2023-2024学年高三数学下学期开学摸底考试卷含答案（全国甲卷、乙卷）

2024届高三下学期开学摸底考（全国甲卷、乙卷通用）

理科数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.考试范围：高考全部内容。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知集合A=[xeN卜=7?^},^A={-1,5},。=卜卜=2,，则3cD=（）

A.{L2,3,4,5}B.{1,2,3,5}C.{0,1,2,3,5}D.{-1,0,1,2,3,4,5}

2.已知复数曾的虚部是2,则当=（）

1-ai1一

A.75B.近C.3D.ViT

3.执行如图所示的程序框图，若输出p的值为21,则空白框内可以填入的是（）

A.k<3B.k<5C.k<lD.k<9

4.已知MC中，AB=2,AC=4,ZBAC=120°,。为ABC所在平面内一点，^OA+OB+2OC=O,

则AOBC的值为（）

A.6B.7C.8D.9

5.已知数列{%}是等差数列，数列也}是等比数列，若4+为+%=9也贴8=3』，则（）

A.2B.73C.-D.且

23

6.已知长方形ABC。中，AD=2AB,E,X分别是43,A。的中点，尸是8C边上靠近2的三等分点，G是

。。边上靠近。的四等分点.现往长方形ABC。中投掷96个点，则落在阴影部分内的点有（）

D.72个

7.已知平面直角坐标系中，角a的终边不在坐标轴上，则“tan0<sin（z<cosa”是“a是第四象限角”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

22_

8.已知双曲线C:=-与=1（a>0,b>0）的离心率为君，圆（尤-a）。+F=9与C的一条渐近线相交,

ab

且弦长不小于4,则。的取值范围是（）

A.（0,1］B.［。,|C.（0,2］D.

9.劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，某校计划组织学生参与各项职业体验，让学生在劳

动课程中掌握一定的劳动技能，理解劳动创造价值，培养劳动自立意识和主动服务他人，服务社会的情怀.该

校派遣甲、乙、丙、丁、戊五个小组到A、B,C三个街道进行打扫活动，每个街道至少去一个小组，则不

同的派遣方案有（）

A.140B.150C.200D.220

10.已知函数〃x）=Mcos（s+0,M>O,o>O,|d<1的部分图象如图所示，其中A［或，0），

5,o］,C（O,2）,现先将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的］再向左平移♦个单位长度,

得到函数g（x）的图象，则｛一舒］=（）

A.72-76B.-2也C.V6-V2D.76+72

22

11.已知椭圆土+匕=1,直线/过椭圆的右焦点尸，交椭圆于A,3两点，O为坐标原点，M为A5的中点,

1612

N为。尸的中点，则线段的长的取值范围为（）

6」「1J「3J「13一

A.—-4B.-JC.-JD.不丁

2J\_2J14」124」

2

12.已知函数=炉，实数。，6分别满足〃2=一，b=ln2f则下列结论成立的是（）

e

A.a>bB.a<bC.f（a）>f（b）D.f（a）<f（b）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13.已知函数=—+Asinx+2(〃A工0),若“4)=6,则/(«■)=

x-2y+l<0

14.若满足约束条件，x+2yW7,则y-2x的最小值是.

3%+2y>5

15.已知正四棱锥P-MCD的底面边长为2后，高为"，且14//44,该四棱锥的外接球的表面积为S,则

S的取值范围为.

16.已知锐角三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足-c?卜inCcosC=

bccos(B+C),a=y/2,贝IABC周长的取值范围为.

三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试

题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.(12分)已知数列｛%｝的前几项和为S,,且满足%=2,%=4,当心2时，]鸟二二工，是4的常数列J.

(1)求｛%｝的通项公式；

⑵当〃22时，设数列/—的前"项和为北，证明：(<二.

[n｛n+l)an+1J2

18.(12分)如图，在四棱锥S-ABCD中，AB//CD,AB1BC,SA=SD=1,AB=2CD=2BC=2,SB=6,

点M为棱。的中点，点N在棱弘上，且⑷V=3MV.

(1)证明：〃平面S3C；(2)求直线SC与平面S3。所成角的正弦值.

