教学内容及顺序设置了58个小单元,每个小单元设计了6∼10道例题,同时配套包含“基础过关”“综合练习”和“拓广提升”三个层次的达标检测试题10∼16道,每个分册最后设置一个进阶特训,是对大单元整体的回顾与检测.“各个击破”在对高中数学所有知识点各个击破的同时,通过渗透与提炼对高中数学思想“各个击破”突出个性辅导.“各个击破”既有整体设计,同时又自立成册,倡导“提质”“减负”.“各个击破”的使用,既可以是学生按照学习情况,针对自己的薄弱环节挑选分册举行专项突破;也可以把“各个击破”作为同步教辅,在每一章节新授课结束之后,协助学生对所学知识和主意举行逐一突破,实现对大多数学生的个性化辅导.“各个击破”凸显八大特色.“各个击破”紧紧围绕新课程、新评价和新教学,并以此展示编写特色.首先,观念的前瞻性.“各个击破”与新课程、新高考全面接轨,在题量上落实“双减”政策,更多地担心例题、习题的内涵和教学价值;在题型上紧随全国卷试题结构,设有多选题、多空题、应用题和各类创新型试题.第二,知识的残破性.“各个击破”郑重按照《普通高中数学课程标准(2023年年年版2023年年年修订)》编写,通过23个自立成册的大单元涵盖高中数学所有重要知识点,在每一分册小单元的“要点提炼”栏目中都有对核心知识的概括提炼.第三,内容的同步性.“各个击破”固然以大单元形式自立成册,但在知识形成的逻辑顺序上不超前,所以每一单册都既可作为教学同步辅导用书,也可作为阶段性辅导用书.第四,例题的针对性.“各个击破”对例题的设计精益求精,每道例题会针对相应知识点,解决一类问题,而且在解决问题的过程中,都会推荐与总结数学方法并潜移默化地渗透相应的数学思想.第五,习题的有效性.“各个击破”对习题的选配,郑重遵从配套与拓展的原则,每道习题都是对单元知识或例题的一种有效反馈,通过对习题的系统训练,不仅可以巩固本单元知识,同时能对所涉思想主意有更深的认识.第六,检测的阶梯性.“各个击破”对知识与主意的检查,呈阶梯状设计,异常是在“达标检测”栏目,不仅设有“基础过关”和“综合练习”,还有应对高考压轴题或强基的“拓广提升”,以此满意学生对知识与主意不同深度和广度的要求.第七,主意的全面性.“各个击破”的每个小单元都设有“主意归纳”栏目,在此栏目中,不仅有对例题和习题涉及思想主意的总结,也有对思想主意的拓展与普通化,还有对思想主意的全面分类与归纳.第八,编委的权威性.“各个击破”所有分册均由浙江省内名校或教研单位名师自立编著,每一分册都凝结了名师的教学经验堆积与成绩分享,同时每一分册还邀请了省特级教师审定,所以“各个击破”的编写者及编委是权威的.“各个击破”编写历时一年多,在编写与审校过程中,得到了镇海中学、杭州二中、学军中学、温州中学、慈溪中学、绍兴一中、嘉兴一中、金华一中、湖州中学、舟山中学等二十多所小学的教师和学生的大力支持,在此对参加“各个击破”审稿与校对的教师和学生表示衷心谢谢.衷心希翼读者能通过“各个击破”的使用,实现对高中数学的“各个击破”,也祝福大家使用“各个击破”之后,在各类考试中取得优异的成绩!因为时光仓促,也受能力所限,书稿虽经多次审校,但其中难免存在谬误,敬请专家、读者批评指正.“各个击破”与人教A版教材的对应年级教材分册教材目录对应分册高一必修第一册第一章章集合与常用逻辑用语各个击破1第二章一元二次函数、方程和不等式各个击破2第三章函数的概念与性质各个击破3第四章指数函数与对数函数各个击破4第五章三角函数各个击破6必修第二册第六章平面向量及其应用各个击破7、8第七章复数第八章立体几何初步各个击破9第九章统计各个击破23第1∼3第十章概率各个击破22第1讲高二挑选性必修第一册(1)第一章空间向量与立体几何各个击破10第二章直线与圆的方程各个击破12第三章圆锥曲线的方程各个击破13挑选性必修第二册第四章数列各个击破16、17第五章一元函数的导数及其应用各个击破18、19、20挑选性必修第三册第六章计数原理各个击破21第七章随机变量及其分布各个击破22第2∼5第八章成对数据的统计分析各个击破23第4∼5“各个击破”各分册作者及审定分册作者特级教师审定高中数学各个击破1（集合与简易逻辑）金尔鑫施小斌高中数学各个击破2（重要不等式）张艳宗卢明高中数学各个击破3(函数的性质)陆雯君叶琪飞高中数学各个击破4(基本初等函数)俞定范东晖高中数学各个击破5(异常函数俞健聪刘晓东高中数学各个击破6(三角函数)万松强戴海林高中数学各个击破7(解三角形)余海东周建平高中数学各个击破8（向量与复数）施利强周丕芬高中数学各个击破9(点线面位置关系)舒华瑛斯理炯高中数学各个击破10(空间角与空间距离周艳林鉴强高中数学各个击破11(异常空间几何体)金建军虞金龙高中数学各个击破12(直线与圆)沈海全陈柏良高中数学各个击破13(圆锥曲线的定义与性质)周海军沈虎跃高中数学各个击破14(圆锥曲线的弦长与面积)纪斐谢尚志高中数学各个击破15(圆锥曲线的定点定值问题范虹燕张金良高中数学各个击破16(数列与通项邵建文费红亮高中数学各个击破17(数列求和)任燕巧李柏青高中数学各个击破18(导数的概念与运算丁君斌蒋荣清高中数学各个击破19(导数的应用)陈茂慧金雪东高中数学各个击破20(函数的零点)张仲斐章水云高中数学各个击破21(计数原理)盛耀建张中华高中数学各个击破22(概率)陈巴尔李芳高中数学各个击破23(统计与统计分析)滕诗媛李金兴中日录第1讲空间点、直线、平面之间的位置关系//1第2讲空间直线与直线、直线与平面平行//12第3讲平面与平面平行//22第4讲空间直线与直线、直线与平面垂直//33第5讲平面与平面垂直//46第6讲应用位置关系求解空间距离与角//56第7讲空间中的轨迹问题//69进阶特训//81参考答案//85第A讲空间点、直线、平面之间的位置关系学习目标1.借助几何模型,归纳空间点、直线、平面的位置关系,会用点、线、面的关系刻画平面的基本特征;2.会将图形语言、文字语言、符号语言举行转化,能应用三个基本领实及其推论解决相关问题.要点提炼1.基本领实1文字语言图形语言符号语言作用过不在一条直线上的三个点,有且惟独一个平面.若C∉直线AB,则有且只有一个平面α,使得A∈α,决定平面.2.基本领实2文字语言图形语言符号语言作用倘若一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.若A∈l,B∈l,且A∈α①判断线在平面内；②判断点在平面内(体现有限到无限的思想).3.基本领实3文字语言图形语言符号语言作用倘若两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且惟独一条过该点的公共直线.若P∈α且P∈β,则α∩β=①判断两个平面相交；②判断及证实点共线；③判断及证实线共点.4.