2024年上海高考押题预测卷1【上海卷】（全解全析）

2024年上海高考押题预测卷01【上海卷】

数学•全解全析

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，

1.集合A={xwZ|log2M,1},B={x|x2-x-2„0},贝！JApB=_{x|x=l或x=2}_.

【分析】由题意，解指数不等式、一元二次不等式求出A和5,再根据两个集合的交集的定义，求出

【解答】解：・集合A={xwZ|log2M，l}={%lx=l或％=2},B={X\X2-X-2^）］={X\-1熄2},

A,3={x|%=1或%=2}.

故答案为：=1或%=2}.

【点评】本题主要考查指数不等式、一元二次不等式的解法，两个集合的交集的定义，属于基础题.

2.已知i为虚数单位，复数2=上2的共轨复数为---i.

2-i-55一

【分析】根据复数的运算结合共轨复数的概念求解.

【解答】解：由题意可得：z二@2=（3+2，）（2+i）J+L,

2-i（2-0（2+055

所以复数z的共轨复数为z=---i.

55

故答案为：———z.

55

【点评】本题主要考查了复数的运算，考查了共甄复数的概念，属于基础题.

3.已知等差数列{°"}满足q+4=12,4=7,则a、=5.

【分析】直接利用等差数列的性质求出结果.

【解答】解：根据等差数列的性质，q+4=4+/=12,解得%=5.

故答案为：5.

【点评】本题考查的知识点：等差数列的性质，主要考查学生的运算能力，属于基础题.

4.（2«-工）6展开式中的常数项为240.

X

【分析】由题意，利用二项式定理，求出通项公式，再令X的事指数等于0,求得厂的值，即可求得展开式

中的常数项的值.

【解答】解：由于.（2«-与6展开式的通项公式为：乙=弓（2/严（_/），=玛（_1八261丁，

令生包=0,解得：厂=2,

2

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24

可得常数项为T3=C；(-l)X2=240,

故答案为：240.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题.

5.已知随机变量J服从正态分布NQ/),且PC<5)=6PC<1),则尸(1<看<3)=_2_.

-14―

【分析】根据正态分布的对称性求解.

【解答】解:4~N(3,/)，则尸C<1)=PC>5),

所以由PC<5)=6PC<1)得1-P(J>5)=6PC>5),

所以P©>5)=",

所以尸(1<自<5)=1-2尸(自>5)=亍，P(l<^<3)=1p(l<^<5)^^|-.

故答案为：--

14

【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题.

1Q

6.已知函数/'(2X+1)为奇函数，/(x+2)为偶函数，且当xe(0,1］时，/W=log2x,则/(另)=」.

【分析】由已知结合函数的奇偶性可求函数的周期，然后利用周期及已知区间上的函数解析式即可求解.

【解答】解：因为函数/'(2x+l)为奇函数，f(x+2)为偶函数，

所以/(-2x+1)+f(2x+1)=0,/(2+无)=/(2-x),

所以/(无)的图象关于(1,0)对称，关于x=2对称，

即/(2—x)=-/(无),f(2-x)=f(2+x),

所以/(2+幻=-/(尤)，

所以/(4+x)=/(x),即函数的周期T=4,

当xe(0,1］时，f(x)=log2x,

则"!)=/(1)=-7■(;)=「

故答案为：i.

【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及周期性在函数求值中的应用，属于基础题.

7.某班为了响应“学雷锋”活动，将指定的6名学生随机分配到3个不同的校办公室打扫卫生，要求每个

办公室至少分配1人，6名学生中甲、乙两人关系最好，则恰好甲、乙两人独立打扫一个办公室的概率为

7

而一.

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【分析】利用排列组合知识，结合古典概型的概率公式求解.

【解答】解：6名学生随机分配到3个不同的校办公室打扫卫生，要求每个办公室至少分配1人，

共有Q.用+c；.或..蜀+I，0：=90+360+90=540种分法，

44

甲、乙两人独立打扫一个办公室的情况有&+C：♦C；♦曷)=42种情况，

所以所求概率尸=至_=Z.

