2024-2025学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.1 2.1.1 椭圆及其标准方程（教师用书）教案 新人教A版选修1-1

2024-2025学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.12.1.1椭圆及其标准方程（教师用书）教案新人教A版选修1-1学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容本节课的教学内容来自于新人教A版选修1-1《高中数学》第2章“圆锥曲线与方程”的第2节“椭圆及其标准方程”（2.1.1节）。本节主要介绍了椭圆的定义、性质以及椭圆的标准方程的求法。具体内容包括：

1.椭圆的定义：通过实际例子让学生了解椭圆的定义，即所有到两个定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹。

2.椭圆的性质：讨论椭圆的几何性质，如焦点、半长轴、半短轴等，并研究它们之间的关系。

3.椭圆的标准方程：根据椭圆的性质，引导学生推导出椭圆的标准方程，即\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，并理解各参数的含义。

4.椭圆方程的应用：通过实际问题，让学生了解椭圆方程在几何和其他领域的应用。

本节课的内容是学生对圆锥曲线学习的基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。核心素养目标本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模等数学核心素养。通过学习椭圆的定义、性质和标准方程，学生能够抽象出椭圆的基本特征，运用逻辑推理能力推导出椭圆的标准方程，并运用数学建模能力解决实际问题。同时，通过小组合作和讨论，学生能够提升合作交流能力，增强对数学学习的兴趣和自信心，培养面对现实问题时的创新意识和实践能力。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：在学习本节课之前，学生应该已经掌握了初中阶段的圆的基本知识，包括圆的方程、圆的性质等。此外，学生还应该具备一定程度的数据处理和函数概念，以便能够理解并推导椭圆的标准方程。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：高中阶段的学生对数学学科有着不同的兴趣和能力，有的学生对几何图形具有较强的直观感知能力，而有的学生则擅长逻辑推理和证明。在本节课的学习中，学生需要运用已有的知识和能力，通过观察、分析、推理等方法，理解和掌握椭圆的相关概念和性质。

3.学生可能遇到的困难和挑战：在学习椭圆的标准方程时，学生可能会遇到以下困难和挑战：一是对椭圆定义的理解不够深入，难以把握椭圆的本质特征；二是对椭圆标准方程的推导过程感到困惑，无法理解各参数之间的联系；三是在解决实际问题时，不知道如何运用椭圆方程进行分析和求解。针对这些困难和挑战，教师需要在教学中给予学生充分的引导和帮助，通过讲解、示例和练习等方式，让学生逐步理解和掌握椭圆的相关知识。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有《新人教A版选修1-1高中数学》第2章“圆锥曲线与方程”的第2节“椭圆及其标准方程”（2.1.1节）的教材或学习资料，以便学生能够跟随教学进度进行学习和复习。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源，如椭圆的模型、焦点和轴的示意图、椭圆方程的推导过程动画等。这些资源能够帮助学生更直观地理解和掌握椭圆的相关概念和性质。

3.实验器材：如果涉及实验，需要准备足够数量的尺子、圆规、直尺等实验器材，以确保每个小组都能够进行实验操作。此外，还需要准备一些辅助工具，如橡皮泥、彩笔等，以便学生在实验过程中能够更好地观察和记录实验结果。

4.教室布置：根据教学需要，布置教室环境，如分组讨论区、实验操作台等。在教室内设置几个小组讨论区，每个区域配备一张桌子和小黑板，以便学生能够在小组内进行讨论和实验操作。在教室的一角设置实验操作台，配备必要的实验器材和工具，以便学生能够进行实验操作和观察。

5.教学课件：制作教学课件，包括椭圆的定义、性质、标准方程的推导过程以及相关例题的讲解。课件应简洁明了，突出重点，结合多媒体资源，以吸引学生的注意力并帮助学生更好地理解和掌握知识。

6.练习题和作业：准备一些与本节课内容相关的练习题和作业，以便学生在课堂学习和课后巩固所学知识。这些练习题应涵盖椭圆的定义、性质、标准方程等方面的内容，并具有一定的挑战性，以激发学生的思考和探索欲望。

7.教学反馈表：准备一份教学反馈表，用于收集学生对课堂教学的反馈意见，以便教师了解学生的学习情况和需求，及时调整教学方法和策略。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对椭圆的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们知道椭圆是什么吗？它与我们的生活有什么关系？”

展示一些关于椭圆的图片，如月球绕地球运行的轨迹、体育场馆的座位布局等，让学生初步感受椭圆的魅力或特点。

简短介绍椭圆的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。

2.椭圆基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解椭圆的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解椭圆的定义，包括其主要组成元素或结构。

详细介绍椭圆的组成部分或功能，使用图表或示意图帮助学生理解。

3.椭圆案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解椭圆的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的椭圆案例进行分析。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解椭圆的多样性或复杂性。

引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用椭圆解决实际问题。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与椭圆相关的主题进行深入讨论。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对椭圆的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调椭圆的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括椭圆的基本概念、组成部分、案例分析等。

强调椭圆在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用椭圆。

布置课后作业：让学生撰写一篇关于椭圆的短文或报告，以巩固学习效果。知识点梳理本节课主要涉及以下知识点：

1.椭圆的定义：椭圆是所有到两个定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹。

2.椭圆的性质：包括焦点、半长轴、半短轴等，以及它们之间的关系。

3.椭圆的标准方程：椭圆的标准方程是\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中\(a\)是半长轴，\(b\)是半短轴。

