北京市2024年中考数学押题试卷（含解析）

2024年中考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，点A、B、C、。在。。上，NAOC=120。，点3是弧AC的中点，则NO的度数是（）

2.如图，以O为圆心的圆与直线y=-x+有交于A、B两点，若AOAB恰为等边三角形，则弧AB的长度为（）

c凡

3

3.定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a/0）满足a+Z»+c=0,那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方

程依2+加+c=o（存0）满足a-Hc=0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是

“美好”方程，则下列结论正确的是（）

A.方有两个相等的实数根B.方程有一根等于0

C.方程两根之和等于0D.方程两根之积等于0

4.实数-11的倒数是（

5533

A.B.C.D.

2255

5.化简历的结果是（)

A.±4B.4C.2D.±2

6.有15位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前8位同学进入决赛.某同学知道自己的分数后，要判

断自己能否进入决赛，他只需知道这15位同学的（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

7.如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E,ZA=30°,NACB=80。，则NBCE等于（）

8.如图，在^ABC中，NACB=90。，沿CD折叠△CBD,使点B恰好落在AC边上的点E处.若NA=24。，则NBDC

的度数为（）

A.42°B.66°C.69°D.77°

9.在RtMfiC中，NC=90°，AC=2,下列结论中，正确的是（）

A.AB=2sinAB.AB=2cosA

C.BC=2tanAD.BC=2cotA

10.如图，。。与直线h相离，圆心O到直线h的距离OB=26,OA=4,将直线L绕点A逆时针旋转30。后得到

的直线12刚好与。。相切于点C,则OC=（）

A.1B.2C.3D.4

11.如图，这是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，根据统计图提供的信息，可得到该班40

名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）

D.16,10.5

12.2017年北京市在经济发展、社会进步、城市建设、民生改善等方面取得新成绩、新面貌.综合实力稳步提升.全

市地区生产总值达到280000亿元，将280000用科学记数法表示为（）

A.280x103B.28xl04C.2.8xl05D.0.28x106

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.飞机着陆后滑行的距离S（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是s=60t-l.2t2,那么飞机

着陆后滑行秒停下.

14.将三角形纸片（AABC）按如图所示的方式折叠，使点3落在边AC上,记为点E,折痕为石尸，已知AB=AC=3,

BC=4,若以点8',F,。为顶点的三角形与AABC相似，则3歹的长度是.

2

15.计算：X=+'1=.

x—11—x

m—1

16.若反比例函数y=——的图象在每一个象限中，y随着x的增大而减小，则，”的取值范围是

x

17.已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2-2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为.

18.要使式子万工有意义，则x的取值范围是.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）（1）计算：|-3|-屈-2sin300+（--）-2

2

2xx-2y

2）十

（2）化简:~~22

%+yx+yx-y

20.（6分）某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商

场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元.该商场两次共购

进这种运动服多少套？如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于20%,那么每套售价至少是多

少元？

21.（6分）如图，正方形ABCD的边长为4,点E,F分别在边AB,AD±,且NECF=45。，CF的延长线交BA的

延长线于点G,CE的延长线交DA的延长线于点H,连接AC,EF.,GH.

ZAHCZACG；（填“>”或或“=”）线段

①^AGH的面积S有变化吗？如果变化.请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值.

②请直接写出使4CGH是等腰三角形的m值.

22.（8分）为了解某校落实新课改精神的情况，现以该校九年级二班的同学参加课外活动的情况为样本，对其参加“球

类”、“绘画类”、“舞蹈类”、“音乐类”、“棋类，活动的情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图.

⑴参加音乐类活动的学生人数为—人，参加球类活动的人数的百分比为

⑵请把图2（条形统计图）补充完整;

（3）该校学生共600人，则参加棋类活动的人数约为.

（4）该班参加舞蹈类活动的4位同学中，有1位男生（用E表示）和3位女生（分别用F,G,H表示），先准备从中选取两名同学

组成舞伴，请用列表或画树状图的方法求恰好选中一男一女的概率.

23.（8分）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高

度AH为3.4m.当起重臂AC长度为9m,张角NHAC为118。时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后

一位：参考数据：sin28°=0.47,cos28°=0.88,tan28°~0.53)

c

24.(10分)一个口袋中有1个大小相同的小球，球面上分别写有数字1、2、1.从袋中随机地摸出一个小球，记录下

数字后放回，再随机地摸出一个小球.

(1)请用树形图或列表法中的一种，列举出两次摸出的球上数字的所有可能结果；

(2)求两次摸出的球上的数字和为偶数的概率.