19.(12分)为了进一步推动智慧课堂的普及和应用，A市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样

调查，统计数据如表:

经常应用偶尔应用或者不应用总计

农村40

城^市60

总计10060160

从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率吟

(1)补全2x2列联表，判断能否有99.5%的把握认为智慧课堂的应用与区域有关，并阐述理由；

(2)在经常应用智慧课堂的学校中，按照农村和城市的比例抽取5个学校进行分析，然后再从这5个学校中

随机抽取2个学校所在的地域进行核实，记其中农村学校有X个，求X的分布列和数学期望.

n(ad-be)2

(a+6)(c+d)(a+c)3+d)

P(K2>k)0.5000.0500.005

k0.4453.8417.789

20.（12分）已知抛物线C:f=2py经过点P（-2,l）,过点。（-1,0）的直线/与抛物线C有两个不同交点AB,

且直线上4交x轴于直线加交x轴于N.

（1）求直线/斜率的取值范围；

（2）证明：存在定点T,使得。M=2QT,"=〃。7且；+'=4.

Z（J,

21.（12分）己知函数/（xbaeX+V+x.

（1）若曲线y=/（x）在x=0处的切线方程为y=2x+6,求a,b的值；

⑵若函数Mx）=/（x）+lna-x2-x7nx,且耳⑺恰有2个不同的零点，求实数。的取值范围.

（-）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

选修4-4：坐标系与参数方程

22.（10分）

°c।।[x=tcosa

在直角坐标系xOy中，己知曲线C：x?+y2=x+y（其中》＞。），曲线0：.（r为参数，r＞0）,

[y=tsma

—rsmCLTV

一一G为参数，/＞0,。＜£＜彳）.以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标

y=tcosa2

系.

（1）求C的极坐标方程；

⑵若曲线C与G，G分别交于A,B两点，求0AB面积的最大值.

选修4-5：不等式选讲

23.（10分）

已知函数/（x）=|x-2|-|x-2|.

（1）当a=-l时,求不等式的解集;

⑵若不等式/（x）gx—4|-1恒成立，求实数〃的值.2024届高三下学期开学摸底考（全国甲

卷、乙卷通用）

理科数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.考试范围：高考全部内容。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

已知集合=卜€叫了=)

1.47^7},3A={-1,5},Z={y|y=2J,则5co=()

A.{123,4,5}B.{1,2,3,5)C.{0,1,2,3,5)D.{-1,0,1,2,3,4.5)

【答案】A

【分析】根据函数的定义域求得A,进而求得8,根据函数的值域求得。，进而求得5co.

【详解】A=XGN|y=74^x1={xeN|0<x<4}={0,1,2,3,4),

因为5A={-1,5},所以3={-1,0,1,2,3,4,5},又。={>b=2,巾>0},

所以3£>={1,2,3,4,5}.

故选:A

2.已知复数当的虚部是2,3+ai

则()

1-ai1-ai

A.亚C.3D.而

【答案】A

3+〃i3+oi

【分析】根据复数的除法运算,化简结合虚部为2求出a的值，即可得复数,再根据模的计

1-ai1一出

算公式,即可得答案;

3+ai_(3+ai)(l+ai)3—a2+4ai，则咨

【详解】=2,

1-ai+l+i?

3+m3-l2+4i3+ai

解得4=1,则=l+2i,则=|l+2i|=>/5,

1—ai1+1-1-ai

故选：A.

3.执行如图所示的程序框图，若输出p的值为21,则空白框内可以填入的是（）

A.k<3B.左<5C.k<lD.k<9

【答案】B

【分析】模拟程序，可知输出p的值为21时，上的取值，即可得解.

【详解】执行程序框图：

k=l,P=l,进入循环，p=lxl=l,是；

k=3,0=lx3=3,是；

k=7,p=3x7=21,否，结束循环.

输出P的值为21,

所以结合选项知选B.

故选：B

4.已知ABC中，AB=2,AC=4,ABAC=120°,。为一ABC所在平面内一点，且OA+OB+20c=O,

则A0-8C的值为()

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】利用平面向量基本定理即可解决问题.

【详解】AB-AC=|AB||AC|COS120=2x4x]-g]=-4,

vOA+OB+2OC=0>/.OA+(OA+AB)+2(0A+AC)=0,AO=^AB+^AC,

AO-BC^\-AB+-AC\(AC-AB｝=-AC2--AB2--AB-AC=S

(42八>244

故选：C.