54090

故答案为：—.

90

【点评】本题主要考查了排列组合问题，考查了古典概型的概率公式，属于基础题.

8.设01：/+丁=1与。2：/+(丁一2)2=4相交于人，B两点,则|筋|=_半_.

【分析】先求出两圆的公共弦所在的直线方程，然后求出其中一个圆心到该直线的距离，再根据弦长、半

径以及弦心距三者之间的关系求得答案.

【解答】解：将Q：Y+y2=l和。2：/+(,一2)2=4两式相减：

得过A,B两点的直线方程：y=~,

-4

则圆心«(0,0)到y的距离为;,

所以加|=27=誓.

故答案为：叵.

2

【点评】本题考查的知识要点：圆与圆的位置关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题.

9.已知/(x)=2'+x,则不等式/(|2无一3|)<3的解集为_q2)_.

【分析】根据已知条件，结合函数的单调性，以及绝对值不等式的解法，即可求解.

【解答】解：f(x)=2x+x,

则/(无)在R上为单调递增函数，

f⑴=3,

不等式F(|2x-3|)<3=/(1),

贝力2x-3|<l,解得l<x<2,

故不等式的解集为(1,2).

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故答案为：(1,2).

【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题.

10.圆台002母线长为3,下底直径为10,上底直径为5,过圆台两条母线作截面，则该截面面积最大值

是旦,

一2一

【分析】求出轴截面时所补成的等腰三角形的顶角的余弦值，则判断其为钝角，再计算出截面积的表达式，

得到最值.

【解答】解：由题意作出轴截面ABCD,并将其补充成等腰三角形ABE,

贝！］AB=10,CD=5,AD=BC=3,

因为。C//AB,DC=-AB,

2

所以DC为三角形ABE的中位线，贝i]DE=EC=AD=3,

在AABE中利用余弦定理得，cosZAEB=6+6_10=-—

2x6x618

因为NAEB=（0,万），所以NAEBe（二,%）,

2

过圆台两条母线所作截面也为等腰梯形，并将其补成的等腰三角形，设其顶角为a,

1127

贝US截面=—x6x6sina~—x3x3sma=­sina

因为cr>0,且%仆=/AEB,则当a=g时，S截面的最大值为g.

故答案为：—.

2

【点评】本题主要考查了圆台的结构特征，考查了余弦定理的应用，属于中档题.

22

11.已知直线,2与双曲线C:，-斗=1(。〉0乃〉0)的两条渐近线分别交于点4,5(不重合)线段回

ab

的垂直平分线过点(4,0),则双曲线C的离心率为—苧

【分析】由已知结合直线垂直的斜率关系和直线过的点根据直线的点斜式方程得出线段AB的垂直平分线的

方程，即可联立两直线得出AB的中点坐标为(3,1),设A(%,%),Bg,%),分别代入双曲线方程后作

差整理得出上士&.21二匹=与，再根据线段中点与端点坐标关系与两点的斜率公式得出％+X2=6,

%+%再一%a

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%+y,=2,XE=i,即可得出!，在根据双曲线离心率公式变形后代入(即可得出答案.

xY—x2aa

【解答】解：直线、=尤-2与线段相的垂直平分线垂直，

则线段AB的垂直平分线的斜率为-1,

线段AB的垂直平分线过点(4,0),

线段AB的垂直平分线为：y=-U-4),即x+y-4=0,

联立厂一°,解得」I,

[x+y-4=0[y=l

即/3的中点坐标为(3,1),

设A(X1,%),B(X2,%)，

,两式作差可得正&X-%廿

玉+x2玉-x2a

AB的中点坐标为(3,1),AB的斜率为1,

+x2=6,%+%=2,———=1,

占一马

*4_273

所以双曲线的离心率

C6=§一亍

故答案为：—.

3

【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题.

12.正三棱锥S—ABC中，底面边长AB=2,侧棱AS=3,向量a,6满足。•(a+AC)=a-43,

b-(b+AC)=b-AS,则la-6I的最大值为4.

