2024年高考数学总复习 函数的概念与性质 周测卷二

考案［二］周测卷(二)函数的概念与性质

(本试卷满分120分，测试时间90分钟)

一、单选题(本题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的)

\2x~x,x>0

1.(2024•西藏拉萨中学高三阶段练习)已知函数F(x)=,/，则HA3))

［xI1,

的值是(A)

A.12B.—6

C.-8D.-15

\2x~x,x>0

［解析］干脆代入求值即可.因为Ax)=-一八，所以HA3))=a—3)=

［x十LxWO

—2.故选：A.

2.已知后不，=才，则F(x)的表达式为(C)

1+x1+x

A.B.

l-xX~1

l—X2x

C.1+^D.^+1

1--V1--f-1---f-

［解析］设讦・，则k中/W=/

•••『(王)=云^，故选C

3.(2024•全国课时练习)己知函数f(x+2)的定义域为(一3,4),则函数g(x)=~r'~

73x—1

的定义域为(C)

A.卜4)B.R2)

C.R6)D.R1)

［解析］依据抽象函数的定义域的求解，结合详细函数单调性的求解即可.因为函数

『(x+2)的定义域为(一3,4),所以/'(x)的定义域为(一1,6).又因为3x—1>0,即所

以函数g(x)的定义域为4，6).故选：C.

4.(2024•江苏单元测试)函数y=f(x)的图象是如图所示的折线段OAB,其中4(1,2),

8(3,0),函数g(x)f(x),那么函数g(x)的值域为(B)

「91

A.［0,2］B.0,-

「31

C.0,-D.［r0,4］

［解析］依据图象可得广(x)的解析式，进而可得g(x)的解析式，再利用二次函数的性

9—0

质分别求分段函数各段的值域，再求并集即可求解.由题图可知，k=-=2,所以直线

0A1—0

0—2

物的方程是尸2x,因为第===—1,所以直线的方程为y=—(x—3)=—x+3,所

3—1

\2x,OWxWl2x,

以f{x}=\，所以g(x)=X・f(x)=2,当OWE

〔一x+3,U3.一x~+3x,1XXW3

时，g(x)=2f在［0,1］上单调递增，此时函数g(x)的值域为［0,2］；当l〈xW3时，g(x)

=-x?+3x=—［x—5)+］,所以当x=］时，函数g(x)取得最大值l；当x=3时，函数g(x)

-91「9-

取得最小值0,此时函数g(x)的值域为［。，京，综上可知，函数g(x)的值域为［0,故选:

B.

5.(2024•全国课时练习)已知f(x)是实数集上的偶函数，且在区间［0,+8)上是增

函数，则/'(—2),f(—n),f(3)的大小关系是(D)

A./,(-Ji)>y(-2)>A3)

B.f(3)>r(-n)>/(-2)

c.r(-2)>r(3)>r(-n)

D.A-Jt)>r(3)>/(-2)

［解析］结合F(x)的奇偶性和单调性比较出三者的大小关系.因为f(x)是实数集上的

偶函数，所以/"(—2)=/(2),『(一n)=f(n),又因为在区间［0,+8)上是增函数，并且

口〉3>2,所以f(m)》f(3)>f(2),所以/X—n)〉f(3)〉f(—2),所以D选项是正确的.故选:

D.

6.(2024•全国单元测试)函数y=f(x)是偶函数且在(-8,o］上单调递减，/(一2)=

0,则f(2—3x)>0的解集为(D)

A.(-8,0)uf|,+8)

［解析］分析可知函数尸/<x)在［0,+8)上为增函数，且有f(2)=f(-2)=0,将所

求不等式变形为f(|3x—2|)>『(2),可得出关于实数x的不等式，由此可解得实数x的取值

范围.因为函数y=F(x)是偶函数且在(一8,0］上单调递减，则该函数在［0,+8)上为增

函数，且/'⑵=f(—2)=0,由f(2—3x)>0可得f(|3x—21)>f(2),所以，|3x—21>2,可

4

得3y一2<一2或3x—2>2,解得X0或x〉g.因此，不等式/1(2—3x)>0的解集为(一8,

0)U(J,+8).故选：D.