推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且惟独一个平面.5.推论2:经过两条相交直线,有且惟独一个平面.6.推论3:经过两条平行直线,有且惟独一个平面.7.空间直线与直线的位置关系:平行、相交、异面.直线与直线共面平行相交不共面:异面 8.空间直线与平面的位置关系:平行、相交、直线在平面内.直线与平面直线在平面外平行相交直线在平面内 9.空间平面与平面的位置关系:平行、相交.平面与平面有公共点:相交10.两直线异面的判定定理文字语言图形语言符号语言作用过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线互为异面直线.若直线AB∩α=B,A∉α,a⊂判断两条直线异面.范例精讲例1(多选题)在下列条件下,能决定一个平面的有()A.圆心与圆上两点B.三角形的三个顶点C.空间的随意两条直线D.梯形解析:当圆上两点是圆的直径时不能决定平面,故选项A不准确.三角形的三个顶点不共线,按照“基本领实1”,能决定一个平面,故选项B准确.当两直线异面时,不能决定平面,故选项C不准确.梯形两腰所在直线相交,按照“推论2”能决定一个平面,或者梯形两底边所在直线平行,按照“推论3”能决定一个平面,故选项D准确.故选BD.评注:判定点、线能否决定平面时,借助几何模型直观判断,或按照“基本领实1”及三个推论判断.例2如图,在正方体ABCD−A1A1BC1的交点H是解析:(主意一)连结B1D,B1D平面A1BC1∩因为H∈B1D,B1D⊂平面B1又因为H∈平面A1所以点H是平面A1BC1与平面按照“基本领实3”,H∈直线BO,即点H在△A1BC连结B1C,A1D,记B1C∩BC1=P所以H是△A1(主意二)同主意一,证得点H在△A1BC1连结BD在矩形BDD1B1中,△B所以OH=12BH,所以H所以H是△A1评注:先按照“基本领实1,2”及推论决定平面,以及决定点在平面内,直线在平面内;再由“基本领实3”证实三点共线,从而证实H是△A1BC1例3如图,在正方体ABCD−A1B1C1D图1CC1的中点,求证:D解析:(主意一)因为D1,所以D1,E,F三点决定如图1,分离延伸D1E与DA相交于点所以G∈直线D1E,所以G∈平面同理设直线D1F∩DC=H,则又因为点G,B,H均在平面ABCD内,且点所以AG=AD=A所以∠ABG=45∘因为∠ABC=90∘因为GH⊂平面α,所以B∈平面所以D1,(主意二)如图2,取DD1的中点为M,连结E图2因为EM//AD所以EM//BC所以四边形BCME为平行四边形,所以又因为MC//D1F所以D1,评注:主意一先利用“基本领实1”说明D1,E,F三点决定一平面,然后再利用“基本领实2”证实例4如图,在正四棱柱ABCP−A′B′C′PB′C(1)请在正四棱柱ABCP−A′B′(2)若Q,R分离为A′B′,B′解析:(1)作直线QR分离交P′A′,P′C图1MP交AA′于点S,连结PN交CC′于点T,连结S(2)(主意一)如图2,连结QR,AC,A因为Q,R分离为A′B′,又因为AC//A′C而AC=2QR图2设AQ∩CR=O因为AQ⊂平面A′AB,所以O∈平面A′AB又因为平面A′AB∩平面C′C即AQ,(主意二)延伸CR,BB′按照△ORB′∽△延伸AQ,BB′按照△O′QB′∽所以点O与点O′重合,所以AQ评注:(1)作截面的基本步骤如下.(2)主意一是先用“基本领实1”证实两条直线相交于一点,再说明这一交点是两个平面的公共点,第三条直线是这两个平面的交线,按照“基本领实3”得到交点落在交线上,所以三线共点;主意二是先证实直线CR与BB′交于点O,再证实BB′与AQ交于点O′,最后证实点例5已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一个平面内,M,N分离为AB,DF解析:(主意一)假设ME⊂设EN∩CD=K,则K所以点K是平面ABCD与平面因为α∩平面AB由“基本领实3”得K∈直线AB所以CD∩AB=K所以直线ME与BN(主意二)假设直线ME与BN则AB⊂平面MBEN,且平面MB由已知得两正方形不共面,则AB⊄平面D又因为AB//CD,CD⊂平面DCEF,所以而AB//CD//EF所以ME与BN评注:主意一假设两直线共面,按照“基本领实3”判断三线共点,与“其中的两条直线平行”矛盾,从而假设不成立,原命题成立.主意二假设两直线共面,按照线面平行与线线平行的转化,导出矛盾,从而假设不成立,原命题成立.例6(多选题)已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1,动点P,Q分离在棱BC,CC1上,过点A.当x=0时,ΩB.当x=y=12C.当x=12,y=D.当x=12,y∈12,1时,设Ω与棱解析:如图1,作QE//AB交DD图1截面Ω即为截面ABQ因为BQ=故截面Ω的面积的最大值为2,故选项A错误.如图2,延伸AP交DC的延伸线于点H则H∈平面APQ,H∈图2所以H是平面APQ和平面C因为直线D1Q为平面APQ与平面所以H∈直线D1Q,连结HQ,则截面Ω为截面当x=y=12时,截面Ω为等腰梯形,故选项如图3,延伸AP交DC的延伸线于点H,连结HQ并延伸交C1D1于点R,交DD1的延长线于点N,连结AN交A1D1于点G,连结GR,当x=12,y当x=1图3因为AB//CH,所以CH因为CQ=y,所以因为RC1//CH,所以C因此,RD1=1−1y故选BD.评注:用一个平面去截几何体,三个基本领实及推论常作为决定截面的根据,可将作截面的问题转化为作平面与平面的交线的问题,进一步转化为两条直线的交点问题.例7有一容积为a3 cm3的正方体容器ABCD−A1B1C1D1解析:当水面过直线FG时,如图1,水面截去正方体ABCD−A1B1C1D1所得几何体为三棱柱MB合时,截去的几何体体积最小为12×图1图2当水面过直线EF时,如图2,水面截去正方体ABCD−A当点G在水面上方或水面上时,容器中的水不会漏出,且当点G在直线FQ上时,截去的几何体为三棱柱,且体积最小为12当水面过直线EG时,如图3,当点F在水面上方或水面上时,容器中的水不会漏出,此时水面截去正方体ABCD−A1B1C1D1易知梯形BCTR的面积为正方形此时,几何体EBR−SCT图3图4当RT与直线B1C重合时,如图4,此时,点F在水面上方,容器不会漏水,水面截去正方体ABCD该三棱锥的体积为VE−综上,水面截去正方体ABCD−A1因此,该容器可装水的最大容积是a3−评注:分离研究水面过直线EF,(主意归纳本节内容主要涉及应用基本领实及其推论判断与证实空间点线面的位置关系,以及利用基本领实及其推论作截面的问题,归纳总结如下.1.