北京市大兴区2025届高三数学上学期期末考试检测试题含解析

PAGE20-北京市大兴区2025届高三数学上学期期末考试检测试题（含解析）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x∈N|x＜4}，则A∩B＝（）A.{﹣1，0} B.{0，1} C.{﹣1，0，1} D.{0，1，2}【答案】D【解析】【分析】对集合进行化简，然后依据集合的交集运算，得到答案.【详解】因为集合B＝{x∈N|x＜4}＝{0，1，2，3}集合A＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝{0，1，2}，故选：D.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简洁题.2.已知一组数据：1，2，2，3，3，3，则这组数据的中位数是（）A.2 B. C. D.3【答案】C【解析】【分析】先将数据从小到大排列，然后计算中间两个数的平均数，得到答案.【详解】数据从小到大排列为1，2，2，3，3，3，则这组数据的中位数是.故选：C.【点睛】本题考查求一组数据的中位数，属于简洁题.3.若向量，则下列结论正确的是（）A. B.． C. D.【答案】C【解析】本题考查向量的坐标运算．解答：选项A、．选项B、选项C、，正确．选项D、因为所以两向量不平行．4.已知复数z在复平面上对应的点为（m，1），若iz为实数，则m的值为（）A.﹣1 B.0 C.1 D.1或﹣1【答案】B【解析】【分析】依据复数z在复平面上对应的点，得到，依据为实数，得到的值.【详解】因为复数z在复平面上对应的点为，，因为为实数，得.故选：B.【点睛】本题考查依据复数的坐标写出对应的复数，依据复数的类型求参数的值，属于简洁题.5.下列函数中，值域为（1，+∞）的是（）A.y=2x+1 B. C.y=log2|x| D.y=x2+1【答案】A【解析】【分析】对四个选项分别求值域，从而得到答案.【详解】选项A中，，因为，所以，即的值域为.选项B中，，是由函数向左平移个单位得到的所以的值域为，选项C中，函数，值域为，选项D中，函数，值域.故选：A.【点睛】本题考查依据函数解析式求函数的值域，属于简洁题.6.若数列{an}满意：a1＝1，2an+1＝2an+1（n∈N*），则a1与a5的等比中项为（）A.±2 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】依据条件推断出是等差数列，得到的值，然后计算出与的等比中项.【详解】由，得，又，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，则.所以与的等比中项为.故选：C.【点睛】本题考查推断等差数列，求等差数列中的项，求等比中项，属于简洁题.7.某四棱锥的三视图如图所示，假如方格纸上小正方形的边长为1，那么该四棱锥体积为（）A.4 B.10 C.12 D.30【答案】B【解析】【分析】依据三视图还原出几何体，然后依据三视图中的数据，得到几何体的体积.【详解】依据三视图得到几何体，如图所示，为底面是上底为，下底为的直角梯形，高为的四棱锥，所以其体积为：.故选：B.【点睛】本题考查三视图还原几何体，依据三视图求几何体的体积，属于简洁题.8.设为非零向量，则“”是“与不共线”（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由与不共线，得到，由不能得到与不共线，从而做出推断，得到答案.【详解】与不共线，则“”，当与反向时，满意，但不能得到与不共线∴“”是“与不共线”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查向量的加法法则，必要不充分条件，属于简洁题9.动点M位于数轴上的原点处，M每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可跳动1个单位或者2个单位的距离，且每次至少跳动1个单位的距离.经过3次跳动后，M在数轴上可能位置的个数为（）A.7 B.9 C.11 D.13【答案】D【解析】【分析】依据题意，分为动点M①向左跳三次，②向右跳三次，③向左跳2次，向右跳1次，④向左跳1次，向右跳2次，四种状况进行探讨，得到相应的位置，从而得到答案.【详解】依据题意，分4种状况探讨：①，动点M向左跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次一个单位，2次2个单位，故有﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，②，动点M向右跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次一个单位，2次2个单位，故有6，5，4，3，③，动点M向左跳2次，向右跳1次，故有﹣3，﹣2，﹣1，0，2，④，动点M向左跳1次，向右跳2次，故有0，1，2，3，故M在数轴上可能位置的个数为﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6共有13个，故选：D.