2024年中考数学集训：正方形的判定与性质

考点25正方形的判定与性质

命题点1正方形的判定

1（2023伊春）如图,在矩形N85中,对角线劭相交于点“试添加一个条

件:，使得矩形N四为正方形.

RC

2（2023十堰）如图尸力皿的对角线阳劭交于点”分别以点々。为圆心,地沙长

为半径画弧，两弧交于点/连接BP.CP.

⑴试判断四边形分3。。的形状，并说明理由；

⑵请说明当办政?的对角线满足什么条件时，四边形如C。是正方形.

命题点2正方形性质的相关证明与计算

3（2023重庆A卷）如图，在正方形/心中，点£厂分别在园切上，连接

仍"；例/用7M5°.若/掰£=o1，则/双一定等于

A.2aB.90°-2aC.450-aD.90°-a

（第3题）（第4题）

4（2023常德）如图，在正方形N皿中,对角线46劭相交于点0.£尸分别为AO.DO

的一点且斯〃四连接必应'.若/用。=15°,则N力硕的度数为（）

A.80°B.90°C.105°D.115°

5（2023安徽）如图，点£在正方形/四的对角线力。上,于点6连接应并延

长，交边加于点可交边AB的延长线于点G.若/微,郎=1,则MG=（）

A.2V3B.拶C.V5+1D.V10

（第5题）（第6题）（第7题）

6（2023宜宾）如图,边长为6的正方形/心中，〃为对角线劭上的一点，连接N〃并

延长交切于点A若加盟则/〃的长为（）

A.3（V3-1）B.3（373-2）C.6（V3-1）D.6（3V3-2）

7（2023重庆B卷）如图，在正方形/皿中，。为对角线力。的中点/为正方形内一点,

连接BE,BE=BA,翅妾四并延长，与NN龙的平分线交于点打连接OF若/8之,则OF

的长度为()

A.2B.V3C.1D.V2

8（2023怀化）如图，点夕是正方形/皿的对角线〃上的一点压上”于点E,PEA

则点P到直线4?的距离为.

（第8题）（第9题）（第10题）

9（2023荷泽）如图，点£是正方形力四内的一点，将△力庞绕点8按顺时针方向旋

转90。得到△侬:若NN应书5°,则N£G0°.

10（2023扬州）如图，已知正方形”切的边长为L点£尸分别在边四式1上,将正方

形沿着砂翻折，点夕恰好落在切边上的点皮处.如果四边形/叱与四边形EFCD

的面积比为3：5,那么线段笈的长为.

11（2023绍兴）如图，在正方形N皿中/是对角线劭上的一点（与点“不重

合）,皿⑪工至£尸分别为垂足.连接用力6并延长交所于点H.

⑴求证:/%G=N£掰

⑵判断AH与用是否垂直,并说明理由.

12（2023天门）如图，将边长为3的正方形/皿沿直线）折叠，使点6的对应点M

落在边上（点〃不与点4。重合），点C落在点N处，腑与切交于点£折痕分别

与边Nd切交于点££连接BM.

⑴求证:NN奶=/即

⑵若如=1,求助的长.

答案

1N6力女答案不唯一）

2⑴四边形如。。是平行四边形.

理由：：,“四的对角线阳劭交于点0,

.\AO=OC.BO=OD.

;分别以点4。为圆心，自劭长为半径画弧，两弧交于点P,

11

:.BP^AC=OC,CP^BD=OB,

.:四边形〃是平行四边形（依据:两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.

⑵当月八刃且〃=必时,四边形如。。是正方形.

11

\"AC=BD,OC^AC,OB^BD,

.".OC=OB.

由⑴知四边形如⑨是平行四边形，

.：平行四边形8/刃。是菱形.

又AC1BD,

.：菱形如是正方形.

3A如图，将△/以绕点力顺时针旋转90。得到△/她则三点共线.由旋转

可知£DAF=ABAH,AH=AF,.：/BAH+/BAE=

/DAF+/BAE冯05°N5°=ZEAF.又

AE=AE,△从&XFAE,.：ZAEF=ZAEB^0°-a,.".N呼=180°-2a,.".AFEC^l

a.

4C:•四边形/皿是正方形，.：如=如：•济〃丝.：器粉（依据:平行线分线段

成比例），OE=OF.又/AOF=/DOEQA=OD,

.：AOAF^/\ODE,.\Z.ODE=Z.OAF=15:；"AED=/DOE+/ODEWQ°+15°=105°.