判断空间点、直线、平面的位置关系(1)定义法:按照空间点、直线、平面的位置关系的定义判断位置关系;（2）借助几何模型直观判断空间点、直线、平面的位置关系.2.判断与证实两条直线异面(1)判定定理法:过平面外一点与平面内一点的直线,和该平面内不经过该点的直线互为异面直线;（2）反证法:假设两条直线共面,导出矛盾,从而证实两条直线异面.3.判断与证实点共面(1)应用基本领实1:先由不共线的三点决定一个平面,再证实其余的点也在这一平面内;(2)应用推论1:将证实n个点共面的问题转化为证实其中有n−1（3）应用推论2:证实这些点都落在两条相交直线上;(4)应用推论3:证实这些点都落在两条平行直线上.4.判断与证实点共线应用基本领实3:先决定两个平面,再证实这些点都是这两个平面的公共点.5.判断与证实线共点应用基本领实3:先证实两条直线相交且交点是某两个平面的公共点,第三条直线是这两个平面的交线,再证实交点落在交线上,从而证实三线交于一点.6.作截面女基础过关1.如图,在长方体ABC(1)直线A1B与直线C(2)直线B1C1与平面ADD1(3)直线DD1与平面A(4)平面A1BC1与平面2.下列说法中准确的是()A.两两相交的三条直线必在同一平面内B.若四点不共面,则其中随意三点都不共线C.在空间中,四边相等的四边形是菱形D.在空间中,有三个角是直角的四边形是矩形3.下列说法中准确的是()A.一定存在与两条异面直线都平行的平面B.过空间一点,必能作一个平面与两条异面直线都平行C.若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等,则αD.平行于同向来线的两个平面平行4.如图,△ABC在平面α外,它的三边所在直线分离交平面α于P,Q,R5.如图,在三棱柱ABC−A1B1C1中,E为棱AB(1)求证:A1E(2)求证:E,F6.如图,在四面体A−BCD中,E,F求证:直线EF与直线AB综合练习7.(多选题)下列各图中,G,N,M,H分离是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GA.B.C.D.8.(多选题)如图,平面α∩β=l,A,B∈α,C∈β,C∉l,直线A.点AB.点BC.点CD.点D9.(多选题)如图,已知ABCD−A1B1C1直线A1C交平面AB1D1于点A.A,MB.A,MC.A,MD.B,B10.如图,正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为(1)画出过点D,M,N的平面与平面BB1(2)设过点D,M,N的平面与B1C1交于点11.如图,已知M,N,P是正方体ABC点,则平面MNP截正方体ABCA.三角形B.四边形C.五边形D.六边形12.(多选题)已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段A.当0<CQ≤12B.当CQ=34时,C.当34<CQ<1D.当CQ=1时,女拓广提升13.(多选题)空间中与两两异面的三条直线a,b,c都相交的直线A.至多1条B.不少于3条C.至多3条D.无穷多条14.如图,正方体ABCD−EFGH的一个截面经过顶点点K,且将正方体分成体积比为3:1的两部分,则第Q讲空间直线与直线、直线与平面平行1学习目标1.会用基本领实4证实空间直线与直线的平行关系,会用等角定理证实角相等或求角;2.借助几何模型,归纳直线与平面平行的判定定理和性质定理,能应用直线与平面平行的性质定理和判定定理解决相关问题.要点提炼1.基本领实4文字语言图形语言符号语言作用平行于同一条直线的两条直线平行.若a//b,b/判断及证实直线与直线平行.2.等角定理文字语言图形语言符号语言作用倘若空间中两个角的两条边分离对应平行,那么这两个角相等或互补.若AB//A′B′,AC证实角相等或求角.3.直线与平面平行的判定定理文字语言图形语言符号语言作用倘若平面外一条直线与此平面内一条直线平行,那么该直线与此平面平行.若a⊄α,b⊂α,且a判断及证实直线与平面平行.4.直线与平面平行的性质定理文字语言图形语言符号语言作用一条直线与一个平面平行,倘若过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行.若a//α,a⊂①证实线线平行；②决定直线的位置；③作截面.5.常用结论1文字语言图形语言符号语言作用一条直线与两个相交平面分离平行,则该直线与这两个平面的交线平行.若a//α,a/①证实线线平行；②决定直线的位置.6.常用结论2文字语言图形语言符号语言作用平面外两条平行直线中的一条与此平面平行,则另一条也与该平面平行.若a⊄α,a//b,且证实线面平行.范例精讲例1已知a⊄α,b⊂α解析:假设直线a与平面α不平行,已知a⊄α,则直线a与平面α如图,设直线a∩平面α=因为a//b,所以直线a与b可以决定一个平面因为直线a∩平面α=P,P∈平面α且P又因为a⊂β,所以P∈平面β,即P是平面α与平面而平面α∩β=b,按照基本领实3,点P∈直线b所以假设不成立,原命题成立,即a//评注:本题采用了线面平行的定义证实线面平行,定义法往往需要借助于反证法.例2若一条直线与两个相交平面同时平行,则该直线与这两个平面的交线平行.证实:如图1,已知直线l//平面α,直线l//平面β,α图1图2如图2,因为直线l//平面α,l⊂平面σ,平面α∩平面σ因为直线l//平面β,l⊂平面δ,平面β∩平面δ按照平行的传递性,有直线a//b,又因为直线b⊄α,直线a⊂又b⊂β,α∩β=n,所以b评注:本题体现了线线平行与线面平行的互相转化,详细流程如下.例3如图,在四面体P−ABC中,E,的中点,设G是OC的中点,证实:FG//平面证实:如图,连结FA,设FA∩EB=因为E,F分离为A所以点D为△PAB的重心,所以又因为AOAG=23因为DOC平面BOE,F所以FG//平面评注:要证线面平行只需要在平面内找一条直线与已知直线平行即可.难点是决定平面内的这条直线:过已知直线作平面与已知平面相交,这条交线就是要找的直线.例4如图,空间四边形ABCD的对棱AD,BC4,BC=6,平行于AD,BC的截面分离(1)求证:四边形EFG(2)求截面EFG(3)求截面EFG解析:(1)因为BC//平面EFGH,BC⊂平面A所以BC/又因为BC⊂平面DBC,平面DBC所以BC//HG同理EH//FG(2)设AE=λAB,按照等角定理,∠EFG=60∘所以SEFGH=24λ1−λ(3)因为周长为2EF所以截面EFGH的周长的范围是评注:(1)本题是利用线面平行的性质证实线线平行,从而证实四边形是平行四边形,体现了线线平行与线面平行的转化;(2)应用等角定理,决定平行四边形的内角,再把平行四边形的面积用λ表示出来,最后求关于λ的函数的最值;(3)按照线线平行,用定比λ将平行四边形的周长表示出来,再按照定比范围,求出周长范围.