【分析】根据向量的线性运算法则与数量积的运算性质化简已知等式，设。=CM,b=CN,将向量等式转

化为动点的轨迹问题，再利用球的性质计算出两球的球面上的两点间距离的最大值，即可得到本题的答案.

【解答】解：由三棱锥S—ABC是正三棱锥，可得ASuBS"=CS=3,AB=BC=CA=2,

由0•(<2+40=入48化简得。2=a-CB,|艮据6-(6+AC)=6-AS化简得6?=6.CS.

a=CM,b=CN,代入a?=a-CB,b2=b-CS,分另U化简得MC-MB=0且NONS=0,

1iq

因此，点/在以BC为直径的球面上，半径4=上3c=1；N在以SC为直径的球面上，半径4=」CS=—.

22

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1333

分别取线段3C、SC的中点E、F,则郎=385=3,^\a-b\,nax=\MN\mx=\EF\+t[+r2=-+l+-=4.

【点评】本题主要考查向量的线性运算、向量数量积的运算性质、球的性质等知识，属于中档题.

二、选择题(本大题满分18分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案，13/14题每题4分，15/16

题5分。

13.已知直线4:3x—(a+2)y+6=0,直线《：G+(2。一3)y+2=0,则“口=一9”是'，/4”的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

【分析】根据直线平行，充分必要条件的定义，判断即可.

【解答】解：直线4:3无一(a+2)y+6=0,直线：ax+(2a—3)y+2=0,

j3•(2a-3)+(〃+2)•〃=0

4/〃2，•j-2.(〃+2)_6.(2a_3)w0，解得a=-9.

贝I"〃=—9"是”的充要条件，

故选：C.

【点评】本题考查直线平行，充分必要条件的定义，属于基础题.

14.若a>0,b>0,Iga+Igb=lg(a+3Z?),则a+Z?的最小值为()

A.4百B.4+2有C.6D.3+3』

【分析】由。>0,Z?>0,Iga+Igb=lg(a+3Z?)得"=。+3>得』+」=1，贝!Ja+b=3+b)(』+工)=4+'+，,

ababab

然后结合基本不等式可求得a+》的最小值.

,,3131

【解答]解：由a>0,b>0,Iga+Igb=lg(a+3b)得ab=a+3b得一+—=1,则〃+/?=(〃+/?)(—+—)

abab

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fTT----=4+JO_n

=4+女+3.4+2=.3=4+2退，当且仅当36a即“丫时a+b的最小值4+2右.

abNab一=丁6=1+6

I,ab'

故选：B.

【点评】本题考查基本不等式应用，考查数学运算能力，属于基础题.

15.如图是根据原卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下

女童身高(长)的中位数散点图，下列可近似刻画身高y随年龄x变化规律的函数模型是()

A.y=mx+n(m>0)B.y=m\[x+n(m>0)

x

C.y-ma+n(m>0,a>1)D.y=mlogax+n(m>0,a>1)

【分析】根据图象是否是线性增长，指数函数的图象与性质，对数函数的性质判断ACD,再由选项3中函

数的性质判断后可得.

【解答】解：A选项，由散点图知身高y随时间x变化不是线性增长，故A错误；

C选项，指数函数模型中y随x增长越来越快，与图象不符合；

。选项，对数函数模型在x=0时没有意义；

3选项，符合散点图中y随x增长越来越慢，且在x=。时有意义.

故选：B.

【点评】本题主要考查了散点图的应用，属于基础题.

16.已知函数/(x)=x3+/g(Jd+l+x)+l,若等差数列｛%｝的前〃项和为，且/(%-1)=-9,

/(«2021-3)=11,贝1]邑。24=()

A.-4048B.0C.2024D.4048

【分析】直接利用函数的奇偶性以及对数的关系式的变换，进一步求出等差数列的和.