4.椭圆的焦点：椭圆的焦点是两个定点，位于椭圆的长轴上，距离中心的距离为\(c\)，其中\(c^2=a^2-b^2\)。

5.椭圆的半长轴和半短轴：椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，半长轴是长轴的一半；椭圆的短轴是垂直于长轴的线段，半短轴是短轴的一半。

6.椭圆的离心率：椭圆的离心率\(e\)是\(\frac{c}{a}\)，它反映了椭圆的扁率，即椭圆形状的偏离程度。

7.椭圆的参数方程：椭圆的参数方程是\(\begin{cases}x=a\cost\\y=b\sint\end{cases}\)，其中\(t\)是参数。

8.椭圆的面积：椭圆的面积\(S\)是\(\piab\)。

9.椭圆的标准方程的求法：通过已知椭圆的焦点和半长轴、半短轴，可以求出椭圆的标准方程。

10.椭圆方程的应用：椭圆方程在几何和其他领域有广泛的应用，如在物理中的天体运动、在工程中的信号处理等领域。教学反思与总结今天上的这节课，我主要是引导学生学习椭圆的基本概念、性质以及标准方程。在教学过程中，我尝试采用了多种教学方法和策略，希望能够激发学生的兴趣，提高他们的学习效果。

首先，我通过引入一些与椭圆相关的实际例子，如月球绕地球运行的轨迹、体育场馆的座位布局等，让学生初步感受椭圆的魅力，从而引起他们对椭圆的兴趣。然后，我讲解了椭圆的定义、性质以及标准方程的求法，并利用多媒体资源展示了椭圆的图形，希望能够帮助学生更好地理解和掌握相关知识。

在教学过程中，我也注意引导学生进行小组讨论和合作，培养他们的团队合作能力和解决问题的能力。同时，我也设置了一些练习题，让学生在课后进行巩固和复习。

针对这个问题，我觉得在今后的教学中，我需要更加注重对椭圆性质和概念的讲解，并通过更多的实例和练习题，让学生能够更好地理解和掌握椭圆的标准方程。此外，我还需要进一步加强与学生的互动，鼓励他们提出问题，及时解答他们的疑惑，提高他们的学习兴趣和自信心。板书设计①椭圆的定义：所有到两个定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹。

②椭圆的性质：焦点、半长轴、半短轴等，以及它们之间的关系。

③椭圆的标准方程：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中\(a\)是半长轴，\(b\)是半短轴。

④椭圆的焦点：焦点位于椭圆的长轴上，距离中心的距离为\(c\)，其中\(c^2=a^2-b^2\)。

⑤椭圆的面积：\(S=\piab\)。

⑥椭圆的参数方程：\(\begin{cases}x=a\cost\\y=b\sint\end{cases}\)，其中\(t\)是参数。

2.艺术性和趣味性

①使用色彩鲜艳的粉笔，突出重点知识点。

②在板书中间画一个椭圆的图形，让学生更加直观地感受椭圆的形状。

③在讲解椭圆的性质时，可以使用卡通形象来表示焦点、半长轴、半短轴等概念，增加趣味性。

④在讲解椭圆的标准方程时，可以使用动画或实物模型来展示椭圆的形状和参数关系，帮助学生更好地理解和记忆。

⑤在讲解椭圆的面积时，可以使用有趣的比例尺或者面积计算方法，激发学生的学习兴趣。

⑥在讲解椭圆的参数方程时，可以使用动画或者实物模型来展示椭圆的运动轨迹，增加学生的直观感受。课后作业1.求解椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的焦点坐标，其中\(a=4\),\(b=3\)。

2.已知椭圆的焦距为\(2c\)，半长轴\(a\)为5，求椭圆的半短轴\(b\)和面积\(S\)。

3.求解椭圆\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)的离心率\(e\)。

4.求解椭圆\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)的参数方程，其中参数\(t\)的取值范围是\(0\)到\(2\pi\)。

5.已知椭圆的参数方程为\(\begin{cases}x=3\cost\\y=2\sint\end{cases}\)，求椭圆的半长轴\(a\)和半短轴\(b\)。

答案：

1.焦点坐标为\((\pmc,0)\)，其中\(c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{5}\)。

2.半短轴\(b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{9}\)，面积\(S=\piab=\pi\times5\times\sqrt{9}=15\pi\)。

3.离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{9}}{5}\)。

4.参数方程为\(\begin{cases}x=\pm3\cost\\y=\pm2\sint\end{cases}\)，其中\(t\)的取值范围是\(0\)到\(2\pi\)。

5.半长轴\(a=3\)，半短轴\(b=2\)。作业布置与反馈作业布置：

1.请学生完成《新人教A版选修1-1高中数学》第2章“圆锥曲线与方程”的第2节“椭圆及其标准方程”（2.1.1节）的课后练习题。

2.请学生完成以下练习题：

a.求解椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的焦点坐标，其中\(a=4\),\(b=3\)。

b.已知椭圆的焦距为\(2c\)，半长轴\(a\)为5，求椭圆的半短轴\(b\)和面积\(S\)。

c.求解椭圆\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)的离心率\(e\)。

d.求解椭圆\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)的参数方程，其中参数\(t\)的取值范围是\(0\)到\(2\pi\)。

e.已知椭圆的参数方程为\(\begin{cases}x=3\cost\\y=2\sint\end{cases}\)，求椭圆的半长轴\(a\)和半短轴\(b\)。

作业反馈：

1.对学生的作业进行批改，检查学生对椭圆的基本概念、性质和标准方程的理解和掌