2024年中考数学复习：常用数学思想方法讲义

常用数学思想方法讲义

题型清单

类型一函数思想

函数的思想方法就是运用运动和变化的观点、集合和对应的思想去分析问题的数量关系，通过类比、

联想、转化合理地构造函数，运用函数的图象和性质使问题获得解决.

例1如图直线y=kx+b(k<0)经过点P(l,l),当kx+b>x时，则x的取值范围为()

解析解法一:由题意，将P(l,l)代入y=kx+b(k<0),

可得k+b=l,即k-l=-b,

整理kx+b>x得,(k-l)x+bNO,

-bx+b>0,

由图象可知b>0,

/.x-l<0,

解法二：根据题意可知：直线%=kx+b(k<0)经过点(1,1),直线『2=X刚好也经过点(1,1).由函数

图象分析得知，答案为A.

答案A

解题关键

构造函数y2=x,题中函数视作人=kx+b,求不等式kx+b>x的解集，即可转化为求当人>乃时，自变量

x的取值范围，通过构造函数，降低了解题难度.

例2如图，已知抛物线y=ax2+bx+4(aH0)与x轴交于点A(1,0)和B,与y轴交于点C,对称轴

为直线x=|.

⑴求抛物线的解析式；

(2)如图1,若点P是线段BC上的一个动点(不与点B,C重合)，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q,

连接OQ,当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；

(3)如图2,在(2)的条件下,D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E,且/DQE=2NODQ.在y

轴上是否存在点F,使得ABEF为等腰三角形?若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由.

「a+b+4=0,

解析⑴根据题意，得(2分)解得a=l,b=-5,.••抛物线的解析式为y=/_5x+4.(3分)

I2a—2，

⑵四边形OCPQ是平行四边形.理由如下：易知B(4,0),C(0,4),

二直线BC的解析式为y=-x+4.(4分)

,，点P在线段BC上，

.•.设P(t,-t+4)(0<t<4),

又PQ〃y轴".Q(t?产一5t+4)(0<t<4).

(5分)

PQ=(-t+4)-(t2-5t+4)=-t2+4t=一(t-2>+4.

当t=2时，线段PQ最长，为4.(6分)

V0C=4,.-.OC=PQ.

VOC//PQ,...四边形OCPQ是平行四边形.

(7分)

(3)在y轴上存在点F,使得ABEF为等腰三角形理由如下：

•••C(0,4),D是OC的中点，,D(0,2).

由(2)知Q(2,-2),P(2,2),

VPQ/7OC,.'.ZODQ=ZPQD.

,/ZDQE=2ZODQ=2ZPQD,

ZPQD=ZPQE.

点D(0,2)关于PQ的对称点为M(4,2).

(8分)

直线QE过点M(4,2)和Q(2,-2),

二直线QE的解析式为y=2x-6.

,•,点E是直线QE与抛物线y=x2-5x+4的交点，

；.E(5.4).(9分)

假设存在y轴上的点F(O,m),使ABEF为等腰三角形.

①若BF=EF,即BF2=EV%贝!]42+m2=524-(4-m)2,解得m=

8

・•・F(O，g).(10分)

②若BF=BE,即BF2=BE?厕42+m2=(5-4)2+42,解得m=+l,

.••F(0,l)或F(0,-D(11分)

③若EF=BE,即EF2=BE2,

则52+(4-m)2=(5-4)2+42,

化简得m2-8m+24=0,A=-32<0.

方程无解，因此在y轴上不存在点F,使EF=BE.

综上所述，在y轴上存在点F，使得ABEF为等腰三角形.点F的坐标为（0,争或（0,1）或（0,-1）.（12分）

O

解后反思

（1）处理函数图象上的动点问题，一般都要根据函数解析式设动点坐标，然后用字母参数表示出相关线

段长度、某图形周长或面积等.如果涉及最值问题，优先考虑建立关于字母参数的一次函数或二次函数，结

合已知条件，利用函数的增减性求解.

（2）关于等腰三角形背景下的存在性问题，以求满足一定条件的点的坐标居多.进行等角与等边之间的

转化是常见的思路.最终一般都要根据相关知识（勾股定理、相似三角形对应边成比例、边角关系式等）建立

方程，运用方程的思想分析解决问题.

类型二方程思想

方程思想是一种重要的数学思想.它是从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的

数量关系，通过适当设元建立起方程（组）.它是指任何通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式.

例3折叠矩形纸片ABCD,使点B落在点D处折痕为MN,已知AB=8,AD=4厕MN的长是（）

X.—B.2V5C.—D.4V5

33

解题思路连接BM,利用折叠的性质证明四边形BMDN为菱形，设DN=NB=x，在RtAABD中，由勾股定

理求BD,在R3ADN中，由勾股定理求x,利用菱形计算面积的两种方法，建立等式求MN.