【解答】解：g(尤)=/(无)-1=尤3+IgQx2+1+X),定义域为A,

31332

故g(-x)=-X+IgQx+1-x)=-X+lg+1+1+R=_[x+lg(y/x+1+x)]=_g(x),

'Jx2+1+x

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故函数g。)为奇函数；

所以/■(-x)-i=-y(x)+i,/(-%)+/(%)=2；

由于y1(%-1)=—9，f(a2021—3)=11,

所以一(%一1)+/(azozi-3)=11—9=2，

所以4—1+—3=。，整理得％+a2021=4,

故邑。24=2。24(7+%。24)=1012x4=4048.

故选：D.

【点评】本题考查的知识点：对数的运算，函数的奇偶性，等差数列的求和公式，主要考查学生的运算能

力，属于中档题.

三、解答题(本大题78分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。

17(14分).已知函数y=/(x),其中/'(x)=sinx.

(1)求日在xe[0,如上的解；

(2)已知g(x)=6/(x)/(x+9-/(x)/(x+»)’若关于x的方g(x)-机=3在xc[。,§时有解'求实数优

的取值范围.

【分析】(1)由特殊角的正弦函数值，可得所求解；

(2)运用二倍角的三角函数公式和辅助角公式，结合正弦函数的图象可得所求取值范围.

【解答】解:(1)/(x--)=sin(x--)=^,

442

可得％=2左%+—+—,或2kji+,BP%=2左％+,或Ikji+,keZ,

43341212

则在xw[0,加上的解为卫，[工；

1212

(2)g(%)二石sinxsin(x+—)-sinxsin(x+%)=石sin%cosx+sin2x=sin2x+-一

222

=sin(2A：-—)+—,

62

关于龙的方程g(x)-m=^,即m=sin(2x-^)xG[0,学时有解.

由工£[0,-],可得2%-♦4-生,—],sin(2x--)e[--,1],

266662

所以，机的取值范围是[-L，1].

2

【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，以及方程的根的个数，考查方程思想和运算能力，属于中档题.

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18(14分).如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=PB=5悬M在PD

上，点N为3C的中点，且尸3//平面M4c.

(1)证明：CM//平面上4N；

【分析】(1)连接BD,交AC于O,连接OM,取24中点，连接MG,GN,先证明M是PD中点，再

证明四边形MGNC是平行四边形，即可证明结论；

(2)依题意建立空间直角坐标系求解.

【解答】解：(1)证明：连接BD,交AC于O,连接OM,取中点，连接MG,GN,

因为P3//平面且平面PMC平面=P6u平面PBZ),

所以PB//OM,因为四边形ABCD是正方形，所以O是班)中点，

所以M是PD中点，又G是心中点，

所以A/G//AD,S.MG=-AD,

2

因为N是3c中点，所以NC//AD,且NC=，AO,

2

所以MG//NC,且MG=NC,

所以四边形MGNC是平行四边形，所以MC//GV,

因为GNu平面R4N,MC,平面P4N,

所以CM//平面R4N；

(2)因为尸C=3,PB=y/5,BC=2,PC1=PB1+BC2,所以3C_LPB,

因为底面ABCD是正方形，所以3C_LAB,PB[\AB=B,

所以BC_L平面PBA,BCu平面ABCD,所以平面ABCDJL平面PBA,

取AB中点E,取CD中点尸，因为B4=PB,所以PELAB,

平面上钻C平面ABCD=AB,所以依_L平面ABCD,

所以在点E处有E4、EF、EP两两互相垂直，

则以E为原点，EB,EF,中所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

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则依题意有A(T,0,0),C(l,2,0),NQ,1,0),D(-l,2,0),

因为PE=，PB?-BE?=后斤=2,所以尸(0,0,2),M是PD中点，所以M(-^,1,1),

2

所以AP=(l,0,2),AW=(2,1,0),AM=(-,1,1),AC=(2,2,0),

2

设平面B4N的一个法向量为m=(%,y,z),

m-AP=x+2z=0„,「广…

则｛，A令z=l,则％=-2,y=4,所以加二(一2,4,1),

m-AN=2x+y=0

设平面MAC的一个法向量为n=(a,b,c),

则《2,令Q=l,贝Jb=—1,c=-,所以〃=(1,一1,—),

22

n-AC=2a+2b=0

设平面PAN与平面MAC的夹角为6,

贝！Jcos0=|cos<m,n>|=-----

\m\\n\

l-2~4+ll11V21

V4+16+1-J1+1+-!，?