【点睛】本题考查分类计数原理，考查了分类探讨的思想，属于中档题.10.某种新产品的社会需求量y是时间t的函数，记作：y＝f（t）.若f（0）＝y0，社会需求量y的市场饱和水平估计为500万件，经探讨可得，f（t）的导函数f'（t）满意：f'（t）＝kf（t）（500﹣f（t））（k为正的常数），则函数f（t）的图象可能为（）A.①② B.①③ C.②④ D.①②③【答案】B【解析】【分析】令，则或，即当或时，曲线的切线斜率接近，从而得到答案.【详解】因为，令，则或，即当或时，曲线的切线斜率接近，由选项可知，只有①③符合题意，故选：B.【点睛】本题考查函数的实际应用，考查导数的几何意义，依据导数的值求函数图像切线的斜率，属于中档题.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.11.抛物线的焦点到准线的距离为________．【答案】【解析】，所以，所以抛物线的焦点到准线的距离为.12.已知为偶函数，当时，，则_____.【答案】1【解析】【分析】依据为偶函数，得到，从而得到答案.【详解】∵为偶函数，且时，，∴.故答案为：1.【点睛】本题考查依据函数的奇偶性求函数值，属于简洁题.13.在中，若，，的面积为1，则_____.【答案】【解析】【分析】先求出的值，然后依据的面积求出，再利用余弦定理，得到的值.【详解】因为，且为内角，所以，因为，所以，由余弦定理，得，解得故答案为：【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，余弦定理解三角形，属于简洁题.14.圆心在x轴上，且与双曲线的渐近线相切的一个圆的方程可以是_____.【答案】满意方程：的随意均可【解析】【分析】先求出双曲线的渐近线，然后依据对称性设出圆的圆心，再利用圆与直线相切，得到半径，从而得到所求圆的方程.【详解】双曲线的渐近线方程为：，要使圆与两条渐近线相切，设圆的圆心为，，则圆的半径为：，所以所求圆的方程为：，，故答案为：满意方程：随意均可.【点睛】本题考查求双曲线的渐近线，依据直线与圆相切求圆的方程，属于中档题.15.已知，函数若，则的值域为_____；若方程恰有一个实根，则的取值范围是_____.【答案】(1).(2).【解析】【分析】依据，确定的解析式，然后分别求出和时解析式，从而得到值域；【详解】当时，，当时，，当时，，故时，的值域为；当方程恰有一个实根即函数与图象只有一个交点，的图像如图所示由图可知，，解之得，故的取值范围是，故答案为：；.【点睛】本题考查求分段函数的值域，函数与方程，依据方程根的个数求参数的范围，属于中档题.16.小明用数列{an}记录某地区2024年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天下过雨时，记ak＝1，当第k天没下过雨时，记ak＝﹣1（1≤k≤31）；他用数列{bn}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记bk＝1，当预报第k天没有雨时，记bk＝﹣1（1≤k≤31）；记录完毕后，小明计算出a1b1+a2b2+…+a31b31＝25，那么该月气象台预报精确的的总天数为_____；若a1b1+a2b2+…+akbk＝m，则气象台预报精确的天数为_____（用m，k表示）.【答案】(1).28(2).【解析】【分析】依据题意得到akbk＝1表示第k天预报正确，akbk＝﹣1表示第k天预报错误，从而得到，依据得到该月气象台预报精确的的总天数.【详解】依题意，若（），则表示第天预报正确，若（），则表示第天预报错误，若，假设其中有天预报正确，即等式的左边有个，个，则，解得，即气象台预报精确的天数为；于是若，则气象台预报精确的天数为.故答案为：，.【点睛】本题考查数列的实际应用，考查化归与转化的实力，属于中档题.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值.【答案】（1）；（2）1【解析】【分析】（1）利用诱导公式、二倍角公式、协助角公式对进行化简，然后利用，得到的周期；（2）利用正弦型函数的性质，得到的最大值，以及此时的取值.【详解】（1）因为，所以的最小正周期为，（2）因为，所以，所以，当即时，函数取得最大值1.【点睛】本题考查求正弦型函数的周期和最值，属于简洁题.18.如图是2024年11月1日到11月20日，某地区甲流疫情新增数据的走势图.