对数8种常见考法归类

对数8种常见考法归类1、对数的概念（1）对数的定义：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．注：在对数的定义中为什么不能取a≤0及a＝1呢？a<0，N取某些值时，logaN不存在，如根据指数的运算性质可知，不存在实数x使eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))x＝2成立，所以a不能小于0.a＝0，N≠0时，不存在实数x使ax＝N，无法定义logaN；N＝0时，任意非零实数x，有ax＝N成立，logaN不确定．a＝1，N≠1时，logaN不存在；N＝1，loga1有无数个值，不能确定．（2）常用对数与自然对数2、对数与指数的关系一般地，有对数与指数的关系：(1)若a>0，且a≠1，则ax＝N⇒logaN＝x.(2)对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)．注：不是任何一个指数式都可以化为对数式，只有底数大于零且不等于1时才可互化．3、对数的性质（1）loga1＝0(a>0，且a≠1)．（2）logaa＝1(a>0，且a≠1)．（3）零和负数没有对数．（4）当，且时，．4、对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN.(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．拓展：＝eq\f(n,m)logaM(n∈R，m≠0)5、换底公式（1）logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．（2）对数换底公式的重要推论①logaN＝eq\f(1,logNa)(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)．②＝eq\f(m,n)logab(a>0，且a≠1，b>0)．③logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．注：换底公式中底数c是是大于0且不等于1的任意数．（3）可用换底公式证明以下结论：①；②；③；④；⑤.6、指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．7、对数式中求值的基本思想和方法(1)基本思想在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解．(2)基本方法①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题．②利用幂的运算性质和指数的性质计算．8、利用对数的性质求值的方法(1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．9、对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．10、利用换底公式进行化简求值的原则和技巧11、利用对数式与指数式互化求值的方法(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化．(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解．考点一对数的定义理解考点二指数式与对数式的互化考点三解对数方程考点四利用对数的性质求值考点五对数运算性质的应用考点六换底公式的应用考点七用已知对数表示其他对数考点八对数运算性质的综合应用考点一对数的定义理解1．（2023秋·高一课时练习）判断正误（正确的写正确，错误的写错误）（1）对数log39和log93的意义一样．()（2）（－2）3＝－8可化为log（－2）（－8）＝3.()（3）对数运算的实质是求幂指数．()（4）若lnN＝2，则N＝2e.()【答案】错误错误正确错误【分析】根据对数的概念及运算判断即可.【详解】（1）底数及真数不同，表示不同的对数，故错误；（2）对数的真数大于0，故错误；（3）根据对数的意义知，故正确；（4）可得，故错误.故答案为：错误；错误；正确；错误2．（2023·全国·高一专题练习）有下列说法：①以10为底的对数叫作常用对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以e为底的对数叫作自然对数；④零和负数没有对数.其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据对数的相关概念和性质，一一判断每个选项，可得答案.【详解】根据常用对数以及自然对数的概念可知①③正确，根据对数的性质可知④正确，只有当且时，指数式才可以化成对数式，②错误，故选：C3．（2023·全国·高一专题练习）有以下四个结论：①；②；③若，则；④若，则，其中正确的是（

）A．①② B．②④C．①③ D．③④【答案】A【分析】根据对数的定义即可求得答案.【详解】由对数定义可知，，①正确；，②正确；对③，，错误；对④，，错误.故选：A.4．（2023·全国·高一专题练习）已知对数式有意义，则a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由对数式的意义列不等式组求解可得.【详解】由有意义可知，解得且，所以a的取值范围为.故选：B考点二指数式与对数式的互化5．（2023·全国·高一随堂练习）将下列指数式改写为对数式（，且）：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根据对数的定义运算求解.【详解】（1）因为（，且），所以.（2）因为（，且），所以.（3）因为（，且），所以.（4）因为（，且），所以.6．（2023·全国·高一随堂练习）将下列指数式改写为对数式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根据指数式和对数式的互化公式，即可求解.【详解】（1）（且）化为对数式是，所以化为对数式是；（2），对数式是；（3），对数式是；（4），对数式是.7．（2023·全国·高一随堂练习）将下列对数式改写为指数式（，且）：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根据对数的定义运算求解.【详解】（1）因为，所以.（2）因为，所以.（3）因为，所以.（4）因为，所以.8．（2023·全国·高一随堂练习）将下列对数式改写为指数式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根据指数与对数的运算规则即可将（1）~（4）化为相对应的指数式.【详解】（1）由可得；（2）由可得；（3）由可得；（4）由可得9．（2023·全国·高一课堂例题）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】可化为，由此化简各个小问。【详解】（1）因为，所以（2）因为，所以（3）因为，所以（4）因为，所以（5）因为，所以（6）因为，所以考点三解对数方程10．（2023·上海·高一专题练习）若，则的取值范围是.【答案】【分析】利用对数中底数和真数的范围，可得出关于的不等式组，即可解得实数的值.【详解】对于等式，有，解得且，因此，的取值范围是.故答案为：.11．（2023·高一课时练习）若，则．【答案】/【分析】根据对数的概念运算求解.【详解】因为，则，所以.故答案为：.12．（2023秋·全国·高一随堂练习）若，则x的值为．【答案】4【分析】利用对数的定义和，建立方程组即可求出结果.【详解】因为，所以，即，解得．故答案为：4.13．（2023·全国·高一专题练习）方程的根为（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【分析】根据对数把原方程转化为一元二次方程，注意对数的真数大于0.【详解】由，得，即，解得，所以方程的根为.故选：B14．（2023·上海·高一专题练习）若，则.【答案】【分析】由对数的概念运算求解即可.【详解】由对数运算的定义，有∵，∴，∴，∴.故答案为：.15．（2023秋·全国·高一随堂练习）已知，试求的值．【答案】【分析】根据对数的性质，结合对数式与指数式的恒等式进行求解即可.【详解】，.考点四利用对数的性质求值16．（2023春·福建福州·高二校联考期末）已知函数，则的值是．【答案】【分析】根据分段函数的定义域，将代入解析式求，进而求的值.【详解】由，所以.故答案为：17．（2023秋·甘肃兰州·高三校考阶段练习）设函数，则（