11A/21

所以平面PAN与平面MAC夹角的余弦值为

63

【点评】本题考查了空间中直线与平面平行的证明，考查了空间向量的应用，考查了数形结合思想，属于

中档题.

19（14分）.某微信群群主为了了解微信随机红包的金额拆分机制，统计了本群最近一周内随机红包（假

设每个红包的总金额均相等）的金额数据（单位：元），绘制了如图频率分布直方图.

第10页共17页

元)

(1)根据频率分布直方图估计红包金额的平均值与众数;

(2)群主预告今天晚上7点将有3个随机红包，每个红包的总金额均相等且每个人都能抢到红包.小明是

该群的一位成员，以频率作为概率，求小明至少两次抢到10元以上金额的红包的概率.

(3)在春节期间，群主为了活跃气氛，在群内发起抢红包游戏.规定：每轮“手气最佳”者发下一轮红包，

每个红包发出后，所有人都参与抢红包.第一个红包由群主发.根据以往抢红包经验，群主自己发红包时，

抢到“手气最佳”的概率为工；其他成员发红包时，群主抢到“手气最佳”的概率为1.设前〃轮中群主

42

发红包的次数为X,第〃轮由群主发红包的概率为匕.求匕及X的期望E(X).

【分析】(1)根据频率分布直方图的信息和平均值计算的规定列式计算即得无，众数可根据定义从图中直

接读取；

(2)先由图中信息求得每个红包抢到10元以上金额的概率，因3次抢红包相互独立，且每次抢只有抢到

10元以上或以下两种情况，故满足独立重复试验模型，运用其概率公式计算即得；

(3)由题意分析得到匕M与匕的递推式乙|=；2+3(1-月),再根据其特征构造等比数列｛4-g｝,求得匕

的表达式；再设短为第七轮发红包时群主抢到“手气最佳”的次数，分析知短服从两点分布，由此求得

玖盘)=月，因前〃轮中群主发红包的次数为X,则X=q+&+43++4,于是求E(x)即是求数歹U｛匕｝的

前"项和，计算即得.

【解答】解：(1)由频率分布直方图可得，红包金额的平均值为：

x=0.066x5x-+0.054x5x—+O.O4Ox5x—+O.O32x5x—+0.008x5x—^9.05,

22222

众数为最高矩形的中点坐标，即为2.5；

(2)由题可知，每个红包抢到10元以上金额的概率为(0.040+0.032+0.008)x5=0.4,且3次红包相互独

立，

44

由独立重复试验概率公式，至少两次抢到10元以上金额的概率为C；x0.42x0.6+C；x0.43=0.352二——；

33125

第11页共0页

(3)由题意，P{=i,^=-^+-(1-^)=--^,+-，

由Pn+X_g=_；(4一^)，

所以｛只-1｝是以g为首项，,为公比的等比数列,

所以匕_:=|x(-fl，所以P"=1+]x(—；)"T，

设短为第七轮发红包时群主抢到“手气最佳”的次数，

故短服从两点分布：尸(短=1)=久，尸(4=0)=1一％,k=l,2,3,

所以以盘)=lx号+0x(l_《)=月，

由已知X=5+5+女++4，

则E(X)=E©+刍+&+.+^)=E(^)+E(^2)+E(^)++4女)=4+与+月++Pn

1+-

4

【点评】本题考查了离散型随机变量的期望与方差、古典概率的计算公式，考查了推理能力与计算能力，

属于中档题.

20(18分).已知椭圆C]:―7+9=1(“>1)与抛物线。2：y2=2。尤(p>0)在第一象限交于点Q(x°,yQ),A,

3分别为G的左、右顶点.

(1)若q=1,且椭圆C1的焦距为2,求C2的准线方程；

(2)设点尸(1,0)是G和G的一个共同焦点，过点尸的一条直线/与G相交于C，D两点，与C2相交于E,

G两点，CD=AEG,若直线/的斜率为1,求2的值；

(3)设直线QA,直线次分别与直线x=a+l交于M,N两点，AQMN与AQAB的面积分别为廿，S2,

若兴的最小值为:，求点。的坐标.