例5如图,在底面是菱形的四棱锥P−ABCD中,点E且PE:ED=2:1.棱PC上是否存在一点F,使解析:存在,F为PC的中点,证实如图1,连结BD,FD,设AC∩BD=O,DF∩图1图2如图2,在△PCD中,取PE的中点因为F为PC的中点,所以FG又E为GD的中点,所以H为DF的中点,所以O因为OH⊂平面AEC,BF⊄平面AEC评注:本题是已知线面平行,探索直线的位置.普通的步骤是先“猜”再“证”.难点是“猜”直线的位置,破解难点的策略是:转化为过已知平面AEC外一点B作直线BF与平面AEC平行,过直线BF作一个平面BFD与平面AEC相交,按照线面平行的性质定理,直线BF与交线OH平行.按照点O的位置决定点H例6如图,在四棱台ABCD−A1四边形,且AB=2A1B1,F是棱C1D1的中点,在棱DD1上是否存在一点解析:存在点E,且DE=2D如图1,延伸AA1,BB1,CC1,DD1交于一点P,取CD的中点为图1图2如图2,延伸BG,AD交于点Q,则因为Q∈直线BG,所以Q∈平面又因为Q∈直线AD,所以Q∈平面PAD,即Q是平面A1而A1也是平面A1BG与平面所以平面A1BG∩平面PAD=A1Q,所以A在△PAQ中,D为AQ的中点,A1所以E为PD的三等分点,即DE因为几何体ABCD−A1而B1F⊄平面A1BE,BG⊂平面A评注:本题是已知直线与平面平行,探索平面的位置.普通的步骤是先“猜”再“证”.难点是“猜”平面的位置,破解难点的策略是:转化为过两条异面直线B1F和A1B中的一条直线A1B作平面A1BGE与另一条直线B1F平行,再转化为作直线B1F的平行线BG,使得直线B例7如图,在四棱柱ABCD−A1形,且满意AB=2DC.在A1B1上是否存一点P,使得DP与平面解析:存在点P,且P为A1B1如图,因为P为A1B所以PB1//AB又因为DC/所以DC//PB1所以四边形DCB1P为平行四边形,从而又CB1⊂平面ACB1所以DP//平面ACB1.同理D评注:本题是已知直线与两个相交平面平行,探索直线的位置.普通的步骤是先“猜”再“证”.难点是“猜”直线的位置,破解难点的策略是:应用例2的结论,转化为作这两个相交平面的交线的平行线.例8如图是一块四棱锥木料,四边形ABCD是正方形,面ABCD,PA=AB=2(1)若要经过点E和棱AB(2)若要经过点B,E解析:(1)如图1,因为AB//CD,AB⊄图1所以AB//平面又AB⊂平面ABE,设平面ABE则AB//l,所以设PD的中点为G,连结EG,AG即EG就是直线l,(2)如图2,延伸BF和CD交于点Q因为Q∈CD,所以Q∈平面图2又因为Q∈BF,所以Q∈平面所以点Q是平面PCD与平面B又因为点E也是平面PCD与平面B所以直线EQ是平面PCD和平面设EQ∩PD=H,连结H在△PCQ中,E为PC中点,D为所以H为△PCQ的重心,即评注:(1)按照线面平行的判定定理可得AB//平面PCD,设PD的中点为G,(2)借助三个基本领实与推论作出截面,按照线线平行及三角形的性质决定点H的位置,EH,行法归纳本节内容主要涉及线线平行与线面平行的转化和已知线面平行探索点的位置这两种题型,以下将结合例题对这两种题型举行归纳总结.1.证实角相等或求角先证实两个角的两条边分离对应平行,再利用等角定理得到两角相等或者互补.2.空间线线平行的判定与证实(1)初中学习过判定两条直线平行的主意:在平面内与同向来线垂直,三角形的中位线,平行四边形的对边,平行线分线段成比例等;(2)基本领实4:平行于同一条直线的两条直线平行;(3)线面平行的性质定理:过已知直线作平面与已知平面相交,则交线与已知直线平行.3.直线与平面平行的判定与证实(1)线面平行的定义:直线与平面没有公共点;(2)直线与平面平行的判定定理:只要在这个平面内找一条直线与平面外的已知直线平行即可.4.直线与平面平行中的探索性问题从结论出发,分析得到使结论成立的充足条件.(1)已知l//α,探索直线l的位置:若直线l过点P,则转化为过已知平面α外一点P作直线PQ与平面α平行,过直线PQ作一个平面β与平面α相交,按照(2)已知l//α,探索平面α的位置:转化为过两条异面直线中的一条直线a作平面α与另一条直线b平行,即作直线b的平行线c,使得直线c与a相交,a与c达标检测★基础过关1.直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的()A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.随意一条直线都不相交D.无数条直线不相交2.若a,b表示直线,αA.若a//b,B.若a//α,C.若a//b,D.若a//α,b⊂α,则a//b3.如图,在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点4.如图,平行四边形ABCD与平行四边形ABEF不在同一平面内,M,N分离为对角线AC,BF上的点,且A5.已知三个平面两两相交,有三条交线,求证:三条交线交于一点或互相平行.6.如图,某地质队自水平地面A,B,C三处垂直向地下钻探,自点A向下钻到A1处发现矿藏,再继续下钻到A2处后下面已无矿,从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2=d1.同样可得在B,C处正下方的矿层厚度分离为B1B2=d2,C1C2=d3,且d综合练习7.(多选题)在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AABCD8.如图,在四面体PABC中,PC⊥AB,PA⊥(1)求证:DE//平面(2)求证:四边形DEF(3)是否存在点Q,使点Q到四面体PAB9.如图,在三棱锥D−ABC中,E为BC的中点,点F在棱AC上,且AF=3FC.若M为BD的中点,问AC上是否存在一点N10.如图,在四棱锥P−ABCD中,AD//BC,BC=CD=12AD,11.如图,正四棱锥S−ABCD别在BD和SC上,并且BP:PD=1:2,P12.在棱长为10的正方体ABCD−A1B1C1D1中,P为左侧面ADD1A1上一点,已知点P到A1D1的距离为3,点P到A.AA1B1C.CC1D113.如图,在正方体ABCD−A1B1C1D1的表面A1B1C1D女拓广提升14.如图,正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1,在侧面向角线A1D上取点M,在CD1上取点NB.22D.215.