2025九年级上数学华东师大第23章单元测试卷含答案

2025九年级上数学华东师大第23章单元测试卷第23章图形的相似

时间:90分钟满分:100分一、选择题(每小题3分,共30分)1.下列各组图形中一定是相似图形的是()A.两个平行四边形B.两个矩形C.两个直角三角形 D.两个等边三角形A.0.5 B.2 C.32 D.3.生活中到处可见黄金分割的美.如图,在设计人体雕像时,使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618,可以增加视觉美感.若图中b为2米,则a约为()A.1.24米 B.1.38米 C.1.42米 D.1.62米4.一张矩形的纸片对折后与原矩形相似,那么原矩形与对折后矩形的相似比是()A.2∶1 B.4∶1 C.3∶1 D.2∶15.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,4),B(4,1),以原点O为位似中心,将△OAB扩大为原来的4倍,则点A的对应点的坐标是()A.(8,16)或(-16,-8) B.(-12,1)C.(8,16)或(-8,-16) D.(16.如果三角形的两边长分别是方程x2-8x+15=0的两个根,那么连接这个三角形三边的中点,得到的三角形的周长可能是()A.5.5 B.5 C.4.5 D.47.在△ABC中,∠ACB=90°,用直尺和圆规在AB上确定点D,△ACD∽△CBD,根据下列选项中的作图痕迹判断,正确的是() A B C D8.如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,G,F分别为AD,BC边上的点,若AG=1,BF=2,∠GEF=90°,则GF的长为 ()A.2 B.3 C.4 D.5向右平移2个单位长度,再向上平移2个单位长度,再向左平移2个单位长度,再向下平移2个单位长度,再向右平移2个单位长度,…,如此平移下去,则第2022次平移后点A的坐标是()A.(1,-1) B.(-1,1) C.(-1,-1) D.(1,1)10.如图,△ABC中,点D,E分别是边AB,AC上的点,DE∥BC,点H是边BC上的点,连接AH交线段DE于点G,且BH=DE=12,DG=8,S△ADG=12,则S四边形BCED=()A.24 B.22.5 C.20 D.25二、填空题(每小题3分,共18分)11.若x5=y2,则x−yx12.如图,D为△ABC的边AC上一点,若要使△ABD∽△ACB,则可以添加的一个条件是.

13.如图,直角三角形纸片ABC中,AC边长为10cm,现从下往上沿AC边依次裁剪宽为4cm的矩形纸条,若剪得第二张矩形纸条恰好是正方形,那么边BC的长度是cm.

14.如图,在△ABC中,D是BC的中点,AM=MD,BM的延长线交AC于点N,则AN∶NC=.

15.据《九章算术》记载:“今有山居木西,不知其高.山去木五十三里,木高九丈五尺.人立木东三里,望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何?”大意如下:如图,今有山AB位于树CD的西面.山高AB为未知数.山与树之间的距离BD=53里,树高9丈5尺.人站在离树3里的F处,人眼E观察到树梢C恰好与山峰A处在同一斜线上,人眼离地7尺,则山AB的高约为丈.(1丈=10尺,结果精确到个位)

16.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,AD=5,BC=10,四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形,且点E,F,G,N,M都在△ABC的边上,AD交EH于点P,那么△AEM与四边形BCME的面积比为.

三、解答题(共52分)17.(7分)如图,在△ABC中,线段CD,BE分别是AB,AC边上的中线,且BE与CD相交于点O,连接DE.(1)若DE=3,则BC=;

(2)判断线段OB和OE之间的数量关系,并证明你的结论.18.(8分)在如图所示的平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,-2),B(2,-1),C(4,-3).(1)画出△A1B1C1,使它与△ABC关于x轴对称;(2)以点(4,0)为位似中心,在图中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2,且△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2∶1,并直接写出点A2的坐标.19.(8分)如图,已知△ABC,AB=2,BC=5,∠ABC=2∠C,为了求边AC的长,小亮想出了一个好办法:将边BC反向延长至点D,使DB=AB,连接AD,从而小亮发现图中存在一对相似三角形,问题便迎刃而解了!(1)请你找出这对相似三角形,并进行证明;(2)求边AC的长.20.(9分)某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度,如图,在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD,这时地面上的点E,标杆的顶端点D,大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上,测得EC=4米,将标杆向后平移到点G处,这时地面上的点F,标杆的顶端点H,大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上(点F,G,E,C,A在同一直线上),这时测得FG=6米,CG=60米.(1)请你根据以上数据,计算大雁塔的高度AB.(2)“景点简介”显示,大雁塔的高度约为64.5米.请计算本次测量的误差,并提出一条减小误差的合理化建议.21.(10分)先阅读下面的材料,然后解答问题.材料:从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.例如:如图(1),AD把△ABC分成△ABD与△ADC,若△ABD是等腰三角形,且△ADC∽△BAC,则AD就是△ABC的完美分割线.解答下列问题:(1)如图(2),在△ABC中,∠B=40°,AD是△ABC的完美分割线,且△ABD是以AD为底边的等腰三角形,则∠CAD=°;