7.(2024•黑龙江绥化市第一中学期中)函数/'(x)对随意xGR,都有f(x)=f(x+12),

y=F(x—1)的图形关于(1,0)对称，且f(7)=—1则/"(2021)=(B)

A.-1B.1

C.0D.2

[解析]依据题意得到函数周期为12,函数为奇函数，据此得到f(2021)=『(-7)=

一f⑺,计算得到答案.f(x)=f(x+12)函数周期为12,f(2021)=f(—7),y=f(x—1)

的图形关于(1,0)对称,故/■(形关于(0,0)对称,f(—7)=一『(7)=1.故f(2021)=/(-

7)=—f(7)=1.故选：B.

8.(2024•全国高三专题练习)已知函数f(x)对随意xdR,都有f(x)=-gf(x+2),

当xe[0,2]时，F(x)=—x?+2x,则函数F(x)在[―2,6]上的值域为(D)

A.[0,1]B.0

C.[-2,0]D.[-2,4]

[解析]当xe[0,2]时，f{x}=—/+2x,利用/1(x)=—'|f(x+2),将区间[—2,0],

[2,4],[4,6]的自变量x利用加减转化到区间[0,2]上，从而进行值域的求解.当xe[0,

2]时,f(x)=x(2—x)=l—(x—1)[0,1],则当[—2,0]时,即x+2£[0,2],所

以_f(x)=—Jf(x+2)仁0；当x£[2,4]时，即x—2£[0,2],由F(x)=

2),得f(x+2)=—2『(x),从而f{x)——2f(x—2)£[—2,0]；当xG[4,6]时,即x—2£[2,

4],则f(x)=-2f(x—2)£[0,4].综上得函数F(x)在[―2,6]上的值域为[—2,4].故选:

D.

二、多选题(本题共4个小题，每个小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中

有多项是正确的，全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分)

9.(2024•湖南长郡中学期中)已知函数f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，fe=

—2,则(ACD)

A.a=2B.『⑵=2

C.f(x)是增函数D.y(-3)=-12

［解析］由f(x)是R上的奇函数,则/<0)=0可算出a=2,代入可算得『(2),依据f(x)

的对称性可得出单调性，依据f(—3)=—f(3)可求得f(—3).对于A项，f(x)是R上的奇函

数，故/'(OQa—,得a=2,故A对.对于B项，,⑵=4+2=6,故B错.对于C项，

当x20时，f(x)=H+x在［0,+8)上为增函数，利用奇函数的对称性可知，f(x)在(一8,

0］上为增函数，故/'(x)是R上的增函数，故C对.1•(-3)=—『(3)=-9-3=-12,故D

对.故选：ACD.

2，+1

10.(2024•全国高三专题练习)已知函数/1(*)=十二，g(x)=2x,则下列结论正确的

是(BC)

A.f(x)g(x)为奇函数

B.f(x)g(x)为偶函数

C.f(x)+g(x)为奇函数

D.f(x)+g(x)为非奇非偶函数

［解析］先推断函数f(x),g(x)的奇偶性，再利用函数奇偶性的性质推断选项正误.f(x)

2'+13、，，、/,、/、2'+1(2*+1),2*1+2',、

=亍口，其定义域为(-8,o)u(0,+°°),f{-x)..>、=］7Zp=一『(X)，

故函数f(x)为奇函数，又g(x)=2x为奇函数，依据函数奇偶性的性质可知：f(x)g(x)为偶

函数，f(x)+g(x)为奇函数，故选：BC.

11.(2024•全国高三阶段练习)已知函数f(x)为R上的奇函数，g(x)=f(x+l)为偶函

数，下列说法正确的有(ABD)

A.f(x)图象关于直线x=—1对称

B.g(2024)=0

C.g(x)的最小正周期为4

D.对随意xGR都有/1Q—x)=f(x)

［解析］由奇偶性知f(x)的对称中心为(0,0)、对称轴为x=l,进而推得/U+x)=

f(x),即可推断各选项的正误.由f(x)的对称中心为(0,0),对称轴为x=l,则f(x)也关

于直线x=-1对称且/'(x)=f(2—x),A、D正确，由A分析知：/1(x)=f(2—x)=-f(—x),

故f(2+x)=—f(x),所以/"(4+x)=—f(2+x)=F(x),所以F(x)的周期为4,则g(2023)

=f(2024)=/(0)=0,B正确；但不能说明g(x)最小正周期为4,C错误；故选：ABD.