(多选题)如图,点O是正四面体PABC底面ABC的中央,过点O的直线分离交AC,BC于点M,N,S是棱PC上的点,平面SMN与棱PA的延伸A.若MN//平面PAB.存在点S与直线MN,使C.存在点S与直线MN,使PC⊥D.1第S讲平面与平面平行1学习目标1.借助几何模型,归纳面面平行的判定定理和性质定理,能应用面面平行的性质定理和判定定理解决相关问题;2.认识空间三种平行关系的互相转换.要点提炼1.平面与平面平行的定义文字语言图形语言符号语言作用两个平面没有公共点.若α∩β=⌀,则①判断及证实面面平行；②判断及证实线面平行：α//2.平面与平面平行的判定定理文字语言图形语言符号语言作用倘若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行.若a⊂β,b⊂β,a∩b判断及证实面面平行.3.平面与平面平行的判定定理的推论文字语言图形语言符号语言作用倘若一个平面内的两条相交直线分离平行于另一个平面内的两条直线,则这两个平面平行.若a⊂β,b⊂β,a∩b=P判断面面平行.4.平面与平面平行的传递性文字语言图形语言符号语言作用平行于同一平面的两平面平行.若α//γ,β/判断及证实面面平行.5.平面与平面平行的性质定理文字语言图形语言符号语言作用两个平面平行,倘若另一个平面与这两个平面相交,则两条交线平行.若α//β,γ∩α=判断及证实线线平行.范例精讲例1在下列条件中,可判断平面α与β平行的是()A.平面α,β都垂直于平面B.平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等C.l,m是平面α内的两条直线,且D.l,m是两条异面直线,且解析:反例是长方体共顶点的三个面,故选项A错误.当α∩β=b,且在平面α内直线b一侧有两点,另一侧有一个点,这三点到平面β的距离相等时,不能推出α//当l//m时,不能推出α//β因为l//α,l//β,所以存在过直线l的平面γ,有α∩γ=l因为m//α,m//β,则存在过直线m的平面δ,有α∩δ=m1,又l,m是两条异面直线,则l1,m1是平面α内的两条相交直线,所以α/故选D.评注:借助几何模型,举例说明并判断选项A,B,C不例2(1)已知a⊂β,b⊂β(2)已知平面α,β,γ,且α//解析:(1)假设β∩α因为a//α,a⊂同理b//l,所以与a∩b=P矛盾,所以（2）如图,在平面β上任取一条直线n,过直线n作平面δ交平面α于直线m,交平面γ于直线l.因为α//β,β//γ,所以因为m⊄γ,l⊂γ同理在平面β上再取一条直线p使得n与p相交于点C,过直线p作平面ε交平面α于直线t,交平面γ于直线s,可证s//因为m⊄γ,s⊂γ因为m∩t=B,由面面平行判定定理可证评注:(1)用面面平行的定义证实两个平面平行常需要借助反证法;(2)在平面β中找两条相交直线,分离过这两条直线作平面,与平面α,γ相交,用面面平行的性质定理和面面平行的判定定理可证实α例3在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EF//分离是EC,FB和FC的中点,求证:平面GH解析:因为G,H,I分离是EC,所以HI/因为EF//DB因为BC⊂平面ABC,H所以HI//平面因为BD⊂平面ABC,G所以GI//平面又因为HI∩所以平面GHI//平面评注:本题通过线线平行证实线面平行,再进一步证实面面平行.例4如图,在三棱锥P−ABC中,E,F,中点,设G是OC的中点,求证:FG//平面解析:如图,取PE的中点为H,连结HG因为点E,O,G,H,所以HG/因为HG⊄平面BOE,O所以HG//平面因为HF⊄平面BOE,E所以HF//平面又因为HG∩所以平面FGH//平面因为FG⊂平面F所以FG//平面评注:本题通过平面α内两条相交直线分离平行于平面β,得到平面α内随意直线平行于平面β,实现有限向无穷的转化.例5如图,在正四面体ABCD中,P为棱点,过点A的平面α与平面PBC平行.若平面α与平面ABD,平面ACD的交线分离为m,n,则解析:因为平面α//平面PBC,平面α∩平面ABD=m所以m//PB.同理按照等角定理,m与n所成角为∠CP如图,取BC的中点为Q,连结PQ,则P设BC=2a,则所以tan∠BPC2=评注:借助面面平行的性质定理与等角定理,将求m与n所成角的正弦值的最大值转化求sin∠C例6如图1,已知平行四边形AECD的对角线AC,DE交于点F,四边形DEBC是平行四边形.将△ADE沿线段DE折起到△PDE的位置,如图2所示.在线段PD,BC图1图2解析:存在,M,N分离是PD,如图,分离取PD,BC的中点M,N在△PDE中,M,F分离是PD又因为PE⊂平面PEN,M所以MF//平面因为F,N分离是D所以EF/所以四边形EFCN是平行四边形,所以又因为EN⊂平面PEN,C所以CF//平面因为CF∩所以平面CFM//平面评注:本题是已知两个平面平行,探索平面中的点的位置的问题.在处理此类探索问题时,普通先假设存在,然后以此为条件举行推理,若吻合则存在,若矛盾则不存在.例7如图,在四棱锥P−ABC=CD=5.在棱PA上是否存在点M,使得BM//平面解析:存在,AMAP=图1如图1,在四边形ABCD中,CA=CD,取AD的中点又因为AB⊥所以CE//AB取AE的中点N,则AN在平面ABCD内,所以BN/如图2,因为BN⊄平面PCD,C图2所以BN//平面因为AN=14AD而MN⊄平面PCD,P所以MN//平面又BN∩MN=N,所以平面B因为BM⊂平面B所以BM//平面评注:本题是已知线面平行,探索直线的位置的问题.在处理这类问题时,普通先假设存在,再以此为条件举行推理,若吻合则存在,若矛盾则不存在.如本题中,假设存在点M,使得BM//平面PCD,以此为条件可以推出BM落在与平面PCD平行的平面α内,则α与平面ABCD的交线与CD平行,就可以例8如图,在棱长为1的正方体ABCD−分离是棱BC,CC1的中点,P是侧面ADD1A1上的动点,且P解析:如图,因为PC1//平面所以点P落在过点C1且与平面AEF平行的平面又因为点P在侧面ADD所以点P的轨迹是平面α与侧面ADD因为点E,F分离是棱B则EF//AD1,平面A因为平面AEFD1∩平面BCC1B1所以平面α∩平面BC因为平面AEFD1∩设平面α∩平面A1B1C1所以M为A1D设平面α∩平面ADD1A1=NM,则点P所以N为AA1的中点.因为MN=22,所以点P评注:作出平面AEF截正方体的截面,再作过点C1且与平面AEF平行的平面α,最后确定点P的轨迹.作截面的常用主意例9(多选题)如图,已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1,E为A1D1的中点,A.