湖南省湘潭市高三下学期第四次模拟考试数学（理）试题

2018届高三模拟考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2.若，则（）A．且 B．且C．且 D．且3.设集合，，现有下面四个命题：：，；：若，则；：若，则；：若，则．其中所有的真命题为（）A．， B．，， C．， D．，，4.若双曲线（）的一条渐近线与直线垂直，则此双曲线的实轴长为（）A． B． C． D．5.若，，则（）A． B． C． D．6.执行如图所示的程序框图，则输出的（）A．6 B．7 C．8 D．97.函数的大致图象为（）8.某几何体的三视图如图示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．9.已知是椭圆：的左焦点，为上一点，，则的最小值为（）A． B． C． D．10.已知函数，若对任意的，关于的方程（）总有两个不同的实数根，则的取值范围为（）A． B． C． D．11.在中，，，点，分别是边，上的点，且，记，四边形的面积分别为，，则的最大值为（）A． B． C． D．12.若函数在上存在两个极值点，则的取值范围为（）A． B．C． D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的展开式中的系数为．14.在菱形中，，，为的中点，则．15.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体（记为）的粮仓，宽3丈（即丈），长4丈5尺，可装粟一万斛，问该粮仓的高是多少？”已知1斛粟的体积为2.7立方尺，一丈为10尺，则下列判断正确的是．（填写所有正确结论的编号）①该粮仓的高是2丈；②异面直线与所成角的正弦值为；③长方体的外接球的表面积为平方丈．16.设，满足约束条件若的最大值为2，则的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知正项数列是公差为2的等差数列，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．18.从某小区抽取50户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在至度之间，将用电量的数据绘制成频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中的值并估计这50户用户的平均用电量；（2）若将用电量在区间内的用户记为类用户，标记为低用电家庭，用电量在区间内的用户记为类用户，标记为高用电家庭，现对这两类用户进行问卷调查，让其对供电服务进行打分，并将打分数据绘制成茎叶图如图所示：①从类用户中任意抽取3户，求恰好有2户打分超过85分的概率；②若打分超过85分视为满意，没超过85分视为不满意，请填写列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为“满意与否与用电量高低有关”？满意不满意合计类用户类用户合计附表及公式：0.0500.0100.001，．19.如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，为棱上一点，．（1）确定的位置，使得平面平面，并说明理由；（2）设二面角的正切值为，，为线段上一点，且与平面所成角的正弦值为，求线段的长．20.已知点是抛物线：上一点，且到的焦点的距离为．（1）若直线与交于，两点，为坐标原点，证明：；（2）若是上一动点，点不在直线：上，过作直线垂直于轴且交于点，过作的垂线，垂足为．试判断与中是否有一个为定值？若是，请指出哪一个为定值，并加以证明；若不是，请说明理由．21.已知函数（，）的图象在与轴的交点处的切线方程为．（1）求的解析式；（2）若对恒成立，求的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程；（2）若与曲线相切，且与坐标轴交于，两点，求以为直径的圆的直角坐标方程．23.选修45：不等式选讲已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若恰好存在4个不同的整数，使得，求的取值范围．2018届高三模拟考试数学试卷（理科）答案一、选择题15:610:11、12：二、填空题13.14.15.①③16.三、解答题17.解：（1）因为数列是公差为2的等差数列，所以，则，又，，成等比数列，所以，解得或，因为数列为正项数列，所以，所以，故．（2）由（1）得，所以，所以，故．18.解：（1），按用电量从低到高的六组用户数分别为6,9,15,11,6,3，所以估计平均用电量为度．（2）①类用户共9人，打分超过85分的有6人，所以从类用户中任意抽取3户，恰好有2户打分超过85分的概率为．②因为的观测值，所以没有的把握认为“满意与否与用电量高低有关”．19.解：（1）为棱的中点．证明如下：∵四边形为平行四边形，∴为的中点，∴．∵，∴四边形为平行四边形，则．又，∴平面平面．（2）过作于，连接，则即为二面角的平面角．∵，，∴．又，，∴．以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，则，，设平面的法向量，则，即，令，得，设，∵，∴，∴与平面所成角的正弦值为，∴，∴或，又，∴或．20.解：（1）依题意得∴，∵，∴，故的方程为．由得，设，，则，，∴，∴．（2）由（1）知，，故的方程为，设（且），则的横坐标为，易知在上，则．由题可知：，与联立可得，所以，则不是定值，为定值．21.解：（1）由，得，∴切点为，∵，∴，∴，又，∴，．（2）由，得，设，对恒成立，∴在上单调递增，∴．∵，∴由对恒成立得对恒成立，设（），，当时，，∴，∴单调递减，∴，即．综上，的取值范围为．22.解：（1）由，得，，即，故曲线的普通方程为．（2）由，当，联立得，因为与曲线相切