272

解析如图，连接BM,

由折叠可知，MN垂直平分BD,

.•.OD=OB,又AB/7CD,

ZMDO=ZNBO,ZDMO=ZBNO,

ABON^ADOM,.*.ON=OM,

四边形BMDN为菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）,

；.DN=BN=BM=DM,

设DN=NB=x,则AN=8-x,

在RtAABD中，由勾股定理得BD=yjAD2+AB2=4遮，

22222

在RtAADN中,由勾股定理得AD+AN=DN,BP4+（8-%）=炉,解得x=5,

根据菱形计算面积的公式，得

BNxAD=3xMN义BD,即5x4=|xMWx4由,解得MN=2V5.

答案B

方法归纳

⑴根据翻折问题中的线段相等、角度相等条件寻找并证明某四边形是特殊的平行四边形；

⑵根据特殊平行四边形的性质，引入未知数表示某线段的长度，再寻找合适的等量关系，列出方程

（组），然后解方程（组）求得相关线段长度.

类型三转化与化归思想

转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究数学问题时，我们通常将未知的问题转化

为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数

学问题等.解题的过程实际上就是一步步转化的过程，实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体

代入法以及化动为静、由抽象到具体等.

例4如图,AABC中,/ABC=9（T,AB=2,AC=4,点。为BC的中中秋节（一）中秋节，又称月夕、秋节、

仲秋节、八月节、八月会、追月节、玩月节、拜月节、女儿节或团圆节，时在农历八月十五.因其恰值三秋

之半，故名“中秋”，也有些地方将点，以0为圆心，OB为半径作半圆，交AC于点D,则图中阴影部分

的面积是.

解析连接OD,作OELAC于点E.

,?ZABC=90°,AB=2,AC=4,

ZACB=30°,BC=2V3.

在RtAOCE中，

OC=-BC=^3,AACB=30",

2

OE=—,CE=-,^DOC=120",

22

.：CD=2CE=3,.：SCOD=\CD-OE=^-i^=^.

在扇形BOD中,/BOD=180。-NDOC=60°,OB=V3,

.S=6°XG°B2=1

A对BOD3602

又：SACB=\AB-BC=|x2x2V3=2V3,

.c_c_c_c_5V^-2TT

'可逆一、ACB'梯用形BOD3co0一4-

52JT

4

难点突破

本题中阴影部分为不规则图形，其面积没有固定的公式.不能直接求阴影部分的面积，但可找出其面积

SS

与几个基本图形的面积之间的关系，即书=SACB-^BOD-^COD-

例5如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点

2V1303V13

AA.-----D.-----

1313

23

C.-D.-

32

解析如图.连接BC,AC.

VZADC和/ABC所对的弧都是AC,

根据圆周角定理的推论得，ZADC=ZABC.

在RtAACB中，根据锐角三角函数的定义知,sinzXBC=与

：AC=2,BC=3,

•••AB=y/AC2+BC2=V13,

si.v\Z-ABC=.2——=-2-V-1-3-,

V1313

解题关键

根据三角函数的定义，直接求sin/ADC的值有难度，由于同弧所对的圆周角相等，所以/ADC=N

ABC.因此可以将求sinZADC的值转化为求sinZABC的值.

类型四整体思想

整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从

而对问题进行整体处理的解题方法.整体思想的主要表现形式有：整体代换、整体设元、整体变形、整体补

形、整体配凑、整体构造等.在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整

体思想都有很好的应用.

例6如图,在平面直角坐标系中，函数y=[⑴0）与y=x-l的图象交于点P（a,b），则代数式[-前勺值

为（）

11

4—士B.-D.-

224

(4

解析解法一：由题意得,

(y=X-1,

(1-\[Y7

(x=-14---V-17,x=-----,

解得高1岁1g舍去)，

。=丁(y=^^

...点P(手，等)

即a=『6+,

#1_1_2_2__1

"ab~1+V17V17-1-4,

解法二：：函数y=\(%＞。)与y=x-l的图象交于点P(a,b),

.*.ab=4,b=a-l,

11_b-a_1

abab4

答案c

方法技巧

解法二明显优于解法一，绕开了求a与b的值，将工-曲专化成号,根据点在函数图象上的定义，分别

abab

求b-a与ab的值，再代入求出Y的值，然后通过等量代换得出正确答案.

ab

例7若x、y满足「二/则代数式/一4/的值为_.

解析：x-2y=-2,x+2y=3,

x2-4y2=(x+2y)(x-2y)=3x(-2)=-6.