截面不可能是五边形B.截面可以是正六边形C.当点P从点D向点B1D.截面面积的最大值为21解析:如图1,取C1D1的中点F,平面ACE图1图2如图2,当过点P的截面α与棱DD1相交时,截面为△RTS,因为平面RTS//平面AC如图3,当过点P的截面α与平面A1B1C1D1截面为等腰梯形,设DS=图3图4如图4,当截面α与棱D1A1,D1C1分离交于点Q,R按照面面平行的性质定理,截面α为六边形QRHSTG,其中QR=2μ,RH=51−μ.HS=522故选ACD.图5图6图7评注:线面平行的性质定理与面面平行的性质定理都能将空间的平行关系转化为平面的平行关系一线线平行,因此这两个性质定理常作为作截面的根据.主意归纳本节内容主要涉及空间平行关系的转化和利用线面平行、面面平行的性质定理作几何体的截面这两种题型,以下将结合例题对这两种题型举行归纳总结.1.平面与平面平行的判断或证实(1)面面平行的定义:证实两个平面没有公共点,偶尔直接证实比较艰难,会借助反证法;（2）面面平行的判定定理:只需要在其中的一个平面内找两条相交直线,证实都与另一个平面平行即可;(3)面面平行的判定定理的推论:只需在其中的一个平面内找到两条相交直线分离与另外一个平面内的两条相交直线平行;(这一主意常用来判定平面与平面平行,倘若是证实面面平行关系,需要进一步把线线平行转化为线面平行)(4)平面平行的传递性:若两个平面同时与第三个平面平行,则这两个平面平行.2.面面平行的定义证实线面平行若α//β,a⊂3.面面平行的性质定理证实线线平行若α//β,γ∩4.面面平行中的探索性问题已知面面平行,探索平面的位置(平面内点或线的位置),在处理这类问题时,普通先假设存在,再以此为条件,举行推理,若吻合则存在,若矛盾则不存在.5.作截面按照直线与平面平行的性质定理和平面与平面平行的性质定理,将空间的平行关系转化为平面内的线线平行,从而决定截面与几何体的表面的交线.6.空间平行关系的互相转化性质达标检测基础过关1.下列命题中,不准确的是()A.平行于同一条直线的两个平面平行B.平行于同一平面的两个平面平行C.平行于同一平面的两直线关系不决定D.两平面平行,一平面内的直线必平行于另一平面2.“平面α//平面β”的一个A.存在一条直线aB.存在一条直线aC.存在两条平行直线aD.存在两条异面直线a3.如图,已知四棱锥E−ABCD,AB=AD=3,CD=CB=1,AC4.如图,P为正方形ABCD所在平面外一点,E,F,G求证:(1)平面PCF//平面AEG;(2)A5.如图,已知线段AA1是圆柱OO1的母线,BC是圆柱下底面圆O的直径.弦AB上是否存在点D,使得O女综合练习6.如图,平行四边形ABCD和平行四边形ABEF不在同一平面内,M,N分离为对角线AC,BF上的点,且A7.如图,在三棱锥A−BCD中,G为AD的中点,H(1)若CH=2HA,在线段BC上是否存在点E,使得DE//平面(2)若AH=8.如图,在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中,E为棱B1C1的中点,F,G分离是棱CC1,BC上的动点(不与顶点重合).作出平面9.如图,已知正方体ABCD−A1B1C的中点,点P是正方体表面上的动点,若C1P//平面CD110.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1,在对角线A1D上取点M,在CD1长的最小值为()A.2B.1C.22D.女拓广提升11.如图,设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为12.(多选题)如图,在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中,E,F分离为棱AA.三棱锥A1−B.线段B1C上存在点G,使平面EFGC.设直线FG与平面BCC1B1所成角为θ,则D.三棱锥A1−EF第一讲空间直线与直线、直线与平面垂直(学习目标1.借助长方体并通过直观感知了解空间直线与直线,直线与平面的垂直关系,归纳出线面垂直的定义,以及判定定理与性质定理;2.能利用直线与平面垂直的定义、判定定理、性质定理判断与证实空间中的垂直关系.要点提炼1.两条异面直线垂直倘若两条异面直线所成的角为直角,就称它们垂直,记作a⊥b2.直线与平面垂直的定义文字语言图形语言符号语言作用直线l与平面α内的任意一条直线a垂直,则l⊥α.l叫做平面α的垂线,α叫做直线l的垂面,点若∀直线a⊂平面α,都有l⊥a,则l⊥平面①证实线面垂直:若∀a⊂α,都有l⊥a,则l⊥α;②证实线线垂直:若l⊥α,3.直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言作用倘若一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直.若m⊂α,n⊂α,m∩n证实线面垂直.注重:五个条件,其中m⊂α,4.直线与平面垂直的性质1文字语言图形语言符号语言作用倘若两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,则另一条直线也垂直于该平面.若a//b,a⊥证实线面垂直.5.直线与平面垂直的性质2文字语言图形语言符号语言作用倘若两个平行平面中的一个平面垂直于一条直线,则另一个平面也垂直于该直线.若α//β,l⊥证实线面垂直.6.直线与平面垂直的性质3文字语言图形语言符号语言作用垂直于同一个平面的两条直线平行若a⊥α,b⊥α①证实线线平行；②决定空间直线的位置.7.直线与平面垂直的性质4文字语言图形语言符号语言作用垂直于同一条直线的两个平面平行若l⊥α,l⊥β①证实面面平行;②决定平面的位置.范例精讲例1如图,已知l⊂α,PA为α的一条斜线,PO⊥α.求证:(1)若(2)若l⊥PA,则解析:(1)因为PO⊥α,l⊂又因为l⊥OA,OP∩OA=而PA⊂平面PAO,所以(2)因为PO⊥α,l⊂又因为l⊥PA,PA∩PO=而AO⊂平面PAO,所以评注:本题先按照线面垂直的定义将线面垂直转化为线线垂直,再按照线面垂直的判定定理实现线线垂直到线面垂直的转化,总算转化为线线垂直.其中(1)的结论是三垂线定理,常用三垂线定理将异面直线垂直转化为共面直线垂直;(2)的结论是三垂线定理的逆定理,也常用来实现空间中线线垂直的转化.