2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练：基本不等式归类（学生版全国）

专题7-2基本不等式归类

【题型一15S

【典例分析】

在下列函数中,最小值是2的是

X2X+2(7T

A.y=—HB.y=I----(x>0)C.y=sinx+cosx,xe0,—

2xJx+lI2

D.y=7x+7-x

【提分秘籍】

基本规律

1.基本公式（1）a~+b2>2ab；（2）a+b>2y/ab;（3）ab<

2.一正二定三相等。是均值成立的前提条件。

【变式演练】

1.已知关于x的不等式x2-5ax+2a2<0（a>0）的解集为（再,%），则X+工2+子的

最小值是•

2.若以匕都是正数，贝！）++的最小值为（）.

A.5B.7C.9D.13

3.在区间［-2,4］上随机地取一个数x,使"+J非恒成立的概率是（）

【题型二】“1”的代换型

【典例分析】

,2x+y7r-

已知x,y均为正头数，且'-----=—+\/6,则x+3y的最小值为__________

xy2

【提分秘籍】

基本规律

“1”代换是基本型，要留意

1.一正二定三相等

2.见分子想分母，见分子想分子。

【变式演练】

321

1.已知a>0,b>0,—+—=l,则2a+3A的最小值为（)

ba

A.20B.24C.25D.28

4则l+3b的最小值为（

2.已知a>0,b>0,3QH—=I,)

ba

A.13B.19C.21D.27

则山+山

3.已知正实数。，力满意。+力=1,的最小值为一

ab

【题型三】“和"与“积”互消型

【典例分析】

已知小y都是正数，且满意x+2y+孙=30,则冲的最大值为

【提分秘籍】

基本规律

1.有“和”、“积”无常数，可以同除，化回到“1”的代换型。如变式1

2.有“和”、“积”有常数求积型，可以借助基本不等式构造不等式求解，如典例分析

3..有“和”、“积”有常数求和型，可以借助基本不等式构造不等式求解，如变式2

授课时，留意这类求和时，基本所求和与原式和系数“一样”，不一样，则可以用反解代入

消参等方法

【变式演练】

1.已知x>0,y>0,且4x+2y-孙=0,贝!]2x+y的最小值为（）

A.16B.8+4痣C.12D.6+40

2.已知久>0,y>。，且2x+9y+6孙=9,则2x+9y的最小值为.

3.已知x,y>0,x+2y+xy-6=0,贝！]（多选题）

A.孙的最大值为2B.尤+2y的最小值为4

C.的最小值为3D.的最小值为40-3

【题型四】以分母为主元构造型

【典例分析】

_19

已知非负数x，y满思龙+y=i,则—~+—^的最小值是（）

x+ly+2

A.3B.4C.10D.16

【提分秘籍】

基本规律

构造分母型：

1.以分母为主元构造，对于一般学生，也可以干脆分母换元，改变后为“1”的代换，如典

例分析

2.构造过程中，分子会有分母参数的改变，可以分别常数后再构造分母，如变式2

3.变式3是三项构造，且无条件等式。

【变式演练】

1.已知且77T+11,则x+2y-l的最小值为（)

A.9B.10C.11D.7+2指

4/7b

2.已知正数。、b满意。+6=1,则产+二的最小值是（)

l-a\-b

A.1B.2C.4D.8

41

3.设x>y>0,则尤++的最小值为（）

yx-y

A.3V2B.273C.4D.3M

2

【题型五】构造分母：待定系数

【典例分析】

已知正实数x,y满意4x+3y=4,则丁二+丁二的最小值为（）

2x+l3y+2

A.3+正B.L变dD.L也

84232322

【提分秘籍】

基本规律

特征：条件等式和所求式子之间变量系数“不一样”

方法：直观凑配或者分母换元

【变式演练】

1.知正实数X、y满意——+-1,则％+y的最小值为（)

x+3y2ox+y

A3+2后口3+30「2+2&n2+3加

一5555

2.已知a>0,b>0,a+2b=l,则一—+」一取到最小值为________

3a+4ba+3b

【题型六】分子含参型：分别分子型

【典例分析】

若4元＞丫＞0,则--+二的最小值为____________.

—yy

【提分秘籍】

基本规律

1.分别分子原理题，如典例分析

2.分子二次型换元分别，如变式2

3.分子二次型凑配构造分别，如变式3

【变式演练】

1.已知正实数。涉满意a+2b=2,则O+型的最小值是（）

ab+l

2.若…-且—，则三+其的最小值为-------

3.若正实数x,y满意2x+y=2,则4,2的最小值是.

----+-...

y+12x+2

【题型七】反解代入型:消元法

【典例分析】

113

已知正数。，6满意上+；=2,则三一。的最大值为______.

abb+\

【提分秘籍】

基本规律

条件等式和所求等式之间互化难以实现，可以借助反解代入消元，再重新构造。

【变式演练】

2m

1.已知而＞1,心0,且加+2〃=3m，则-+~~的最小值为（）

m-14n

993

A.—B.—C.—D.2

422

31

2.若正数。，b满意a+b+2=他，则:+「的最小值是_____,此时〃=_______.

a—1b—1

11Y

3.若正实数x，y满意—+一+二=4则X+-+一的最小值为___________

尤yy尤y

【题型八】因式分解型

【典例分析】

非负实数X，＞满意2孙+尤+6/—6=0,贝!|尤+2y的最小值为.

【提分秘籍】

基本规律

特征：条件式子困难，一般有一次和二次（因式分解绽开就是一次和二次），可能就符合因

式分解原理

【变式演练】

1.已知d且(a+A)(a+2A)+a+A=9,则3a+4Z?的最小值等于

2.已知x>0,y>0,且2x+4y+孙=1,则x+2y的最小值是_.