25.(10分)某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏PK环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游

戏：用不透明的白布包住三根颜色长短相同的细绳AAi、BBi、CCi,只露出它们的头和尾(如图所示)，由甲、乙两

位嘉宾分别从白布两端各选一根细绳，并拉出，若两人选中同一根细绳，则两人同队，否则互为反方队员.若甲嘉宾

从中任意选择一根细绳拉出，求他恰好抽出细绳AAi的概率；请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分为同

队的概率.

」/4合

26.(12分)如图，已知点D在反比例函数y=—的图象上，过点D作x轴的平行线交y轴于点B(0,3).过点A(5,

x

2

0)的直线y=kx+b与y轴于点C,且BD=OC,tanZOAC=y.

(1)求反比例函数y=—和直线丫=1«+|的解析式；

x5

(2)连接CD,试判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由；

(3)点E为x轴上点A右侧的一点，且AE=OC,连接BE交直线CA与点M,求NBMC的度数.

27.（12分）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：

今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数，物价各几何？

译文为：

现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格

是多少？

请解答上述问题.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、D

【解析】

根据圆心角、弧、弦的关系定理得到NAOB=gZAOC,再根据圆周角定理即可解答.

2

【详解】

连接

•••点3是弧AC的中点，

ZAOB^-NAOC=60。，

2

由圆周角定理得，/。=一/4。3=30。，

2

故选。.

此题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，解题关键在于利用好圆周角定理.

2、C

【解析】

过点。作OELAB,

:.D#,0),C(0,如，

二C8为等腰直角三角形，ZC)DC=45°,

OE=OD-sin450=^--,

22

•••△Q钻为等边三角形，

二Z(MB=60°,

："。=-=叵与=后

sin6002g

•**AB=2兀♦r=2形it•—=兀.故选C.

360063

3、C

【解析】

试题分析：根据已知得出方程ax2+bx+c=0(存0)有两个根x=l和户-,再判断即可.

2

解：,把x=l代入方程ax+bx+c=0得出：a+b+c=Of

把x=T代入方程ax2+ftx+c=0得出a-b+c=O,

•二方程ax2+bx+c=0(a#0)有两个根x=l和％=-1,

：.1+(-1)=0,

即只有选项C正确；选项A、B、D都错误；

故选C.

4、D

【解析】

因为=;,

23

所以-lj的倒数是

故选D.

5、B

【解析】

根据算术平方根的意义求解即可.

【详解】

>/16=4,

故选：B.

【点睛】

本题考查了算术平方根的意义，一般地，如果一个正数X的平方等于。，即无2=”,那么这个正数X叫做”的算术平方根,

正数”有一个正的算术平方根，0的算术平方根是0,负数没有算术平方根.

6、B

【解析】

由中位数的概念，即最中间一个或两个数据的平均数；可知15人成绩的

中位数是第8名的成绩.根据题意可得：参赛选手要想知道自己是否能进入前8

名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可.

【详解】

解：由于15个人中，第8名的成绩是中位数，故小方同学知道了自己的

分数后，想知道自己能否进入决赛，还需知道这十五位同学的分数的中位数.

故选B.

【点睛】

此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义.反

映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统

计量进行合理的选择和恰当的运用.

7、D

【解析】

根据线段垂直平分线性质得出AE=CE,推出NA=NACE=30。，代入NBCE=NACB-NACE求出即可.

【详解】

VDE垂直平分AC交AB于E,

；.AE=CE,

ZA=ZACE,

；NA=30°,

/.ZACE=30°,

；NACB=80。，

，ZBCE=ZACB-ZACE=50°,

故选D.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相

等.

8^C

【解析】

在AABC中，NACB=90。，ZA=24°,

/.ZB=90°-ZA=66o.

由折叠的性质可得：ZBCD=-ZACB=45°,

2

:.ZBDC=180°-ZBCD-ZB=69°.

故选C.

9、C

【解析】

直接利用锐角三角函数关系分别计算得出答案.

【详解】

；NC=90°，AC=2,

..AC_2

••cosA.------

ABABf

:.AB=---,

cosA

故选项A,B错误,

BCBC

■:tanA=

AC~2~

/.BC=2tanA,

故选项C正确；选项D错误.

故选C.

【点睛】

此题主要考查了锐角三角函数关系，熟练掌握锐角三角函数关系是解题关键.

10、B

【解析】

先利用三角函数计算出NOAB=60。,再根据旋转的性质得NCAB=30。,根据切线的性质得OCLAC,从而得到NOAC

=30。，然后根据含30度的直角三角形三边的关系可得到OC的长.