5.已知数列｛%｝是等差数列，数列｛4｝是等比数列，若6+丹+名=9也贴8=36,则士厂()

AI

A.2B.J3C.-D."

23

【答案】C

【分析】根据等差、等比数列的性质分析求解.

也4+纳4+分%=3相a.=9’解得,%=3

【详解】由题意可得，=3

4=5

斫以二a,+a.L,=——2a.=---6---=—3

加入1+Z41+£1+32,

故选：C.

6.已知长方形4BC。中，AD=2AB,E,X分别是AB,的中点，尸是BC边上靠近B的三等分点，G是

。。边上靠近。的四等分点.现往长方形ABC。中投掷96个点，则落在阴影部分内的点有()

C.54个D.72个

【答案】A

【分析】根据己知可分别长方形及阴影部分的面积，再根据几何概型即可求解.

【详解】依题意，不妨设A8=6,则AD=12,落在阴影部分的点有八个，

结合题中图形易知长方形ABCD的面积为6x12=72,

阴影部分的面积S=12x6-工X3X6」X6X3-LX8X2—J_X4X3=",

2222222

69

由几何概型得」_=2，解得九=46,

96~72

即落在阴影部分内的点有46个.

故选：A.

7.已知平面直角坐标系中，角a的终边不在坐标轴上，则“tancr<sin(z<cosa"是"a是第四象限角”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用不同象限角的三角函数值的符号可知，a不在第二象限和第三象限，对a在第一象限和第四

象限进行分类讨论即可得出结论.

【详解】显然a在第二象限和第三象限不等式均不成立，

若a在第一象限，则tana>0,sin(Z>0,coscr>0,

因为Occosevl,所以一-—>1,

cosa

sincc

可知---->sina,即tana>sina,故tanavsinavcosa不成立；

cosa

若。在第四象限，贝！Jtana<0,sina<0,cosa>0,

因为Ovcosavl,所以一-—>1,

cosa

sinoc

可知----<sin6/,即tancrvsina,即tanavsinavcosa成立；

cos。

若tanavsinevcosa,则可知。不在第二象限和第三象限；

当a在第一象限时，不妨取工，则sina=^>cosa=L,不合题意；

322

所以a只能是第四象限角;

综上可知，“tanavsinavcosa”是是第四象限角”的充要条件.

故选：C

22_

8.已知双曲线C:二-2=1(a>0,b>0)的离心率为正，圆(x-a>+y2=9与C的一条渐近线相交,

ab

且弦长不小于4,则a的取值范围是()

A.(0,1]B.10,|C.(0,2]D.fo,|

【答案】D

【分析】根据双曲线的离心率可得渐近线方程为y=±2x,结合弦长可得2/9-丫24,运算求解即可.

【详解】设双曲线C的半焦距为c>0,

则e，=H=J也尹=、"^=布,解得2=2,

a\a\ayaa

且双曲线C的焦点在X轴上，所以双曲线C的渐近线为y=±2尤，

因为圆。-。了+丁=9的圆心为(a,0),半径r=3,

可知圆(x-a)2+V=9关于x轴对称，不妨取渐近线为y=2x,即2x-y=0,

则圆心(a,0)到渐近线的距离”=m<3,可得0<a〈笠，

又因为圆(x-a)2+y=9与双曲线C的一条渐近线相交弦长为2,因一屋=2/一Y,

由题意可得2,9-手24,解得0<森(

所以a的取值范围是[。福.

故选：D.

9.劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，某校计划组织学生参与各项职业体验，让学生在劳

动课程中掌握一定的劳动技能，理解劳动创造价值，培养劳动自立意识和主动服务他人，服务社会的情怀.该

校派遣甲、乙、丙、丁、戊五个小组到A、8、C三个街道进行打扫活动，每个街道至少去一个小组，则不

同的派遣方案有()

A.140B.150C.200D.220

【答案】B

【分析】分成两种情况，分别对每种情况单独讨论即可.

