四川省眉山市2025届高三数学适应性考试试题理含解析

PAGE26-四川省眉山市2025届高三数学适应性考试试题理（含解析）留意事项：试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页，满分150分．考试时间120分钟．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知是虚数单位，且，则实数分别为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化简得，进而得，解方程求得即可.【详解】解：因为，所以，所以解得：.故选：A.【点睛】本题主要考查复数的乘法运算、复数相等，考查学生的计算实力，属于基础题.2.设全集，集合,,则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由集合或，先求解，再由集合能够求出答案.【详解】因为全集,集合或，所以，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，属于基础题，其中解答中精确计算集合和集合的交集、补集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算实力.3.2024年以来，世界经济和贸易增长放缓，中美经贸摩擦影响持续显现，我国对外贸易仍旧表现出很强的韧性.今年以来，商务部会同各省市全面实行稳外贸决策部署，出台了一系列政策举措，全力营造法治化､国际化､便利化的营商环境，不断提高贸易便利化水平，外贸稳规模､提质量､转动力取得阶段性成效，进出口保持稳中提质的发展势头，如图是某省近五年进出口状况统计图，下列描述错误的是（）A.这五年，2015年出口额最少 B.这五年，出口总额比进口总额多C.这五年，出口增速前四年逐年下降 D.这五年，2024年进口增速最快【答案】C【解析】【分析】依据统计图中的数据，利用统计学问逐一推断即可.【详解】对A项，由图可知，这五年，2015年出口额最少，故A正确；对B项，由图可知，2015年出口额小于进口额，但2024年到2024年每年的出口额都大于进口额，总体来看，这五年，出口总额比进口总额多，故B正确；对C项，由图可知，2015年至2024年出口增速上升，故C错误；对D项，由图可知，2015年至2024年期间，2024年进口增速最快，故D正确；故选：C【点睛】本题主要考查了依据条形统计图和折线统计图解决实际问题，属于中档题.4.五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽.假如把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，从全部的这些音序中随机抽出一个音序，则这个音序中宫、羽不相邻的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，基本领件总数，其中宫、羽不相邻的基本领件有，由此可求出所求概率.【详解】解：中国古乐中的五声音阶依次为：官、商、角、微、羽，把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，基本领件总数，其中宫、羽不相邻的基本领件有，则从全部的这些音序中随机抽出一个音序，这个音序中宫、羽不相邻的概率为，故选：C【点睛】此题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等学问，考查运算求解实力，属于基础题.5.下列结论中错误的是（）A.若角的终边过点，则B.若是其次象限角，则为第一或第三象限角C.若扇形周长为6，半径为2，则其中心角的大小为1弧度D.若，则【答案】A【解析】【分析】依据三角函数的定义、象限角的概念、圆心角的弧度制概念、同角三角函数的基本关系，即可得答案；【详解】对A，，则，故A错误；对B，，，为第一或第三象限角，故B正确；对C，，故C正确；对D，，故D正确；故选：A.【点睛】本题考查三角函数的定义、象限角的概念、圆心角的弧度制概念、同角三角函数的基本关系，考查对概念的理解，属于基础题.6.函数f（x）的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先推断函数的奇偶性，结合选项中函数图象的对称性，先解除不符合题意的，然后结合特别点函数值的正负即可推断.【详解】因为f（﹣x）f（x），所以f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，解除选项A，C，又f（2），因为，所以，所以f（2）＜0，解除选项D.故选：B.【点睛】本题主要考查函数图象与性质及其应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.7.矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由矩形的对角线相互平分且相等即球心到四个顶点的距离相等推出球心为AC的中点，即可求出球的半径，代入体积公式即可得解.【详解】因为矩形对角线相互平分且相等，依据外接球性质易知外接球球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且球的半径为AC长度的一半，即，所以.故选：C【点睛】本题考查球与几何体的切、接问题，二面角的概念，属于基础题.8.已知函数()，将的图象上全部点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将得到的图象上全部点向右平行移动个单位长度，得到的图象，则以下关于函数的结论正确的是（）A.若，是的零点，则是的整数倍B.函数在区间上单调递增C.点是函数图象的对称中心D.