【详解】

解：在RtAABO中，sinZOAB=--,

OA42

/.ZOAB=60°,

•••直线h绕点A逆时针旋转30。后得到的直线L刚好与。O相切于点C,

.,.ZCAB=30°,OC±AC,

:.ZOAC=60°-30°=30°,

〜》1

在RtAOAC中，OC=-OA=1.

2

故选B.

【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系：设。。的半径为r,圆心O到直线1的距离为d,则直线1和。。相交udVr；直线

1和。O相切ud=r；直线1和。O相离ud>r.也考查了旋转的性质.

11、A

【解析】

根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数.

【详解】

解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即8；

而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于20,21两个数的平均数，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是9.

故选A.

【点睛】

考查了中位数、众数的概念.本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）

重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不

把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数.

12＞C

【解析】

科学记数法的表示形式为axl（）n的形式，其中iqa|V10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负

数.

【详解】

将280000用科学记数法表示为2.8x1.故选C.

【点睛】

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中10a|VlO,n为整数，表示时关键要

正确确定a的值以及n的值.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、1

【解析】

飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的f值.

【详解】

由题意，s=-1.2»+60U-1.2（F-50H61-61）=-1.2（Z-1）2+750

即当UI秒时，飞机才能停下来.

故答案为L

【点睛】

本题考查了二次函数的应用.解题时，利用配方法求得，=2时，s取最大值.

12一

14、一或2

7

【解析】

由折叠性质可知B，F=BF,△B，FC与AABC相似，有两种情况，分别对两种情况进行讨论，设出B，F=BF=x,列出比

例式方程解方程即可得到结果.

【详解】

由折叠性质可知B，F=BF,设B，F=BF=x,故CF=4-x

、„.士B'FCFx4-x1212

当△B'FCs^ABC,有----=—,得到方程一=-----,解得x=—,故BF=一；

ABBC3477

B'FFCr4-r

当△FB，CS/\ABC,有——=—,得到方程±=—解得x=2,故BF=2；

ABAC33

12

综上BF的长度可以为亍或2.

【点睛】

本题主要考查相似三角形性质，解题关键在于能够对两个相似三角形进行分类讨论.

15、x+1

【解析】

先通分，进行分式的加减法，再将分子进行因式分解，然后约分即可求出结果.

【详解】

x21

解：-----1---------

X—11—X

_____1_

X—1X—1

%2-1

-X-1

(x+l)(x-l)

-

=x+l.

故答案是：x+1.

【点睛】

本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键.

16、m>l

【解析】

rn—1

;反比例函数y=——的图象在其每个象限内，y随x的增大而减小，

x

:.m-l>0,

解得：m>l,

故答案为m>l.

17、-1

【解析】【分析】把x=2代入kx2+(k2-2)x+2k+4=0得4k+2k2-4+2k+4=0,再解关于k的方程，然后根据一元二次

方程的定义确定k的值即可.

【详解】把x=2代入kx2+(k2-2)x+2k+4=0得4k+2k2-4+2k+4=0,

整理得k2+lk=0,解得ki=O,kz=-1,

因为k#0,

所以k的值为-1.

故答案为：-1.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一

元二次方程的解.

18、x<2

【解析】

根据二次根式被开方数必须是非负数的条件可得关于x的不等式，解不等式即可得.

【详解】

由题意得：

2-x>0,

解得：x<2,

故答案为x<2.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)2;(2)x-y.

【解析】

分析：(1)本题涉及了二次根式的化简、绝对值、负指数幕及特殊三角函数值，在计算时，需要针对每个知识点分别

进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.(2)原式括号中两项利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除

法法则变形,约分即可得到结果.

详解：(1)原式=3-4-2x$4=2；

(2)原式二心(x+y)/；_丫.

x+yx-2y

点睛：(1)本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟练掌握负整数

指数幕、二次根式的化简、绝对值及特殊三角函数值等考点的运算；(2)考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是

解本题的关键.

20、(1)商场两次共购进这种运动服600套；(2)每套运动服的售价至少是200元.

【解析】

(1)设商场第一次购进套运动服，根据“第二批所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元”即可列

方程求解；

(2)设每套运动服的售价为y元，根据“这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%”即可列

不等式求解.

【详解】

(1)设商场第一次购进x套运动服，由题意得

6800032000

----------------------=10

2%x

解这个方程，得x=200

经检验，％=200是所列方程的根

2x+x=2x200+200=600.

答：商场两次共购进这种运动服600套；

(2)设每套运动服的售价为y元，由题意得

600y—32000—68000

32000+68000~

解这个不等式，得y2200

答：每套运动服的售价至少是200元.