3.已知a,beR+,且(a+b)(a+2b)+a+b=9,则3a+4b的最小值等于

【题型九】均值用两次

【典例分析】

“，"c是不同时为0的实数，则;比的最大值为()

a+2b-+c

【提分秘籍】

基本规律

两次均值，逐次消去，取等条件一样

【变式演练】

14尤2丫？

1.设正实数尤，V满意x>—,y>l,不等式——+二-2加恒成立，则机的最大值为

2y-12x-l

()A.8B.16C.2夜D.472

则会的最小值为

2.已知a>0,b>0,

3.已知正实数“，b,c满意〃+462=3c?,则£+三的最小值为______

a2b

【题型十】换元型

【典例分析】

已知实数X,y满意方程f+/+2x_2尸0,贝！11x|+3的最大值为

A.2B.4C.372D.2+拒

【提分秘籍】

基本规律

1.二次配方型，可以三角换元

2.和前边分母构造换元型一样，可以代数换元，如变式1

3.齐次分式同除型，可以代数换元，如变式3

【变式演练】

1.若a,beR,且a?+2ab-3b2=1,则a?+b?的最小值为

2.已知x2_2"xy+5y2=1，x,y£R，则x?+y2的最小值为

x2x+y

3.已知1，y为正实数，则「+丁的最小值为——.

【题型十一】“和”与所求和系数不一样型

【典例分析】

1、已知a>0,b>0,且2a+Z?=aZ?—l,则。+2）的最小值为

A.5+2#B.8A/2C.5D.9

【提分秘籍】

基本规律

1.可以简洁的反解代入消去，如典例分析

2.可以整体配凑构造（换元），如变式1

3.可以“无中生有”构造消去，如变式2

4.也可以因式分解，参考专题八

【变式演练】

4炉v2

1.若正实数X,y满意2x+y=2,则—+的最小值是___________

y+12x+2

2.已知正实数x,y,满足x2+/+1_L+1_L=77幺，求p1=52—3上的最小值

xy4x4y

3.已知正实数x,y,满足x+y+2+£=8,求p=x-2的最小值

xyy

【题型十二】“均值裂项”凑配型

【典例分析】

"V?+0Y7

已知实数x,y,z不全为0,则叩=2y：2的最小值是—，最大值是

x+y+z

【提分秘籍】

基本规律

利用轮换和对称特征，适当的裂项构造均值。

【变式演练】

1.不等式2Tl+对随意正数x,y,z恒成立，则a的最大值是___________

x+2y~+z2

2.已知实数仇c满意。2一8。一儿+7=0力2+。2+尻-6。+6=0,则实数。的取值范围是

3.已知a>0,b>0,c>4,且a+b=2,贝|竺+£一£+正的最小值为.

bab2c-2

【题型十三】整体化同乘方程型

【典例分析】

已知实数X,y满意x>l,y>0且x+4y+—^+,=11.则」■；•+,的最大值为____.

x-1yx-\y

【提分秘籍】

基本规律

求谁设谁，构造方程用均值

【变式演练】

1.已知正数1:1满意：吟方+工品d=:网，则•+）的最大值为

rii¥

13

2.已知羽y为正数，且犬+―+3y+—=10,则x+3）的最大值为.

%V

【题型十四】三元最值型

【典例分析】

已知实数。也C满意卜2+：/+。2=1,则•豳患鼻疑:黑N曲的取值范围是

A.（-℃,4]B.[-4,4]C.[-2,4]D.[-1,4]

【变式演练】

1.若实数。、b、ceR+>且ab+ac+6c+2V^=6-a2,贝!12a+b+c的最小值为

A.75-1B.V5+1C.2石+2D.275-2

2.已知a,6,c>0,S.a2+b2+c2=10,贝1Ja6+ac+历的最大值是>而+ac+2Z?c的最

大值是.

3.若正实数a,b,c满意ab=a+2b,abc=a+2b+c,则c的最大值为.

【题型十五】恒成立求参数型

【典例分析】

对随意正实数4,6不等式亭义+幺蛆拓恒成立，则（

)

2a+b

A.实数4有最小值1B.实数2有最大值1

C.实数九有最小值gD.实数X有最大值g

【变式演练】

14Y2y2

1.设正实数满意x>±y>l,不等式二三+」2机恒成立，则机的最大值为

2y-12x-l

()

A.8B.16C.2A/2D.4&

2.正数4,6满意。+6=1,若不等式'+*士尤2+4犬+3+相对也€[-3,0],a,6e/?+恒成立，则

ab

实数〃7的取值范围是()

A.[3,+co)B.(-0o,3]C.CMD.[6,+OO)

3.设都是正数，且使=求实数上的最大值.

【题型十六】超难压轴小题

【典例分析】

设为正实数，若4/+9+孙=1则而等言y的取值范围是

【变式演练】

L若无，>均为正实数，则'：+二+1的最小值为_______.

(x+2)y—

2'已知a,be[0,11则S(a,b)=发的最小值为

+FTI+(『a)(1-b)

(4+6)2

3.已知则的最小值为一

力2-1+扬_4

微随景新模考敦殂秣

41

1.已知正实数。，b满意〃+—=1,则一+6的最小值为()

ba

A.4B.6C.9D.10

2.已知。>0,b>0,且〃+2Z?=3QZ?,贝！的最小值为()

「8「4D.述

A.1B.—C.一

993

3.已知且Q匕=a+b+3,则〃+/?的最小值为()

A.4B.8C.7D.6

21

4.、设且ab=2,则〃+—-大的最小值是()

a(a-b)

A.1B.2C.3D.4