12.(2024•重庆四川外国语高校附属外国语学校期末)已知偶函数Ax)的定义域为R,

1—x,xG[0,1]1

且当[0,3]时，f{x)=,、/，当x>3时，f{x)4),则

—f(x—2),(1,3]

以下结论正确的是(BCD)

A.f(x)是周期函数

B.随意xi,生£七|F(矛J—/(A2)|W2

/、1

c.r(-io)=--

D.F(x)在区间［2,4］上单调递增

［解析］依据已知条件，求出—1,1］时，f{x}=1—X；xe(1,3］时，f(x)=(x

—2)2—1,再结合x>3时，f(x)=［f(x—4)及偶函数的性质，对各选项逐一分析即可求解.

解：因为f(x)为R上的偶函数，所以1•(x)=f(—x),又xd［0,1］时，

所以入£［-1,0］时，_f(x)=_f(—x)=1—(―x)2=l—所以f(x)=1——1,1］,

当l〈xW3时，一—2W1,由题意，f(x)=—f(x—2)=—［1—(x—2)1=(x—2)2~1,所

以x£［—1,3］时，Hx)max=F(0)=l,Ax)min=F(2)=—1,因为x>3时，f{x)=|/(^~4),

所以f(x)不是周期函数，故选项A错误；因为f(x)为R上的偶函数，且x>3时，f(x)=-f(x

-4),所以随意xi,怒仁比|F(xi)—F(X2)|W|_f(0)—_f(2)|=2,故选项B正确；因为_f(一

10)=f(10)=；_f(10—4)⑹=%(6—4)=；/<2)=一；,所以选项C正确；因为x£［3,

5］,x—4£［—1,1］,所以广(x)4)=；［1—(x—4)1,/(3)=0,又当l〈xW3时，

F(x)=-F(x—2)=—［1—(x—2尸］=(x—2)2—1,*3)=0,所以由二次函数性质知f(x)在

区间［2,4］上单调递增，所以选项D正确，故选：BCD.

-2-\O2/345^6^78x

三、填空题(本题共4个小题，每个小题5分，共20分)

13.(2024•全国单元测试)函数二T的单调递减区间为(—8,—-(或(―8,

―1)都对).

［解析］利用复合函数的单调性，同增异减，即可得到答案；令力=/—1,则尸⑴,

・・・1=/—1在(-8,—1)单调递减，尸、"在(0,+8)单调递增，依据复合函数的单调

性可得：=I在(一8,—1)单调递减，故答案为：(一8,-1］.

14.(2024.浙江温州期末)已知定义域为R的函数f(x)=力一千是奇函数,则函数

『(x)的值域为

［解析］依据A0)=0,求得a的值,即可求出f(x)的表达式进而可以求f(x)的值域.因

11

为

-因2

为函数?(正中工是奇函数，所以f(0)=5F=0,a=2.所以f(x)+才

2,

1*11

+I>b所以0〈亍宏〈I，所以---

2<—2故答案为:22

fx+1,xW1

15.(2024•全国课时练习)已知_f(x)=<r，若/1(x)>F(x+l),则x的取

LA/X,X>1

值范围是(0,1］.

［解析］分xWO、OG<1、x>l三种状况解不等式F(x)>Hx+l),综合可得出原不等

式的解集.当x+lWl时，即当xWO时，由广(才)>广(1+1)可得x+l>x+2,冲突；当

+1时，即当时，由F(x)>/1(x+1)可得x+l>Mx+1,可得dx+1>1,解得x>0,此

时0<xWl；当x>l时，由_f(x)>l(x+l)可得/x+1,即x>x+l,冲突.综上所述，满

意不等式Ax)>#x+1)的X的取值范围是(0,1］.故答案为：(0,1］.

(X+1)2

16.(2024・全国课时练习)设函数H设=一：-在区间［—2,2］上的最大值为弘

最小值为“则(-AIT。??的值为上.

［解析］先将函数化简变形得『(X)=/T+1,然后构造函数g(x)=/丁，可推断

g(x)为奇函数，再利用奇函数的性质结合f(x)=g(x)+1可得M+N=2,从而可求得结果.由

Y—I—9VV—I—l)V

题意知，F(X)=YT+1(XG［—2,2］),设g(x)=*「，则/<x)=g(x)+l,因为g(一

—J—2x

x)=/十］=—g(x),所以g(x)为奇函数，g(x)在区间［—2,2］上的最大值与最小值的和

为0,故八八-2,所以(力+心1)2眈=&-1¥°22=1.故答案为：1

四、解答题(本题共4个小题，每个小题10分，共40分)

77耳

17.(2024•全国课时练习)已知函数f{x)=mx+-(m,〃为常数)，且满意f⑴=1,f(2)

x2

17

T

⑴求函数/<x)的解析式；

(2)若对随意的1,关于x的不等式/tx)22—t恒成立，求实数C的取值范围.