【详解】当按照3:1:1进行分配时，则有C；A；=60种不同方案，

C2

当按照2:2:1进行分配时，则有C；涓A；=90种不同方案，

故共有150不同的方案，

故选:B

10.已知函数/(x)=Mcos(s+0“M＞0,。＞0,［司＜］的部分图象如图所示，其中小»,

B[^,O\C（O,2）,现先将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的;，再向左平移含个单位长度,

\NT"JJ

571

得到函数g（力的图象,则g()

144

C.V6-V2D.V6+V2

【分析】根据图象得到八％）的最小正周期，进而求出口，根据/（%）的图象过点AC求出得到了（%）的

解析式，根据三角函数图象的变换法则求出g（无）的解析式,即可根据和差角公式求解.

【详解】记函数/'（X）的最小正周期为T,由题意知:=工一或=:,得7=（所以&=宗=4,故

/（%）=Afcos（4x+e）.

因为/（X）的图象过点所以4x£+0=3+2日(左wZ),得"=1+2far(左EZ),又|?|＜］，所以

1,故〃x)=Mcos(4x+|J,

9=

3

因为/（x）的图象过点。（。,2）,所以Mcos1=2,解得M=4,所以/（"=4cos]以十5；

将〃x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的g,得到y=4cos112x+3的图象，再将所得图象向左平移点

324

个单位长度，得到函数g（x）=4cos卜2了+5+与=4cosH2x+^-

的图象，所以

571“571/7171.(7171.71.71

g=4cos——=4cos—+—4cos—cos---sin—sin—=yj6~y/2,

1441246I4646

故选:c.

22

11.已知椭圆三+二=1,直线/过椭圆的右焦点尸，交椭圆于A,B两点,。为坐标原点，M为的中点,

1612..............

N为。尸的中点,则线段的长的取值范围为（）

3

A.B.C.D.

214

【答案】A

【分析】依题意运用垂径定理和椭圆的对称性即可求解.

【详解】Ux轴时M（2,0）1（1,O）,N（1,O）,故|叫=1,

Uy轴时A,8均为顶点，〃为原点，尸（2,0）,N（l,0）,故WM=1,

4

/不垂直坐标轴时，设/：尤=④+2,和椭圆方程联立得（〃y+2）9-+gy2=16

即1/+g卜2+4ny-12=0

，…2/8

故乙="加+2=2--=

n-\——

3

故心M心B=干：=一：，即

人M几一4

23

设M（x,y）,易知/2,。），则…，2听•长=［（1）+1/一1）一1厂“

得点M的轨迹方程为"-）+5=1,而无=。,2时也满足该方程，刚好构成完整的椭圆，且N为其对称中

心，

22

又椭圆当=1上的点到椭圆中心的距离de也同,

ab

所以|MN|e¥，1.

故选：A.

2

12.已知函数/（x）=ex+er-V,实数。，匕分别满足/=—,b=ln2,则下列结论成立的是（）

A.a>bB.a<bC./（a）>f（b'）D./（a）<f（b）

【答案】C

【分析】对于AB选项构造函数利用函数单调性比较大小进行判断.

对于CD利用函数为偶函数得到“的两个函数值相等，然后求出（0,一）上函数为单调递增函数，然后利用单

调性比较大小.

|，得…£令且⑴:詈，则g，(x)=圭—Inx,—7=2—Inx

【详解】由二——^=27^

X

所以当无时，g'(无)>。，当xe(e2,+9)时，g'(无)<0,

所以g(x)在(0,e2)上单调递增,在卜2,+e)上单调递减,

Ine1In2</?

所以g(e)>g(2),即歪=能>近，所以/>1口2,

56

所以当。=〒时，a>b,当々=一一产时，a<Q<b,故选项A,B均错误.

Jeve

因为所以f(x)的定义域为R,f(-x)=/(x),所以，(x)是偶函数.

易知r(x)=e“—e—x—2x,^h(x)=ex-e~x-2x,贝!J"(%)=e”+匕一”一220,

所以广⑺是R上的增函数.

因为尸(0)=0,所以当x>0时，/'(x)>0,所以"X)在(0,内)上单调递增,

所以/(«)=/[±日=/旧〉〃ln2)=f(b).

故选:C.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13.已知函数/⑴—+bsinx+2(aZ;W0),若“4)=6,则〃-4)=

【答案】-2

【分析】设g(%)=/(x)-2=等二+bsinX,判断函数g(x)的奇偶性求解即可.