是函数图象的对称轴【答案】D【解析】【分析】依据协助角公式化简解析式，再依据三角函数平移改变可得函数的解析式：由正弦函数的周期性和零点定义可推断A，由正弦函数单调递增区间可推断B，由正弦函数的对称中心及对称轴可推断C、D.【详解】函数，由协助角公式化简可得，将的图象上全部点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将得到的图象上全部点向右平行移动个单位长度，得到，则，对于A，函数的最小正周期为，若，是的零点，则是的倍数，所以A错误；对于B，由正弦函数的图象与性质可知，函数的单调递增区间为，解得，当时，，而，所以函数在区间上不为单调递增，故B错误；对于C，由正弦函数的图象与性质可知，函数的对称中心为，解得，当时，解得，不合题意，所以C错误；对于D，由正弦函数的图象与性质可知，函数的对称轴满意，解得，当时，，故D正确.综上所述，正确的为D，故选：D.【点睛】本题考查了协助角公式化简三角函数式，三角函数图象平移变换求解析式，正弦函数图象与性质的应用，属于基础题.9.已知正方体棱长为4，P是中点，过点作平面满意平面，则平面与正方体的截面周长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出平面为平面，再依据正方体的棱长为4，即可得答案；【详解】取AD的中点M，AB的中点N，连结PD，则平面PCD，CP，又MN面，PCMNPC面，即平面为面，，截面的周长为，故选：A.【点睛】本题考查空间中平面的作法、线面垂直判定定理与性质定理的运用，考查转化与化归思想，考查空间想象实力、运算求解实力.10.如图所示，为的外心，，，为钝角，为边的中点，则的值为（）A. B.12 C.6 D.5【答案】D【解析】【分析】取的中点，且为的外心，可知，所求，由数量积的定义可得，代值即可．【详解】如图所示，取的中点，且为的外心，可知，∵是边的中点，∴.，由数量积的定义可得，而，故；同理可得，故.故选D．【点睛】本题考查向量数量积的运算，数形结合并娴熟应用数量积的定义是解决问题的关键，属于中档题．11.已知函数对定义域内的随意都有=，且当时其导函数满意若则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：依据题意，由于函数对定义域内的随意都有=，可知函数关于x=2对称，同时依据条件时，有那么说明白当，当x>2时，递增，当x<2时单调递减，则可知函数的单调性，同时结合，那么可知，故选C.考点：函数的单调性点评：解决的关键是对于函数的单调性的判定以及周期性的运用，属于基础题．12.点F为抛物线的焦点，过F的直线交抛物线C于两点（点A在第一象限），过A、B分别作抛物线C的准线的垂线段，垂足分别为M、N，若，则直线的斜率为（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】令，依据抛物线焦点弦的性质可得，可得，由勾股定理可得，再依据等面积法求出，即可求出抛物线的焦点坐标与点坐标，最终利用斜率公式计算可得；【详解】解：如图令，易知：．．因为所以抛物线方程为，焦点坐标，（舍去），所以故选：D【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，焦点弦的性质的应用，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若函数，则______．【答案】【解析】【分析】先计算，再计算，即可得答案；【详解】，，，故答案为：.【点睛】本题考查依据分段函数求函数值，考查运算求解实力，属于基础题.14.按如图所示的程序框图运算,若输入x=20,则输出的k=______.【答案】3【解析】【详解】依据题意可知，起始量为k=0,第一次得到：k=1,x=39;其次次：k=2,x=77;第三次：k=3,x=153,此时不符合条件，则终止循环得到的k的值为3.故答案为:3.考点：本试题考查了框图的学问．【点睛】解决该试题的关键是利用已知中的条件结构和循环结构，解决变量的求值问题，留意循环结构的终止条件，也就是最终一步何时停止，这一点是易错点，属于基础题．15.如图，已知椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，若，则该椭圆的离心率是.【答案】【解析】【详解】16.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若有最大值，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理求得，结合协助角公式以及三角函数的最值，求得的取值范围.【详解】由于，所以.由正弦定理得，所以，所以.当时，没有最大值.所以.则.其中，要使有最大值，则可以等于，由于，所以，所以，即，解得.所以的取值范围是.故答案为：【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查协助角公式，属于难题.三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必需作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60分．17.一次考试中，五名同学的数学、物理成果如下表所示：学生数学（x分）8991939597物理（y分）8789899293（1）求出这些数据回来直线方程；（2）要从4名数学成果在90分以上同学中选2人参与一项活动，以X表示选中的同学的物理成果高于90分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望的值．附：对于一组数据，，…，，其回来直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）利用最小二乘法公式，先求出，再利用回来直线经过样本点中心，即可得答案；（2）随机变量X的可能取值为0，1，2．