【点睛】

此题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量及不等关系，正确列方程

和不等式求解.

一2

21、(1)=；(2)结论：AC2=AG»AH.理由见解析；(3)①△AG”的面积不变.②机的值为§或2或8-40..

【解析】

(1)证明NDAC=NAHC+/ACH=43。，ZACH+ZACG=43°,即可推出NAHC=NACG；

(2)结论：AC2=AG«AH.只要证明小AHC^AACG即可解决问题；

(3)①4AGH的面积不变.理由三角形的面积公式计算即可；

②分三种情形分别求解即可解决问题.

【详解】

(1)•••四边形A3C。是正方形，

.*.A5=CB=C0=ZM=4,NO=NZM5=90°/ZMC=N3AC=43°,

“2+42=4返，

VZDAC=ZAHC+ZACH=43°,ZACH+ZACG=43°,

NAHC=NACG.

故答案为=.

(2)结论：AC^^AG^AH.

理由：VZAHC=ZACG,NCAH=ZCAG=133°,

/.△AHC^AACG,

.AHAC

••一,

ACAG

：.AC1=AG'AH.

(3)①△AG"的面积不变.

2

理由：'：SAAGH=~*AH*AG==yAC=yX(4^/2)2=1.

2

.•.△AGH的面积为1.

②如图1中，当GC=GH时,易证△AHGgZ\BGC,

CB

可得AG=3C=4,AH=BG=二8,

'：BC//AH,

.BCBE1

28

：.AE=-AB=-.

33

如图2中，当Ca=HG时，

T

易证AH=5C=4,

•:BC〃AH,

BEBC

••-----=--------1，

AEAH

：.AE=BE=2.

如图3中，当CG=CH时，易证NECB=NDCF=22.3.

，ZBME=ZBEM=43°9

VZBME=ZMCE+ZMEC,

：.ZMCE=ZMEC=22.3°9

：.CM=EM9设5M=5£=帆，则CM=EM夜机，

:.m+y/2m=4,

.\m=4(5/2-I)，

-：.AE=4-4(V2-1)=8-472，

Q

综上所述，满足条件的机的值为§或2或8-4行.

【点睛】

本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的

关键是灵活运用所学知识解决问题.

22、(1)7、30%;(2)补图见解析；(3)105人；(3)-

2

【解析】

试题分析：(1)先根据绘画类人数及其百分比求得总人数，继而可得答案；

(2)根据(1)中所求数据即可补全条形图；

(3)总人数乘以棋类活动的百分比可得；

(4)利用树状图法列举出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解.

试题解析：解：（1）本次调查的总人数为10+25%=40（人），二参加音乐类活动的学生人数为40xl7.5%=7人，参加

球类活动的人数的百分比为一xl00%=30%,故答案为7,30%；

40

（2）补全条形图如下：

图2

7

（3）该校学生共600人，则参加棋类活动的人数约为600x—=105,故答案为105；

40

（4）画树状图如下：

/E\个X/2\小

FGHEGHEFHE尸G

61

共有12种情况，选中一男一女的有6种，则P（选中一男一女）=~=~r•

122

点睛：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问

题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

23、操作平台C离地面的高度为7.6m.

【解析】

分析：作CEJ_BD于F,AFLCE于F,如图2,易得四边形AHEF为矩形，则EF=AH=3.4m,ZHAF=90°,再计算

出NCAF=28。，则在R3ACF中利用正弦可计算出CF,然后计算CF+EF即可.

详解：作CEJ_BD于F,AF_LCE于F,如图2,

图2

易得四边形AHEF为矩形,

；.EF=AH=3.4m,NHAF=90°,

ZCAF=ZCAH-ZHAF=118°-90o=28°,

CF

在RtAACF中，VsinZCAF=——，

AC

CF=9sin28°=9x0.47=4.23,

/.CE=CF+EF=4.23+3.4=7.6(m),

答：操作平台C离地面的高度为7.6m.

点睛：本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，构造出直角三角形转化为解

直角三角形问题)，然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算.

24、(1)画树状图得：

开始

123

Z\/1\/1\

123123123

则共有9种等可能的结果；

(2)两次摸出的球上的数字和为偶数的概率为：二.

9

【解析】

试题分析：(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；

(2)由(1)可求得两次摸出的球上的数字和为偶数的有5种情况，再利用概率公式即可求得答案.

试题解析：(1)画树状图得：

开始

123

/1\/1\/K

123123123

则共有9种等可能的结果；

(2)由(1)得