(2)在△ABC中,∠B=42°,AD是△ABC的完美分割线,且△ABD是等腰三角形,求∠BAC的度数.图(1)图(2)22.(10分)(1)问题发现如图(1),在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:①ACBD的值为;

②∠AMB的度数为(2)类比探究交BD的延长线于点M.请求出ACBD的值及∠(3)拓展延伸在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M.若OD=1,OB=7,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.图(1)图(2)备用图参考答案与解析第23章图形的相似1.D2.D∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴AEAC=ADAB=44+23.A∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618,∴ab≈0.618,即a2≈0.618,解得a4.A如图,设原矩形的长为2a,宽为b,则对折后的矩形的长为b,宽为a.∵对折后所得的矩形与原矩形相似,∴2ab=ba,∴2a2=b2,∴ba=2另解：∵矩形纸片对折后和原矩形相似,∴原矩形面积是对折后矩形面积的2倍,∴原矩形与对折后矩形的相似比是2∶1.5.C6.A解方程x2-8x+15=0得x1=3,x2=5,则三角形的第三边c的取值范围是2<c<8,∴三角形的周长l的取值范围是10<l<16,∴连接这个三角形三边的中点,得到的三角形的周长n的取值范围是5<n<8.7.C=∠BDC=90°.∵∠ACB=90°,∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°,∴垂线,符合题意.8.B∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=90°,∴∠AGE+∠AEG=90°.∵∠GEF=90°,∴∠AEG+∠BEF=90°,∴∠AGE=∠BEF,∴△AGE∽△BEF,∴AGBE=AEBF.∵E为AB的中点,∴AE=BE.∵AG=1,BF=2,∴AE2,解得AE=2(负值已舍去).在Rt△AEG中,GE2=AG2+AE2=3,在Rt△BEF中,EF2=BE2+BF2=6,∴在Rt△GEF中,GF=G9.D由平移的特征知第1次平移后点A的坐标是(1,-1),第2次平移后点A的坐标是(1,1),第3次平移后点A的坐标是(-1,1),第4次平移后点A的坐标是(-1,-1),…,可知平移四次为一个循环.∵2022÷4=505……2,∴第2022次平移后点A的坐标与第2次平移后点A的坐标(1,1)相同.10.B∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,△ADG∽△ABH,∴DEBC=ADAB=∵BH=DE=12,DG=8,∴BC=BH·DEDG=18.∵DE=DG+GE,∴GE=4.∵△ADG与△AGE的高相等,∴S△ADGS△AGE=DGGE=2.∵S△ADG=12,∴S△S△ADG+S△AGE=18.∵S△ABCS△ADE=(BCDE)2,∴S△ABC=40.5,∴S四边形BCEDS△ADE=22.5.11.35∵x5=y2,∴yx=25,∴x−yx=1-12.∠ABD=∠C(答案不唯一)要使△ABD∽△ACB,还需具备的一个条件是∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC或ABAD=AC13.20在图中标上字母,如图所示.由题意可知DE∥BC,∴△ADE∽△ACB,∴EDBC=ADAC,∴BC=AC·DEAD14.1∶2如图,作DE∥BN交AC于点E,∵DE∥BN,M是AD的中点,∴N是AE的中点.∵DE∥BN,D是BC的中点,∴E是NC的中点,∴AN∶NC=1∶2.15.165由题意得BD=53里,CD=95尺,EF=7尺,DF=3里,如图,过点E作EG⊥AB于点G,交CD于点H,则BG=DH=EF=7尺,GH=BD=53里,HE=DF=3里.∵CD∥AB,∴△ECH∽△EAG,∴CHAG=EHEG,∴95−7AG∴AG≈1643(尺),AB=AG+GB=1643+7=1650(尺)=165(丈).即山AB的高约为165丈.16.1∶3∵四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形,∴EF=EH=HM,EM∥BC,∴△AEM∽△ABC,∴APAD=EMBC,∴5−EF5=2EF10,∴EF=52,∴EM=5.∵△AEM∽△ABC,∴S△AEMS△ABC=(EMBC)2=13S△AEM,∴△AEM与四边形BCME的面积比为1∶3.17.解：(1)6(3分)解法提示:∵线段CD,BE分别是AB,AC边上的中线,∴DE是△ABC的中位线,∴BC=2DE=2×3=6.(2)OB=2OE.证明:∵线段CD,BE分别是AB,AC边上的中线,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,BC=2DE,∴△DOE∽△COB,(5分)∴OBOE=BCED,∴OB=2OE.18.解：(1)如图所示,△A1B1C1即为所求.(3分)(2)如图,△A2B2C2即为所求.(6分)点A2的坐标为(-2,4).(8分)19.思路导图：(1)解：(1)△DBA∽△DAC.(2分)证明:∵DB=AB,∴∠D=∠DAB=12∠∵∠ABC=2∠C,∴∠D=∠DAB=∠C,∴DA=AC.∵∠D=∠D,∠DAB=∠C,∴△DBA∽△DAC.(4分)(2)∵AB=2,BC=5,DB=AB,∴DB=2,∴CD=BC+DB=7.∵△DBA∽△DAC,∴DB∶DA=DA∶DC,即2∶DA=DA∶7,解得DA=14.