【详解】设+即户"

g(x)=/(x)-2=3+力sinx,

g(x)的定义域为无wo},

x+bsin苫]=

g(-)=e-/+bsin(r)=-Q：-g(x),

g(x)是奇函数，

"4)=6,.•.g(4)=/(4)-2=6-2=4,

.••g(-4)=/(-4)-2=-g(4)=-4,

故答案为：-2.

x-2y+l<0

14.若x，y满足约束条件<x+2y47,则y-2x的最小值是

3x+2y25

【答案】-4

【分析】利用线性规划作出可行域，直接求最优解即可.

【详解】如图，作出可行域，为一封闭三角形区域（包含边界），

易得三角形的顶点分别为A（-l,4）,B（3,2）,C（1,1）,

作出直线y=2x并平移，

当平移后的直线过点8时，y-2x取得最小值，

且为2—2x3=4

故答案为：—4

15.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2夜，高为“，且该四棱锥的外接球的表面积为S,则

S的取值范围为.

【答案】［16兀,25兀］

【分析】作出辅助线，找到球心的位置，列出方程，求出半径与〃的关系式，利用导函数得到其单调性和最

值情况，得到表面积的取值范围.

【详解】连接AC,3。相交于点E,连接PE,则PEL平面ABCD,

球心。在尸E上，连接则OP=O3=r,OE=h-r,

因为正四棱锥尸-ABCD的底面边长为2虚，所以巫=2,

在直角三角形OBE上，由勾股定理得OB2=OE2+BE2,

即产=22+（/7-r）2,1</1<4,解得r—

,,21/I2-4

由/=一一r+-=―丁,

h222/?

当时，/<0,〃=介2单调递减，

当此（2,4］时，/>0,/•=„单调递增,

所以厂=：+?在力=2取得极小值，也是最小值，此时/'=2,

h2

又当力=1和无=4时，r=2+-=-

22f

所以一£2,g,贝！jS=4兀/£［16兀,25兀］.

D

故答案为：［16兀,25兀］

16.已知锐角三角形A8C的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足-6?-c?卜gCcosC=

Z?ccos(B+C),0=^/2,贝ij.ABC周长的取值范围为.

【答案】(2+V2,2A/2+2)

【分析】本题利用正、余弦定理进行边角转化，将已知转化为角后，利用角的范围求三角函数的范围，从

而解出周长的范围.

【详解】由(a?——c-sinCcosC=becos(B+C),得——(——------sinCcosC=cos(B+C)=cos(^—A))

化简为—2cos4sinCcosC=—cosA,因为A为锐角，所以cosAwO,

jr

所以2sinCc°sC=l,即sin2c=1,因为C为锐角，所以C="

由正弦定理就=^=髭得"Uri。煮.条烹,

asinB拒sin[=-（A+C）]^2sin^A+jsinA+cosA,

sinAsinAsinAsinA

故.ABC的周长为

1sinA+cosA_1+cos

I=c+b+a=

sinAsinAsinA

02AA

2cos—cos—]

--------^—+V2+1=—J_+A/2+1=-+V2+1.

c.AA.AA

2sin—cos—sin—tan—

2222

TT

因为c=K且-MC为锐角三角形'

71A71

所以卜A芳,—<—<—

824

2tan—/\

因为tan2=----------=1,整理得tai?三+2tan三一1二0tan—>0,

488I8J

8

解得tan£=-l+0,

o

所以后一Ivtan^vl,故1<4<同1,

25

fiCh.2+V2<^-+V2+l<2V2+2

所以tan^'

2

即一ABC周长的取值范围为(2+忘,2①+2).

故答案为：(2+72,272+2).

三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试

题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.(12分)已知数列｛%｝的前〃项和为S.,且满足4=2,%=4,当w22时，1安巴，是4的常数歹1].