（1）从这20天中任选1天，求新增确诊和新增疑似的人数都超过100的概率；（2）从新增确诊的人数超过100的日期中任选两天，用X表示新增确诊的人数超过140的天数，求X的分布列和数学期望；（3）依据这20天统计数据，预料今后该地区甲流疫情的发展趋势.【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）见解析【解析】【分析】（1）依据走势图新增确诊和新增疑似人数超过100人的有3天，从而依据随机事务的概率公式，得到答案；（2）依据题意得到X的全部可能值为0，1，2，从而得到相应的概率；（3）基于图表的数据，预料今后该地区甲流疫情的发展趋势.【详解】（1）由图知，在统计出的20天中，新增确诊和新增疑似人数超过100人的有3天，设事务为“从这20天中任取1天，新增确诊和新增疑似的人数都超过100”，则.（2）由图知，新增确诊的日期中人数超过100的有6天中，有2天人数超过140，所以X的全部可能值为0，1，2.所以，，.所以X的分布列为X012P所以的数学期望为.（3）预料一：新增确诊和新增疑似的人数渐渐削减.预料二：新增确诊和新增疑似的人数每天大致相当.预料三：该地区甲流疫情趋于减缓.预料四：该地区甲流疫情持续走低，不会爆发.（答案不唯一，只要结论是基于图表的数据得出的，都给分）.【点睛】本题考查求随机事务的概率，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查依据数据走势图进行预料，属于中档题.19.已知数列为等比数列，且，数列满意，若，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列前项和为，若当且仅当时，取得最大值，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）依据，，得到和的值，从而得到公比，写出的通项；（2）由（1）得到的通项，依据，的前项和取得最大值，得到，从而解得的范围.【详解】（1）由题意，设等比数列的公比为，则，即.，即.∴.∴数列的通项公式为，.（2）由（1）知，.故.∴数列是等差数列.∵当且仅当时，数列的前项和取得最大值，∴，即.解得.∴实数的取值范围是.【点睛】本题考查等比数列通项的基本量计算，依据等差数列前项和最大，求参数的范围，属于中档题.20.如图，在四棱锥中，平面平面，是边长为的等边三角形，，，，点为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：；（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）取中点，连结，，可证明出，，得到为平行四边形，通过，证明出平面；（2）取中点，连结，，由平面平面，得到平面，从而以为原点，建立空间直角坐标系，得到，的坐标，然后通过，证明；（3）证明出是平面的法向量，求出平面的法向量，通过法向量的夹角公式，得到二面角的余弦值.【详解】（1）证明：取中点，连结，，在等边三角形中，且，又因为，所以，又因为，所以，所以为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；（2）证明：取中点，连结，，因为三角形是等边三角形所以，，因为四边形满意，，，所以，，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，所以所以；（3）由（2）知，，因为等边三角形中，为的中点，所以，平面，所以平面，所以是平面的法向量，又，，设平面的法向量为，则，即，令，得，由，又因为二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查证明线面平行，通过空间向量证明线线垂直，通过空间向量求二面角的大小，属于中档题.21.已知椭圆C：的离心率为，过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.（1）求椭圆的方程；（2）已知点，，过点的随意一条直线与椭圆交于，两点，求证：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）依据过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，得到，依据离心率得到，结合，得到，的值，从而得到椭圆方程；（2）将问题转化为证明证明，易得直线的斜率不存在时结论成立，直线的斜率存在时，直线的方程为，与椭圆联立，得到，，表示出，，再进行计算，得到，从而证明.【详解】（1）因为，令，得，因为过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，所以，依据离心率为，得，结合，解得，，所以椭圆的方程为.（2）要证明，只需证明，过，分别作轴的垂线段，，易得：，所以只需证明，所以只需证明，只需证明.当直线的斜率不存在时，易得.当直线的斜率存在