例2《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”,将四个面都为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图,在阳马P−ABCD中,侧棱PD⊥平面ABCD且PD=CD,过棱PC的中点E,作(1)证实:PB⊥平面D(2)试判断四面体DBEF是否为“解析:(1)因为PD⊥平面ABCD,BC⊂又因为BC⊥CD,而PD∩CD=D而DE⊂平面PCD,所以又DE⊥PC,而PC∩BC=C又PB⊂平面PBC,所以而PB⊥EF,DE∩EF(2)因为DE⊥平面PBC,EF⊂平面所以∠DE又因为PB⊥平面DEF,EF⊂平面所以∠BF所以四面体DBEF的四个面都是直角三角形,即四面体DBEF评注:(1)要证实线面垂直,只需在平面内找两条相交直线与已知直线垂直,此时需要梳理几何体中的垂直关系,如本题中EF⊥PB是已知条件,所以剩下的一条可以从DF与DE这两条直线中去找,通过分析得到DE⊥平面PBC,所以DE就是我们要找的另一条直线.(2)鳖臑是如图所示的含有两组线面垂直关系例3如图,在正方体ABCD−A1BB1B,AB,A1C上的动点,看见直线CP①存在点P,对于随意给定的点Q,使得CP⊥②存在点Q,对于随意给定的点P,使得D1Q③存在点P,对于随意给定的点R,使得CP⊥④存在点R,对于随意给定的点P,使得D1R其中准确的结论是()A.①B.②③C.①④D.②④解析:(主意一)①因为对于随意给定的点Q,都有D1Q⊂平面ABD1,当点P与点B1重合时,CP⊥AB,CP⊥AD1,且AB∩AD1=A,所以CP②因为对于随意给定的点P,都有CP⊂平面BCC1B1,所以惟独D1Q⊥平面BCC1B1,即D1Q⊥平面ADD1A1时,才干满意对于随意③因为对于随意给定的点R,都有D1R⊂平面A1D1CB,所以惟独CP⊥平面A1D1CB时,才干满意对于随意给定的点R,都有④因为对于随意给定的点P,都有CP⊂平面BCC1B1,所以惟独D1R⊥平面BCC1B1时,才干满意对于随意给定的点P(主意二)①当点Q运动时,直线D1Q在平面BCC1B1内的射影为直线C1B,当点P与点B1重合时,C②直线D1Q在平面BCC1B1要使得CP⊥D1Q,只需CP⊥C1B.当点P在线段BB1③如图,设动直线D1R在平面BCC1B1内的射影为C1T,则点T在线段B1C上运动,按照三垂线定理,要使得CP⊥D1④如图,设动直线D1R在平面BCC1B1内的射影为C1T,按照三垂线定理,要使得CP⊥D1R,只需CP⊥C1T故选A.评注:本题为判断是否存在过定点的直线与动直线垂直的问题.主意一将判断定直线与动直线是否垂直的问题转化为判断定直线与动直线所在的平面是否垂直的问题来解决,这个主意是我们证实定直线与动直线垂直的常用主意;主意二借助于三垂线定理,将两条异面直线是否垂直的问题转化为共面直线是否垂直的问题来解决,这是我们证实两条异面直线垂直的常用主意.例4如图,四棱锥P−ABCD的底面ABABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.证实:解析:在正方形ABCD中,因为AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC又因为AD⊂平面PAD,平面PAD∩平面因为在四棱锥P−ABCD所以AD⊥DC,且PD⊥平面A又因为CD∩PD=D,所以A因为l//AD,所以l⊥评注:按照两条平行直线中的一条与一个平面垂直,则另一条也与该平面垂直,将证实“l⊥平面PDC”转化为证实“AD⊥平面例5在三棱锥P−A(1)若PA=PB=PC,则点P在平面(2)若点P到△ABC三边的距离相等,且点P的射影在△ABC的内部,则点P在平面A(3)若PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥(4)若存在两组对棱互相垂直,则点P在平面ABC内的射影为△解析:(1)如图1,设PO⊥平面A图1因为PA=PB=P所以OA=OB=OC,所以（2）如图2,过点P作PD⊥AB,PE⊥作PO⊥平面ABC,则因为PD=PE=PF,所以OD=O又因为点P的射影在△AB图2所以O为△AB(3)如图3,设PO⊥平面A因为PA⊥所以PA⊥平面P而BC⊂平面PBC,所以图3按照三垂线定理,OA⊥BC.同理所以O为△AB(4)如图3,设PO⊥平面A若PA⊥BC,PB⊥所以O为△AB评注:本题按照空间线线垂直与线面垂直的转换,将三棱锥P−ABC的顶点P满意的几何条件转化为点P在平面ABC内的射影O满意的几何条件,从而决定点例6下列五个正方体中,l是正方体的一条对角线,点M,N,P分离为其所在棱的中点,其中l⊥①②③④⑤解析:如图,在正方体ABCD−A1B1C1D1中,取E,F,对照图①,由MN//DA1,MP//A1C1可知平面对照图2,因为MN与平面ACB1相交,而过交点且与线都应在平面CB1D1内,所以MN不垂直于l,从而l对照图③,由MP与平面A1C1D相交可知l不垂直于MP,故l对照图④,由MN//AC,MP//B1C可知平面MN对照图⑤,平面MNP与平面EFGHKR重合,故所以准确答案是①④⑤.评注:本题利用“两平行平面中的一个与已知直线垂直,则另一个也垂直于该直线”,将判断直线与平面垂直的问题转化为判断平面与该直线的垂面平行的问题来解决.要认识常见几何体中一些直线、平面的位置关系,比如本题中正方体的体对角线的垂面.例7如图,在四棱锥P−ABCD中,底面60∘,PA=P(1)求证:AD⊥（2）能否在棱PC上找到一点F,使DF⊥A解析:(1)如图1,连结BD,因为四边形ABCD为菱形,所以AB=AD.又图1因为G为AD中点,所以BG因为PA=PD,G所以PG⊥又BG∩PG=G,所以A因为PB⊂平面PBG,所以图2(2)当F为PC中点时,DF⊥A如图2,取E为BC因为E,F分离为BC,PC又EF⊄平面PBG,PB⊂平面PBG因为E,G分离为BC,AD所以四边形BEDG为平行四边形,所以又DE⊄平面PBG,BG⊂平面PBG因为DE∩EF=E,所以平面D由(1)知AD⊥平面PBG,所以AD⊥因为DF⊂平面DEF,所以评注:(1)按照等腰三角形三线合一性质可得BG⊥AD,PG⊥AD,由线面垂直的判定与定义可证得结论;(2)利用面面平行的判定可证得平面DEF//例8如图,在三棱锥P−ABC中,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E,F,O分离为PA,PB,证实:在△ABO内存在一点M,使FM⊥平面BOE,并求点解析:(主意一)如图1,因为PO⊥平面ABC,B图1PO⊥又因为BO⊥所以BO⊥平面PAC,所以直线BO与平面PAC内随意一条直线都垂直,只需在平面取PO的中点为I,作IN⊥EO,且IN因为EO∩BO=O,所以I连结IF,则IF//BO作NM//BO所以四边形FINM为平行四边形,所以所以点M到OA,OB的距离分离为(主意二)如图