⑴求｛%｝的通项公式；

(2)当时，设数列,—的前〃项和为?；，证明：

[n｛n+l)an+lJ2

即(t包[是4的常数列，............2分

【详解】(1)当“22时，为等比数列，

故见+1=4。"_1，........................................................................................................................................3分

当〃=2左时，a2k+1=4<2M_1,.................................................................................................................4分

当九=2左+1时，a2k+2=4a2k,.............................................................................................................5分

二数列｛%-｝，｛%,｝均为公比为4的等比数列，

12

二.%=24-1=221,«2„=4-4"-=2",.......................................................................................7分

2"....................................................................................................................................................8分

⑵〃+2=〃+2=2(〃+1)

»"(n+l)-2"+,,107

+n(n+l)2n+1n(n+l)2n+1

〃+2

.•.当“22时，数列',八，的前”项和为

[n[n+l)an+lJ

1

r-O_____O+O______O+Jj___-J—1=1一——<112夕

"(1x22x22J(2x223x23Jn-T(r+1)-2用2(«+1)-2"+12攵

18.(12分)如图，在四棱锥S-ABCD中，AB//CD,ABJ.BC,SA=SD=1,AB=2CD=2BC=2,SB=«,

点〃为棱CO的中点，点N在棱81上，且4V=3SN.

(1)证明：MN//平面SBC；

(2)求直线SC与平面S3。所成角的正弦值.

【详解】(1)在平面ABC。内过点M作儿牛〃3c交A3于点P,连接NF,

则四边形MCBF为平行四边形,

所以EB=MC=：CD=所以AF=3FB,

又AN=3SN,所以NFI/SB.................................................................................................................1分

因为NPz平面S3C,S3u平面SBC,所以NF〃平面5BC,

因为平面SBC,BCu平面S8C,所以MF〃平面&BC,...................................2分

又NFMF=F,NF,MFu平面MNF,所以平面尸//平面1sBC,.......................................3分

又肱Vu平面肱VF,所以ACV〃平面1sBe......................................................................................4分

(2)取AD的中点。，连接SO,80,

因为AB//CD,AB_LBC,AB=2CD=2BC=2,

所以AD=BZ)=应，所以AD2+B£>2=44，所以ADSBD,....................................................5分

又SA=SD=1,AD=0,所以&4，S£>,50_14£),所以50=工4。=也.

22

在ABCO中，BO2=BD2+OD2=-,

2

又SB=0,所以SB?=5。2+3。2,所以SO_LO3,......................................................................6分

又AD30=0,4£),30匚平面48。£),所以SO_L平面A3CD.

过B作3z//SO,则Bz_L平面A3CD,则3A3C,及两两垂直，.........................7分

所以以8为坐标原点，BA,BC,Bz所在的直线分别为尤,％z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

iB、

则5(0,0,0),C((U,0),D(l,l,0),S,

【222J

315A31

所以2S=,2。=(1,1,0),sc=-..................................8分

(222JI222J

设平面SB。的法向量为〃=(%,y,z),

、

n,BS=(x,y，z>I'l■'孝=二+%+比z=0

222

则7

n.BD=(x,=x+y=0

取x=l,贝!Jy=—1,z=—zz=^1,—1,—5/2j,...........................................10分

设直线sc与平面S3。所成的角为e,

I/7卜c/一5一”i6

Ulisinf)=1cosISC.〃\=J_=---------=.11分

,/网W266.......................

V442

即直线SC与平面S3。所成角的正弦值为丑..........................................

12分

6

19.(12分)为了进一步推动智慧课堂的普及和应用，A市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样

调查，统计数据如表：

经常应用偶尔应用或者不应用总计

农村40

城市60

总计10060160

从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是

(1)补全2x2列联表，判断能否有99.5%的把握认为智慧课堂的应用与区域有关，并阐述理由；

(2)在经常应用智慧课堂的学校中，按照农村和城市的比例抽取5个学校进行分析，然后再从这5个学校中

随机抽取2个学校所在的地域进行核实，记其中农村学校有X个，求X的分布列和数学期望.

n(ad-be)2

(a+6)(c+d)(a+c)3+d)

P(K22k)0.5000.0500.005

k0.4453.8417.789

【详解】(1)补全列联表如下:

经常应用偶尔应用或者不应用总计

农村404080

城市602080

总计10060160

2分

片=_______3bc¥_______=160(20x40-40x60)^32

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)100x60x80x803...........................力

所以有99.5%的把握认为认为智慧课堂的应用与区域有关...............................5分

(2)在经常应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是2:3,所以抽取的5个样本有2个是农村学校，3

个是城市学校，抽取2个，.........................................................6分

则X可能取值为04,2.

c°c2,嗥P（X=2）="wi

P（x=o）/................................................9分

所以X的分布列为:

X012

331

P

W5W

11分

X的数学期望E（X）=0x1+lx1+2x£q.................................................................................12分

20.(12