∵DA=AC,∴AC=14.(8分)20.思路导图：解：(1)∵DC∥AB,∴△EDC∽△EBA,∴DCBA=EC∵GH∥AB,∴△FHG∽△FBA,∴HGBA=FGFA.∵DC=HG,∴ECEA=FGFA,∴44+CA∵DCBA=ECEA,∴2BA答:大雁塔的高度AB为62米.(7分)(2)误差为64.5-62=2.5(米).减小误差的建议:可多次测量,取测量数据的平均值(答案不唯一,合理即可).(9分)21.解：(1)40(3分)=∠B=40°.(2)∵AD是△ABC的完美分割线,∴△DAC∽△ABC,∴∠CAD=∠B=42°.若AD=BD,则∠ABD=∠BAD=42°,∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=84°.若AB=BD,则∠BAD=69°=∠BDA.∵AD是△ABC的完美分割线,∴△DAC∽△ABC,∴∠CAD=∠B=42°,∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=69°+42°=111°.若AB=AD,则∠B=∠ADB=42°.∵AD是△ABC的完美分割线,∴△DAC∽△ABC,∴∠CAD=∠B=42°.∵∠ADB=∠DAC+∠C=42°+∠C≠42°,∴不符合题意.(9分)综上所述,∠BAC的度数为84°或111°.(10分)22.解：(“手拉手”模型)(1)①1(1分)②40°(2分)解法提示:①∵∠AOB=∠COD,∴∠BOD=∠AOC.又OC=OD,OA=OB,∴△AOC≌△BOD,∴AC=BD,∠OBD=∠OAC,∴ACBD②设BD,OA交于点N,∵∠MNA=∠ONB,∠OBD=∠OAC,∴∠AMB=∠AOB=40°.(2)ACBD=3,∠AMB=90°.(4分)理由如下:∵∠AOB=∠COD=90°,∴∠COD+∠AOD=∠AOB+∠AOD,即∠AOC=∠BOD.∵CODO=AOBO=3,∴△AOC∴ACBD=CODO=3,∠CAO=∠DBO.设AO,BM交于点P,∵∠APM=∠BPO,∴∠AMB=∠AOB=90°.(8分)(3)AC的长为23或33.(10分)解法提示:由(2)可知,∠AMB=90°,ACBD=3,设BD=x,则AC=37,∠AOB=90°,AOBO=3,∴易得AB=27,同理,易得MD=2.分两种情况讨论.如图(1),当点M,C在OA上侧重合时,在Rt△ABC中,AB2=AC2BC2,∴(27)2=(3x)2+(x+2)2,解得x1=2,x2=-3(不合题意,舍去),∴AC=3x=23.如图(2),当点M,C在OA下侧重合时,在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,∴(27)2=(3x)2+(x-2)2,解得x1=-2(不合题意,舍去),x2=3,∴AC=3x=33.综上所述,AC的长为23或33.图(1)图(2)第24章解直角三角形时间:90分钟满分:100分一、选择题(每小题3分,共30分）1.在△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,下列各式成立的是()A.sinB=ba B.tanB=ba C.tanB=ab 2.如图,点A(2,t)在第一象限,OA与x轴所夹锐角为α,tanα=2,则t的值为()A.1 B.2 C.4 D.33.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,∠A=20°,则∠BCD的度数是()A.40° B.50° C.60° D.70°4.如图,若tan30°的值用一个点在数轴(不完整)上表示,则这个点可能落在()A.①段 B.②段 C.③段 D.④段5.Rt△ABC中,∠C=90°,AC=15,AB边上的中线CD=172,则sinA为()A.817 B.217 C.1517A.23 B.43 C.22 7.如图,工人师傅将截面为矩形的木条锯成两部分,四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形,点C,B,G在同一直线上,CB=a,BG=b,∠AGB=β,则点E到CG的距离等于()A.acosβ+bsinβ B.acosβ+btanβ C.asinβ+btanβ D.bsinβ+atanβ8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,tanB=34,点D从点A出发沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动.过点D作DE∥AB交BC边于点E,过点E作EF⊥BC交AB边于点F,当四边形ADEF为菱形时,点D运动的时间为()A.32s B.52s C.127s 9.定义:在等腰三角形中,底边与腰的比值叫做顶角的正对,顶角A的正对记作sadA,即sadA=底边腰.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=4∠B,则cosB·sadA=()A.1 B.32 C.32 10.某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”,如图(1)所示,点A是栏杆转动的支点,点E是两段栏杆的连接点.当车辆经过时,栏杆AEF最多只能升起到如图(2)所示的位置,其示意图如图(3)所示(栏杆宽度忽略不计),其中AB⊥BC,EF∥BC,∠AEF=143°,AB=AE=1.2m,那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)()图(1)图(2)图(3)ABCD二、填空题(每小题3分,共18分)11.小明站在某商场内的自动扶梯上,当他沿着斜坡向上前进了13米时,他在铅垂方向升高了5米,则该自动扶梯所在的斜坡的坡i=.