答案-6

解题关键

将久2一4y吩解因式，即/-4y2=(x+2y)(x-2y).将x+2y和x-2y分别视作两个整体，结合已知条件，

轻松得出答案.

类型五分类讨论思想

针对研究问题过程中出现的不同情况进行分类研究的思想，称之为分类讨论思想，其实质是一种“化

整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.分类讨论思想在不等式、方程、函数、几何、实际问题中应

用非常广泛，是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解题策略.

不同的题目，有概念的分类、解题方法上的分类、几何图形位置关系的分类，应用分类讨论思想解决

问题，必须保证分类科学、统一，不重复，不遗漏，在此基础上减少分类，简化分类讨论过程.

例8在RtAABC中,NACB=90。.有一个锐角为60*AB=4.若点P在直线AB上（不与点A、B重合），目/

PCB=30。,则CP的长为.

解析情形1：/A=6（TM/B=3O。，

ZPCB=30°,.\ZACP=60°,

.•.△ACP是等边三角形，

CP=ac=-AB=2;

2

情形2:/B=60。,则ZA=30°,BC=2,AC=2V3,P在AB上,

ZPCB=30°,

；.CP_LAB,

•••^AC-BC=\AB-CP,解得(CP=V3;

情形3:NABC=60oJJU/A=3(F,BC=2,AC=2四,，P在AB的延长线上，

CP=AC=2V3.

答案百或2四或2

疑难突破

根据题意，画出不同情形下的图形是解题的关键.特别是当/ABC=60。时，满足条件/PCB=30。的图形

有两种.

例9已知二次函数y=-%2+6%-5.

(1)求二次函数图象的顶点坐标；

(2)当1WXW4时，函数的最大值和最小值分别为多少？

(3)当t<x<t+3时，函数的最大值为m,最小值为n,若m-n=3,求t的值

解析(1)1•1y=-%2+6比一5=-(x-3)2+4,.,.顶点坐标为(3,4).

(2):•顶点坐标为(3,4),.♦.当x=3时,y最大值=4,

V当l<x<3时,y随着x的增大而增大，

.・・当x=l时,y成〃时=0.

V当3<x<4时,y随着x的增大而减小，

‘当x=4时，，放〃时=3.

.•.当lsxS4时，函数的最大值为4,最小值为0.

⑶当t<x<t+3时，对t进行分类讨论.

①当t+3<3,即t<0时,y随着x的增大而增大.

当x=t+3时,m=—(t+3)2+6(t+3)—5=—12+4,

当x=t时,n——t2+6t—5.

m—n=—t2+4—(-t2+6t-5)=-6t+9.

-6+9=3解得t=l(不合题意，舍去).

②当0St<3时，顶点的横坐标在取值范围内,

i)当0WtW|时，在x=t时,n=-t2+6t-5,

m—n—4—(—t2+6t—5)=产—6t+9.

2

...t-6t+9=3,解得=3-V3,t2=3+g(不合题意,舍去).

ii)当|<t<3时，在x=t+3时,n=-t2+4,

■-m—n—4—(—t2+4)=t2.

2

t=3,解得=V3,t2=一百不合题意,舍去).

③当t>3时，y随着x的增大而减小，当x=t时,m=-t2+6t-5,当x=t+3时,n=-t2+4.

m—n=—t2+6t-5-(-t2+4)=6t—9,

...6t-9=3,解得t=2(不合题意，舍去).

综上所述，t=3-遮或旧.

方法归纳

（1）给出二次函数一般式求图象的顶点坐标，可以配方成顶点式，也可以用顶点坐标公式求解.

⑵给定自变量取值范围求二次函数的最值问题，要结合自变量的取值范围综合求出最值.

⑶对于给定含有参数的自变量的取值范围，求二次函数的最值问题，应结合二次函数图象顶点的横坐

标是否在此范围内进行分类讨论，特别是顶点的横坐标在此范围内时，还要进一步根据二次函数的增减性

对参数的取值进行分类讨论，从而确定出最值.

类型六数形结合思想

数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，

使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决

的思考方法.利用数形结合可以解决函数问题、不等式问题、几何问题等.

在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以

及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参，

合理用参，建立关系，由数思形，以形思数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.

例10如图，正比例函数%=<0）的图象与反比例函数为=家左2<0）的图象相交于A,B两

点，点B的横坐标为2,当%>丫2时，x的取值范围是（）

A.x<-2或x>2B.-2<x<0或x>2

C.x<-2或0<x<2D.-2<x<0或0<x<2

解析・・・正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，.二点A与点B关于原点对称.丁点B的横坐

标为2，，点A的横坐标为-2.由题图可得，当x