）A．1 B．2 C．0 D．【答案】A【分析】先求，再求的值.【详解】因为，所以.故选：A18．（2023秋·山东青岛·高三统考期末）已知函数，则.【答案】【分析】根据分段函数，结合指对数运算求解即可。【详解】解：因为，所以，所以故答案为：19．（2023秋·黑龙江大庆·高三大庆市东风中学校考阶段练习）设函数．【答案】【分析】利用分段函数的解析式求出和再相加可得结果.【详解】，，，.故答案为：.20．（2023秋·安徽六安·高一六安二中校考期末）定义在上的函数满足，则.【答案】2【分析】根据分段函数，结合周期性，代入求值.【详解】因为，，所以当时，函数的周期为5，所以.故答案为：2考点五对数运算性质的应用21．（2023秋·黑龙江鸡西·高三鸡西市第一中学校校考阶段练习）．【答案】【分析】根据指数及对数运算律计算化简即可.【详解】.故答案为：.22．（2023秋·天津滨海新·高三大港一中校考阶段练习）.【答案】【分析】由对数的运算性质求解即可.【详解】原式.故答案为：.23．（2023秋·山东泰安·高三山东省泰安第二中学校考阶段练习）【答案】【分析】根据指数幂的运算性质，结合对数的运算性质进行求解即可.【详解】原式.故答案为：.24．（2023·全国·高一随堂练习）求值：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【分析】根据对数的概念、运算性质及换底公式计算即可.【详解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.25．（2023·全国·高一随堂练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)10(2)5(3)18(4)1(5)(6)2【分析】根据对数运算法则与性质即可得到答案.【详解】（1）（2）（3）（4）（5）（6）考点六换底公式的应用26．（2023秋·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知，，则（

）A． B． C．4 D．5【答案】A【分析】利用指数式和对数式的关系可得a的值，再根据换底公式可得.【详解】因为，所以，所以.故选：A27．（2023秋·辽宁·高三大连二十四中校联考开学考试）设，若，则（

）A． B．6 C． D．【答案】C【分析】由题，将指数式化成对数式，求出，，代入，根据对数运算性质可计算得答案.【详解】由，知，且，，，所以，．故选：C．28．（2023秋·江苏南通·高一统考阶段练习）若，且，则实数的值为.【答案】36【分析】利用指数式与对数式转化表示出，，的值，然后利用对数运算求出值.【详解】，，，，则，，即.故答案为：3629．（2023秋·天津河东·高三校考阶段练习）设，则．【答案】1【分析】利用对数的定义，结合对数换底公式及对数运算性质计算即得.【详解】由，得，则，由，得，所以.故答案为：130．（2023秋·河南·高三校联考阶段练习）已知，则．【答案】【分析】先根据指数运算求出的值，根据对数运算的知识求得值，代入求出的值.【详解】因为，所以，所以，即，所以，所以．故答案为：.31．（2023秋·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）已知，则．【答案】【分析】由指对互化可表示出，根据对数换底公式可得，加和即可求得结果.【详解】由得：，，，，.故答案为：32．（2023·全国·高一随堂练习）利用对数的换底公式计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】根据换底公式和对数的运算性质计算即可.【详解】（1）；（2）.33．（2023·全国·高一课堂例题）利用换底公式证明：(1)；(2)．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用换底公式证明（2）利用换底公式结合对数的运算性质证明即可【详解】（1）由换底公式得，，因此．（2）由换底公式得，．34．【多选】（2023秋·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】取对数，利用对数的性质对各选项逐一判断即可.【详解】对A，由，可得，所以A错误；对B，由，得，因为，所以，所以B正确；对C，由，，可得，，所以，所以C正确；对D，由，，可得，因为，所以等号不成立，所以，又，所以，所以D正确.故选：BCD考点七用已知对数表示其他对数35．（2023·全国·高一随堂练习）用，，表示下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根据对数的运算法则和性质即可.【详解】（1）；（2）；（3）；（4）.36．（2023·全国·高一随堂练习）用m，n或b，c表示x，其中m，n，a，b，c均大于0，且．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】根据对数定义和运算性质运算求解.【详解】（1）因为m，n均大于0，且，所以.（2）因为a，b，c均大于0，且，则，所以.37．（2023秋·江苏南通·高一统考阶段练习）（1）已知，求的值；（2）已知，求的值（用来表示）.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据有理指数幂的运算法则和运算性质，即可求解；（2）根据对数的运算法则和运算性质，即可求解.【详解】解：（1）由，即，则，所以，又由，因为，可得，所以，所以（2）由，可得，又由，所以，则.38．（2023秋·江苏南通·高一统考阶段练习）（1）计算；（2）设，试用表示；（3）设是非零实数，，求的值.【答案】（1）2；（2）；（3）【分析】（1）根据对数的运算法则和性质即可求解；（2）利用换底公式及对数的运算化简即可求解；（3）根据式子的结构特征，求出，再由平方差公式计算即可.【详解】（1）.（2）.（3）由，得，所以.所以.考点八对数运算性质的综合应用39．【多选】（2023秋·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）已知实数，，满足，，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根据指数和对数的转化得到，，，对于A选项，根据即可判断；根据对数的换底公式得到，即可判断；对于C选项，利用作差法和换底公式结合基本不等式即可判断；对于D选项：