12.已知△ABC中,∠C=90°,sinA=45,BC=20,则△ABC的周为13.在△ABC中,∠A为锐角,(2sinA-1)2+22-cosB=0,若AB=10,则BC=14.在△ABC中,tanB=34,BC边上的高AD=6,AC=35,则BC边的长等于15.对于任意锐角α,β,有等式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.结合所学知识,利用上述公式可以求得sin75°的值是.

(结果保留根号)16.如图,一艘船由A港沿北偏东65°方向航行302km至B港,再沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏东20°方向上,则A,C两港之间的距离为km.

三、解答题(共52分)17.(每小题3分,共6分)计算:(1)3sin30°·cos60°-tan230°； (2)tan60°+2sin45°tan45°18.(6分)如图,射线OA放置在3×5的正方形网格中,现请你在图中找出格点(即每个小正方形的顶点)B,并连接OB,AB,使△AOB为直角三角形,且(1)使tan∠AOB的值为1;(2)使tan∠AOB的值为12图(1)图(2)19.(8分)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠C=45°,CD=2,BD=3.(1)求sin∠CBD的值;(2)若AB=3,求AD的长.20.(10分)如图,从热气球C处测得两物体A,B的俯角分别为29.5°和45°.如果这时气球的高度CD为80米,且点A,D,B在同一直线上,求物体A,B之间的距离.(结果精确到1米.参考数据:sin29.5°≈0.49,cos29.5°≈0.87,tan29.5°≈0.57)21.(10分)某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们确定了测量方案,并完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上,选取两个不同测点,测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差,该小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时,都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果,测量数据如表(尚不完整).课题测量旗杆的高度成员组长:×××组员:×××,×××,×××测量工具测量角度的仪器,皮尺等测量示意图说明:线段GH表示学校旗杆,测量角度的仪器的高度AC=BD=1.5m,测点A,B与H在同一条水平直线上,A,B之间的距离可以直接测得,且点G,H,A,B,C,D都在同一竖直平面内,点C,D,E在同一条直线上,点E在GH上.测量数据测量项目第一次第二次平均值∠GCE的度数26.4°26.6°26.5°∠GDE的度数32.7°33.3°33°A,B之间的距离5.9m6.1m……任务一:两次测量A,B之间的距离的平均值是m.