1,因为PO⊥平面ABC,BO⊂平面又因为BO⊥AC,AC∩PO取PO的中点为I,连结IF,则IF//BO,所以作NM//BO,则MN⊥平面PAC,所以直线IN因为FM⊥平面BOE,OE⊂平面按照三垂线定理,IN⊥OE,因为I为PO又因为BO⊥平面PAC,IN⊂平面而BO∩OE=O,所以IN⊥平面所以四边形FINM为矩形,即所以点M到OA,OB的距离分离为(主意三)如图2,分离取PE,OC的中点为H,G图2因为EB⊂平面BOE,HF⊄平面BOE又HG//EO,EO⊂所以HG//平面而HG∩HF=H,所以平面F又FM⊥平面BOE,则FM⊥设PO∩HG=I,在AO上取一点N使得NI⊥HG且垂足为又H为EP中点,故I为PO中点,故F因为PO⊥平面ABC,BO⊂平面又因为BO⊥AC,AC∩PO故FI⊥平面PAC,而IN⊂平面P又FI∩HG=I,故N又FM⊥平面FGH,故NI/又FI//平面ABC,平面NI故FI//MN故点M到OA,OB的距离分离为又MN=在Rt△NIG中,有IO2=所以点M到OA,OB的距离分离为评注:本题是已知线面垂直探索直线的位置.主意一、主意二先在平面PAC内决定一条直线IN,使得IN⊥平面BOE,再过点F作直线FM//IN,直线FM主意三是按照平面FGH//平面BOE可得要使FM⊥平面BOE,则需要FM⊥平面FGH,要使FM⊥平面FGH,只需直线FM的平行线IN与平面F1主意归纳本节内容主要涉及线线垂直与线面垂直的互相转化和已知垂直关系探索空间中点的位置两种题型,以下将结合例题对这两种题型举行归纳总结.1.线面垂直的判断与证实(1)线面垂直的定义:证实直线l与平面α内的随意一条直线垂直;(2)线面垂直的判定定理:只需证实直线l与平面α内的两条相交直线垂直;(3)平行与垂直的转化:①将证实“l⊥α”转化为证实“直线l的平行线与平面α垂直②将证实“l⊥α”转化为证实“直线l与平面α的平行平面垂直2.线线垂直的判断与证实(1)初中平面几何的主意:若两直线共面,或将两条异面直线平移到相交,可用初中学习过的主意证实;(2)线面垂直的定义:只需证实直线l与直线a所在的平面α垂直即可.(3)三垂线定理:已知l∈α,PA为平面α的一条斜线,A为斜足,OA是PA在平面α内的射影,若l⊥(4)三垂线定理的逆定理:已知l∈α,PA为平面α的一条斜线,OA是PA在平面α内的射影,若l⊥3.线面垂直证实线线平行若两条直线a,b垂直于同一个平面α,则直线a4.线面垂直证实面面平行垂直于同一条直线的两个平面平行.5.决定点在平面内的射影位置的主意(1)若一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等,那么这一点在平面内的射影在这个角的角平分线上;(2)经过一个角的顶点作这个角所在平面的斜线,若该斜线与这个角的两边的夹角相等,则斜线在平面内的射影是这个角的角平分线所在直线;在三棱锥P−A①若PA=PB=PC,则点P在平面②若点P到△ABC三边的距离相等,且点P的射影在△ABC的内部,则点P在平面A③若PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥④若存在两组对棱互相垂直,则点P在平面ABC内的射影为△6.探索性题型将在空间中探索点线面的位置的问题转化为平面中探索点或线的位置的问题.(1)已知直线与平面垂直,探索平面的位置:按照垂直于同一条直线的两个平面平行,将问题先转化为作已知垂面的平行平面,再转化为作平行线的问题来解决.(2)已知直线与平面垂直,探索直线的位置:按照两条平行线中的一条与一个平面垂直,则另一条也与这个平面垂直,将问题转化为作已知垂线的平行线的问题来解决;或者利用三垂线定理,将空间中的垂直关系转化为平面中的垂直关系.达标检测女基础过关1.给定空间中的直线l及平面α,条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的()A.充要条件B.充足不须要C.须要不充足D.既不充足也不须要2.在四面体的四个面中,直角三角形最多可能有()A.1个B.2个C.3个D.4个3.下列说法中错误的是()A.若直线l1//直线m,直线l2//直线B.若直线l1//平面α,直线l2//平面C.若直线l1⊥平面α,l2⊥平面D.若直线l1//l4.如图,在正方体ABCD−A1B1C1DBC1上的动点,则满意与DD1垂直的直线A.有且仅有1条B.有且仅有2条C.有且仅有3条D.有无数条5.如图,在四棱锥P−ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,AB=2PD=26.如图,在△ABC中,∠B=π2,D,E分离是边AB,AC的中点,现将△ADE沿着DE折起,使点A到达点P的位置,连结PB,P女综合练习7.(多选题)如图,已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1,过点AA.点H是△A1B.AH⊥平面C.AH的延伸线经过点D.A8.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1,棱AA1的中点为E,AC与BD交于点O9.如图,已知EA⊥平面ABCD,四边形ABCD为直角梯形,四边形ADFE为矩形,∠ABC=∠BAD10.如图,在四棱锥P−ABCD中,底面ABCD是矩形,AB⊥平面PAD,AD=AP,E是PD11.在底面是菱形的四棱锥S−ABCD中,已知AB=AS=5,BS=4,过点D作侧面SAB的垂线,垂足O恰为棱BS的中点.在棱12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90∘,D,E分离为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将(1)求证:PF⊥(2)线段PB上是否存在点Q,使PC⊥平面13.如图,在三棱柱ABC−A1B1C1中,H是正方形ABB1A1的中央,AA1=22,C1H⊥平面ABB1A1,且C1女拓广提升14.已知正三棱锥P−ABC的所有棱长均为1,L,M,N15.将给定的两个全等的正三棱锥A−B扫码看见本讲配套视频恰得到一个所有二面角都相等的六面体,并且该六面体的最短棱的长为2,则最远的两顶点间的距离是___.第5讲平面与平面垂直学习目标1.借助长方体并通过直观感知了解空间平面与平面的垂直关系,归纳出面面垂直的定义、判定定理与性质定理;2.能利用平面与平面垂直的定义、判定定理、性质定理判断与证实空间中的垂直关系.要点提炼1.二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