5B

•；EFLAB,/ABC』Q°.EF〃BC,；轻稔2；AD〃BC,.：AADEs^CME,；粽=

嚣2."G22cx即点〃是BC^^,/.CM=BM.

又/DCM=/GBM/DMC=/GMB,.：4DC侬△6®K.：MG=DM.易知

Q__________

CD=BC=AB=AF+BF^+1=3,:.CM2」.MG=DM^CD*2*47+CM2=

j32+《尸莘.

一题多解

7/CAB*；EFLAB,/DAB』G；.：EF=AF2EF〃AD,AGEFsAGDA,.：蛊畏.

又AD=AB★7-1=3,.：|-；L；.BGA.；AD〃BC,

:.EF//■.：△GMBs△GEF,黑，即

DrUr

驾卷,.：BM卷MGRBM2+BG2=l(|)2+32

4i"乙Y乙乙

6C7四边形/皿是边长为6的正方

形,.：力。=5=6,N49c=90°,/ADM=/CDMW5°.又

DM=DM,.：△例四A6M--/DAM=/DCM.

VPM=PC,:.ZCMP=£DCM,.：/APDWN/O之N加欣提示:三角形外角的性

质)，.：/DAM四°DP皂国APa点,；.PM=PC=&-2V3,

；.AM=AP-PM=4y/3-(6-2㈣=6(73-1).

7D如图，连接AF,「四边形相口是正方

形,.：AB=BE=BC,/ABC冯Q°,AC=^2AB^^2,.：ZBEC=ZBCE,.：Zfi?<7=180°魄/BE

/.ZABE^Q°-/EBC&/BEC①：：，BF平令

/ABE,，/ABF=/EB*/ABE=/BEC<5:.•"BFE=/BEC-/EBF<5°.在△刃产

与丛BEF

（AB=EB,

中,NZBF=乙EBF,.：△BAF^ABE飞阳，.：/BFE=/BFA*°..：/AFC=/BFA+

[BF=BF,

/BFE冯0°.丁。为对角线〃的中点

.：0吟AC/（点拨:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），故选D.

一题多解

如图，连接"；丁四边形/皿是正方

形,，AB=BE=BC,/ABC柳°,AC=^2AB^^2,/BEC=/BCE.；BF平分

ZABE,.".ZABF=ZEBF.又BF=

BF,.：XBAF^△喇SAS）,.：ZBEF=ZBAF,/BAF+/BCE=/BEF+/BEC=1酸°

1

ZAFC+ZABC=180°,/.ZAFC^O°.又：•。为对角线”'的中点,.：叫

83

【解析】如图，过点P作制，28于点Q,丁四边形285是正方形,.4。平分

/DAB,；.PQ=PE%（依据:角平分线的性质）.

D

980

【解析】：,四边形加口是正方

形,二/ABC冯CJ.NABE帮：二/CBE冯6°35°=35°.：,△力庞绕点8按顺时

针方向旋转90°得到

△CBF,；"EBF』G,BE=BF,；./BEF工5°，.:/EGC=/CBE+/BEF%5°M5°=80

o

101

【解析】如图，连接BB',过点尸作方，”于点〃则FH=AB=BC.：•正方形相切的边

02

长为L四边形/叱与四边形与O的面积比为3：5,.：S四边形侬息Xl=f.设CF=x,

OO

则DH=X,BF=Y-X,：5四边形板4(加W)•/娓，即

TZ(AE+\.~X)XIAE=x-^x,・：DEA-AE^r-x,・：EH=ED-HD2-x~x^r-2x.由折叠可

Zo4444

知,BF=B'F='-x,BB'LEF,/\+/2挈。.rZ2^Z3=90°,.：Z3=Z1,X

；FH=BC/EHF=/C,.：XEHF二

4B'CB，.:B'C=E启啜x.在口△皮尸C中户，即2x)以1=(l-xy,解得

11⑴证明:在正方形ABCD中,A9,CD,GELCD,

.".AD//GE,

；./DAG=/EGH.

⑵AH与厮垂直.

理由如下：

如图，连接GC交印于点0.

:•劭为正方形ABCD的对角线，

；"ADG=/CDG45°,

又\"DG=DG,AD=CD,.：XADGQ△CDG,

/DAG=/DCG.

在正方形ABCD中/ECF4。°,

又:GELCD.GFVBC.：.四边形FCEG