任务二:根据以上测量结果,请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度.(参考数据:sin26.5°≈0.45,cos26.5°≈0.89,tan26.5°≈0.50,sin33°≈0.54,cos33°≈0.84,tan33°≈0.65)任务三:该“综合与实践”小组在确定方案时,讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案,但未被采纳.你认为其原因可能是什么?(写出一条即可)22.(12分)在△ABC中,∠ABC=90°.(1)如图(1),分别过A,C两点作经过点B的直线的垂线,垂足分别为点M,N,求证:△ABM∽△BCN;(2)如图(2),P是边BC上一点,∠BAP=∠C,tan∠PAC=25(3)如图(3),D是边CA延长线上一点,AE=AB,∠DEB=90°,sin∠BAC=35,ADAC=25图(1) 图(2) 图(3)参考答案与解析第24章解直角三角形1.B2.C3.D=∠A=20°,∴∠BCD=90°-∠DCA=70°.4.A5.A在Rt△ABC中,CD是AB边上的中线,∴AB=2CD=2×172=17,由勾股定理得BC=AB2-AC2=6.C如图,过点A作AD⊥BC于点D,由题意可知点D位于格点上,且AD=BD,∴∠ABC=45°,∴cos∠ABC=cos45°=22另解：如图,过点A作AD⊥BC于点D.在Rt△ABD中,∠ADB=90°,AD=BD=3,∴AB=AD2+BD2=32+32=327.B(转化思想)如图,过点E作EH⊥BA的延长线于点H.∵∠BAG+∠AGB=90°,∠BAG+∠HAE=90°,∴∠HAE=∠AGB=β.∵BG=b,tanβ=ABb,∴AB=btanβ.∵AE=AD=BC=a,∴cosβ=AHAH+AB=acosβ+btanβ.8.D∵在Rt△ABC中,AB=5cm,tanB=34,∴AC=3cm,BC=4cm.设点D运动ts后,四边形ADEF是菱形，∴DE=AD=tcm,CD=(3-t)cm.∵DE9.C∵在△ABC中,AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠BAC+∠B+∠C=180°且∠BAC=4∠B,∴6∠B=180°,解得∠B=30°,∴cosB=32AD⊥BC于点D,设AD=a,则AB=2a,BD=3a.∵BC=2BD,∴BC=23a,∴sad∠BAC=BCAB=23a2a=3,∴cosB·sad∠BAC=3210.A如图,过点A作BC的平行线AG,过点E作EH⊥AG于点H,则∠AHE=∠EHG=∠HEF=90°.因为∠AEF=143°,所以∠AEH=∠AEF-∠HEF=53°,所以∠EAH=37°.在Rt△EAH中,EH=AE·sin∠EAH≈1.2×0.60=0.72(m),所以AB+EH=1.2+0.72=1.92(m).11.1∶2.4设当自动扶梯向上前进13米时,水平方向前进了x米,根据勾股定理,得x2+52=132,解得x=12(负值已舍去),故该自动扶梯所在斜坡的坡度i=5∶12=1∶2.4.12.60∵在△ABC中,∠C=90°,sinA=45=BCAB,BC=20,∴AB=25.由勾股定理得,AC=AB13.52由题意得2sinA−1=0,22-cosB=0,解得sinA=2∴∠C=90°,∴sinA=BCAB=BC10,∴BC=10sinA=10×2214.5或11当AD在△ABC外部时,如图(1),则BD=ADtanB=63AC2-AD2=(35)2-+CD=8+3=11.综上,BC边的长等于5或11.

图(1)图(2)15.6+2416.(30+103)根据题意,得∠CAB=65°-20°=45°,∠ACB=40°+20°=60°，AB=302.过点B作BE⊥AC于点E,则∠AEB=∠CEB=90°.在Rt△ABE中,∵∠EAB=45°,AB=302,∴AE=BE=22AB=30.在RtCBE中,∵∠ACB=60°,∴CE=33BE=103，∴AC=AE+CE=30+103∴A,C两港之间的距离为(30+103)km.17.解：(1)原式=3×12×12-(33)2=34-13(2)原式=3+2×221-32=3+2-32=18.解：(1)如图(1)所示.(3分)(2)如图(2)所示.(6分)图(1)图(2)19.思路