【分析】(1)由题意，根据焦距和兀=1求出椭圆方程和从而得到p=；,求出准线方程；

⑵先得到C：[+y2=l,6：丁=4工和直线方程，分别联立后，得到相应的弦长，从而分两向量方向相

同和相反求出答案；

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(3)由三点共线得到%=」^(2。+1)和从而表达出S「S-得到学J“。：>，换元

XQ+aXQ—ciS?a.XQ

后得到'=--------F-------L，结合二次函数图象性质求出最小值，得到方程，求出4=2,进一步

$2(-2a-l)4+(2cz+2)--l

tt

求出点。的坐标.

【解答】解：(I)因为椭圆G的焦距为2,

所以2c=2,

解得c=1,

贝!J储一1=1,

解得4=2,

则椭圆G：J+V=i，

因为。(X。,%)在第一象限,％=1，

所以为=日，

所以。(1,与)，

将点Q的坐标代入y2=2Px(p>0)中，

解得p=L，

4

则C?的准线方程为了=-"；

(2)因为点尸(1,0)是C]和C?的一个共同焦点,

所以=

2

解得a2—2,p=2,

2

则C：万+y?=l*C2:y=4x,

此时直线/的方程为y=x-l,

y=x-l

联立炉消去y并整理得3/一4x=0,

2=1

设C（X],y）,D（X2,力），

第13页共17页

、4

由韦达定理得%+%=］，X1X2=0，

所以|CZ)|=•s/mj(u+x2)2_4xF2=3X'=殍'

联立］;2=r©l，消去y并整理得/-6工+1=0,

设E(W，%)，G(z,y4),

由韦达定理得x,+*4=6，x3x4=1,

24

所以回|=71+17(%3+%4)-^4=应xV36-4=8,

若CD,EG方向相同,

4」

止匕时2=©1=工=包

\EG\86

若CD,EG方向相反,

此时人

6

(3)因为A(—a,0),Q(XQ,yQ)fA/(a+l,%)二点共线,

所以上

2a+1xQ+a

解得加=^M2a+l),

xQ+a

同理，由3(Q,0),Q(XQ,yQ),NS+l,%)三点共线，

第14页共0页

可得2十

此时S]=—(yM-yN)-(62+1-XQ)=—(———(2a+1)———)•(〃+1-xQ)

22XQ+ciXQ—a

2

_a(xQ-a-l)yQa{xQ-«-1)yQ

=x2-a2("+1-&)=2_2'

yVz-iVI-C4-八c

因为%+°2尤=a2,

所以/-4="

2--

a(x-a-I)yU(^XQ-a—I)y。(x。—a—l)

所以H=QQ

。说ayQ

y.S2=^\AB\-yQ=yQa，

2

则步(xQ-a-1)

2

a~XQ

因为q£（0,〃）,

令a+1-£(1,Q+1),

此时XQ—(2+1-t,

所以务=(%-"If=________t；_________=__________]___________,

21

S。2T-t+(2a+2)t-2a-\(-2a-l)4+(2a+2)-1

tt

其中』e(一一,1),

ta+1

因为。>1,

所以y=(-2a-l)!+(2o+2)1-l的开口向下，对称轴为-一2a+2=^!£

rt2(-2a-l)2a+1

-M-a+11Q2+2a+1—2Q—1Q2

2Q+1a+1(2Q+1)(Q+1)(2Q+l)(a+1)

故当1=^±L时，丫=(_24_1)二+(24+2)]一1取得最大值，

t2a+\tt

最大值为y=(-2々-1)(〃+1>+(2a+2)--1=——，

2a+12a+12a+l

则员的最小值为H，

2

S2a

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2a+15

令

a24'

解得a=2,负值舍去,

所以La+13

t2Q+15

解得r=2

3

S4

止匕时XQ=<2+1—Z=2+l——=—,

又,+〃2其=a2,

【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题