［答案］(l)/(x)=2x+d(2)［0,+8)

［解析］(1)依据题意得到关于血〃的方程组，求解后即得到函数f(x)的解析式；(2)

利用基本不等式或者利用函数的单调性即可求得f(x)在给定区间上的最小值，然后利用不

等式恒成立的意义得到关于大的不等式，求得力的取值范围.

m=2

解：(1)由题意得1,解得《1

故F(x)=2x+丁;

,n17n—~

I?吗=了2

1-

.，f(x)=2x+=22、/2x•方=2,当且仅当2矛=今.

(2)解法一：对随意的xe0,2

_

即x=5寸取等号，；.f(x)最小值为2,

,关于x的不等式f{x)22—1恒成立，，222—t,，

即实数力的取值范围是［0,+8).

解法二：设V不，用£(0,J,xi<X2,贝!Jf(x2)—=2也+;^-—2矛1-J-=2(至一xi)

.一二(八—Xi)(4矛i为—~1)

2x\x^2矛1加,

•.•矛1加>0,4矛1至<1,兹一矛D0,

一式荀)〈0,

1-

.../1(乃在［0,2-上单调递减，下同解法一.

-

18.(2024•江西省铜鼓中学阶段练习)已知函数/"(x)=^~r是定义在(一2,2)上的奇

函数，且AD=1.

(1)求实数a和6的值；

(2)推断函数/<x)在(-2,2)上的单调性，并证明你的结论；

(3)若对Vte(0,1)±,都有f(d—〃)+f(l—力〈0成立，求实数m的取值范围.

［答案］(l)a=l,b=0(2)函数/(x)在(一2,2)上是增函数，证明见解析(3)［1,

2］.

［解析］(1)利用/<0)=0和k1)=，即可求得a和6的值；(2)利用定义证明单调性的

步骤，取值、作差、定号、下结论即可证明；(3)由奇函数可得fd—而<—

-1),利用单调性脱掉f转化为不等式组即可求解.

解：（1）因为函数/1（x）=^F是定义在（一2,2）上的奇函数,

所以『（0）=F=0得6=0,

a—卜1

又因为f（l）===W，所以a=l；

4—1o

x

⑵由⑴可知『（X）=R'任取司，.且一2〈水水2

矛1X2.（4一二）一二（4一总）

所以f(x)—f(X2)

4—Ai4一岔（4—Ai）（4一第）

4（荀一a）+（4苞一x3）_____（矛1~~不）（荀用+4）

（4—Ai）（4一名）（4）（4一篇）

因为一2<xi<生〈2,所以，Xi—至〈0,4—x\〉0,4一露>0,

Xi至+4>0

所以，广(矛J—f(x。<0,即F(矛J<f(x/，

所以，函数/<x）在（一2,2）上是增函数；

⑶由⑵可知函数F（x）在（一2,2）上是增函数，且是奇函数

要使“对V（0,1）±,都有F（「一%）+F（l—力<0成立”

即f（干一ni）<一f（l—t）=/*（方一1）

—2<—一欣2

则不等式组J—2G一伙2对VZ£（0,1）恒成立,

干一加+1-t<0

［力2—2〈水d+2

所以2对V力£（0，1）恒成立,

［冰(/+2)min

所以,力>(/—2)max

【%>(^一方+1)

因为2〈干+2<3,所以辰2,

—2<d—2<—1,所以e2—1,

P=/一方+1=（1一|，1）,所以721,

所以1W辰2,

所以实数力的取值范围是［1,2］.

19.（2024•黑龙江勃利县高级中学期末）已知Ax）是定义在［-2,2］上的奇函数，且

当［―2,0）时，f（x）=x—x.

⑴求函数Ax）在［—2,2］上的解析式;

(2)若广(x)2%2—2a%—9对全部［—2,2］,—1,1］恒成立，求实数"的取值范

围.

x~x,-2Wx<0

［答案］(l)f(x)={o,x=0

x-x,0<xW2

(2)［-1,1］

［解析］(1)利用奇函数的定义可得函数的解析式；(2)由二次函数的性质可得函数f(x)

的最小值，代入不等式，进而利用一次函数的性质列不等式组，可得实数力的取值范围.