利用古典概率模型求出随机变量的分布列，进而求得期望.【详解】解：（1），，，，，．故这些数据的回来方程是：．（2）随机变量X的可能取值为0，1，2．；；．故X的分布列为：X012p．【点睛】本题考查最小二乘法求回来直线方程、离散型随机变量的分布列及期望，考查逻辑推理实力、运算求解实力，求解时留意概率模型的选择.18.如图，为圆的直径，点在圆上，，矩形所在的平面与圆所以的平面相互垂直，已知.（1）求证：平面平面；（2）当的长为何值时，平面与平面所成的锐二面角的大小为？【答案】（1）见解析（2）当的长为时，平面与平面所成的锐二面角大小为.【解析】【试题分析】（1）先运用面面垂直的性质定理证明线线垂直，再运用线面垂直的判定定理证明线面垂直，最终运用面面垂直的判定定理分析推证；（2）依据题设条件建立空间直角坐标系，再运用向量的坐标形式的有关运算及数量积公式分析求解：解：（1）平面平面，平面平面，∴平面.∵平面，∴，又∵为圆的直径，∴，∴平面.∵平面，∴平面平面.（2）设中点为，以为坐标原点，、、方向分别为轴、轴、轴方向建立空间直角坐标系（如图）.设，则点的坐标为，则，又，∴.设平面的法向量为，则，即令，解得.∴.由（1）可知平面，取平面的一个法向量为∴，即，解得因此，当的长为时，平面与平面所成的锐二面角大小为.点睛：立体几何是中学数学中的传统而典型的内容之一，也高考重点考查的考点和热点．这类问题的设置一般有两类：其一是线面位置关系的判定；其二是有关几何体的体积面积以及角度距离的求解与计算等问题．求解第一问时，先运用线面垂直的判定定理证明线面垂直，再运用面面垂直的判定定理分析推证从而使得问题获证；解答其次问时，先依据题设条件建立空间直角坐标系，再运用向量的有关学问及数量积公式建立方程进行探求从而使得问题获解．19.已知，数列满意，数列满意；又知数列中，，且对随意正整数，．（1）求数列和数列的通项公式；（2）将数列中的第项，第项，第项，…，第项，删去后，剩余的项按从小到大的依次排成新数列，求数列的前2024项和．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）依据题中条件可干脆求和计算出，然后令，则，可求出；（2）结合（1）可知，将数列中的第3项，第6项，第9项，…，删去后，可构成新数列，然后利用奇偶分求法或相邻并项法或利用的前项和，均可求出数列的前2024项和.【详解】（1），，又数列中，，且对随意正整数，，令，则，数列的通项公式为，数列的通项公式为．（2）由（1）知，故将数列中的第3项，第6项，第9项，…，删去后构成新数列，设数列的前项和为.法1：中的奇数项与偶数项仍成等比数列，其首项分别是，，公比均是8，则.法2：.法3：.【点睛】本题主要考查数列求和，考查学生的分析理解实力，属于中档题.解决数列求和问题，须要驾驭常用的求和方法，比如错位相减法，裂项相消法，相邻并项法等.20.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，短轴长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆交于、两点，、是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为．①求四边形面积的最大值；②设直线的斜率为，直线的斜率为，推断的值是否为常数，并说明理由．【答案】（1）；（2）①；②是常数，理由详见解析．【解析】【分析】（1）由题意可得出关于、、的方程组，解出的值，即可得出椭圆的标准方程；（2）①求得点、，可得出，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合四边形的面积公式以及二次函数的基本性质可求得四边形面积的最大值；②求得、的表达式，代入韦达定理可求得为定值.【详解】（1）设椭圆的方程为．由题意可得，解得，因此，椭圆的标准方程为；（2）①由（1）可求得点、的坐标为、，则，设直线的方程为，设点、，联立，得，，可得.四边形的面积，故当时，；②由题意知，直线的斜率，直线的斜率，则，由①知，，可得.所以的值为常数．【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中四边形面积最值以及斜率之和定值问题的求解，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算实力，属于难题.21.已知函数（1）若函数区间上存在极值点，求实数的取值范围；（2）当时，不等式，恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：（，为自然对数的底数，……）．【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由函数定义域为，，得到在上单调递增，在上单调递减，得到为的极值点，再由区间上存在极值点得到关于的不等式组，求得的取值范围即可；（2）把转化为，令，进而转化为，利用导数求得即可；（3）由（2）得，即，令，得，令，得到个式子，对这个式子进行累加后，依据对数的运算性质即阶层的定义即可得到结论.【详解】（1）函数定义域为，，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，所以为的唯一极值点.因为，函数区间上存在极值点，所以应满意，解得：，故所求实数的取值范围为.（2）当时，不等式化为：，即.令，由题意，在恒成立,所以只需.，令，则，当且仅当时取等号，所以在上单调递增，所以因此，在上单调递增，因此，，即实数的取值范围为；（3）由（2）知，当时，不等式在上恒成立，即，整理得：令，则有分别令，则有，…，将这n个不等式