2024年高考数学二轮复习：概率统计之选择填空（教师版）（新高考专用）

专题10-1概率统计（选填）

题型一：随机抽样、分层抽样

【典例分析】

例题1.（2024秋•广东潮州•高一饶平县其次中学校考期中）从某班60名同学中选出5人

参与户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将60名同学按01,02,…，60进行编号，

然后从随机数表第1行的第5列和第6列数字起先从左往右依次选取两个数字，则选出的第5

个同学的编号为（注：表为随机数表的第1行与第2行）（）

03474373863696473661469836716297

74246292428114572042533237321676

A.24B.36C.46D.47

【答案】A

【详解】按题意，从第一行第5歹U，两个两个数字取数，抽样编号依次为43,36,47,46,

24,第5个是24,

故选：A

例题2.（2024春•重庆沙坪坝•高二重庆八中校考阶段练习）某日某火锅店进货了四种食

品，其中毛肚、鸭肠、牛肉及葛笋分别进货了700份、600份、500份、200份，现从中抽

取一个容量为20的样本进行食品平安检测.若采纳分层抽样的方法抽取样本,则抽取的毛肚

份数与葛笋份数之和是（）

A.7B.13C.8D.9

【答案】D

【详解】由题意可知采纳分层抽样的方法抽取样本，则抽取的毛肚份数为

700+600+500+200

_______200_______

抽取的葛笋份数为x20=2,

700+600+500+200

故抽取的毛肚份数与葛笋份数之和是7+2=9,

故选：D

【提分秘籍】

随机数表法是常用的一种抽样方法，运用时做到不重复，不遗漏.

分层抽样留意分层，每层抽样比相同.

【变式演练】

1.（2024春•广东珠海•高二珠海市试验中学校考阶段练习）要考察某公司生产的500克

袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000,001,

002,…499,利用随机数表抽取样本，从第8行第5列的数起先，按3位数依次向右读取，

到行末后接着从下一行第一个数接着.则第四袋牛奶的标号是（）

（下面摘取了某随机数表的第7行至第9行）

84421755315724550688770474476721763

35025839212067663016478591695556719

98301071851286735807443952387933211

A.358B.301C.071D.206

【答案】C

【详解】由题意可知，读取的第一个数据是583,不符合条件，其次个数据是921,不符合

条件，第三个数据是206,符合条件；

即随机选取的第一袋牛奶标号是206；

以下数据依次是766,301,647,859,169,555,671,998,301,其中符合题意的数据只

有301,169,301三个数据，但是301属于重复数据，接着往后计数；

下一个数是071,符合条件，即前四袋牛奶的标号依次为206,301,169,071；

所以，第四袋牛奶的标号为071.

故选：C.

2.（2024•全国•高三专题练习）某中学的高一、二、三这三个年级学生的平均身高分别为

五仁彳，若按年级采纳分层抽样的方法抽取了一个600人的样本，抽到高一、高二、高三的

学生人数分别为100、200、300,则估计该中学学生的平均身高为（）

【答案】A

【详解】设该中学的总人数为机，

由题意知，高一、高二、高三的学生总人数分别为：二,瞿,

632

m_m_m_

所以估计该中学学生的平均身高为：l'X+l'y+l'Z_1_上1一上1

m632

故选：A

题型二：用样本估计总体

【典例分析】

例题1.（多选）（2024•山东东营•成功一中校考模拟预料）某校实行劳动技能大赛，统

计了100名学生的竞赛成果，得到如图所示的频率分布直方图，已知成果均在区间[40,100]

内，不低于90分的视为优秀，低于60分的视为不及格.若同一组中数据用该组区间中间值

做代表值，则下列说法中正确的是（）

A.〃=0.15

B.优秀学生人数比不及格学生人数少15人

C.该次竞赛成果的平均分约为70.5

D.这次竞赛成果的69%分位数为78

【答案】BCD

【详解】对于A项,由题意（0.01x2+4x2+0.02+0.03）x10=1,所以。=0.015,故A错误；

对于B项，优秀学生人数为0.1x100=10,不及格学生人数0.25x100=25,优秀学生人数比

不及格学生人数少15人，故B正确；

对于C项，平均分=45x0.1+55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.15+95x0.1=70.5,故C正

确；

对于D项，设百分位数为尤，贝U有。.1+0.15+0.2+。-70）x0.03=0.69,所以彳=78,故D

正确.

故选:BCD

例题2.（多选）（2024•山东德州•统考二模）教化部办公厅“关于进一步加强中小学生

体质健康管频率理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康0.06重要性的宣扬，

中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育熬炼、体育竞赛、班团队活动，家校协

同联动等多种形式加强教化引导，让家长和中小学生007科学相识体质健康的影响因素.了

解运动在增加体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，

提高学生体育与健康素养，增加体质健康管理的意识和实力，某学校共有2000名男生，为

了了解这部分学生的身体发育状况，学校抽查了100名男生的体重状况.依据所得数据绘制

样本的频率分布直方图如图所示，则（）

A.样本的众数为67：B.样本的80%分位数为72；

C.样本的平均值为66D.该校男生中低于60公斤的学生大约为300

人

【答案】ABD

【详解】对于A,样本的众数为"=67：,故A正确;

对于B,由频率分布直方图可知样本的80%分位数为70+=x5=72.5,故B正确,

对于C,由直方图估计样本平均值为：

57.5xO.15+62.5x0.25+67.5x0.3+72.5x0.2+77.5x0.1=66.75,故C错误,

对于D,2000名男生中体重低于60依的人数大约为2000x5x0.03=300,故D正确,

故选：ABD.

【提分秘籍】

频率分布直方图中的考点常常涉及到：

①平均数，众数，中位数估计值；

②各个小矩形面积之和等于1

【变式演练】

1.（多选）（2024•广东韶关•统考一模）某电视传媒机构为了解某地区电视观众对某类

体育节目的收视状况，随机抽取了200名观众进行调查，其中女性占40%.依据调查结果分

别绘制出男、女观众两周时间收看该类体育节目时长的频率分布直方图，则（）

男观众收看节目时长女观众收看节目时长

A.m=0.08

B.女观众收看节目时长的中位数为6.5小时

C.女观众收看节目的平均时长小于男观众的平均时长

D.收看节目不少于9小时观众中的女观众人数是男观众人数的;

【答案】BC

【详解】对于A,由（0.05+0.075+0.075+〃?+。.200）x2=1,解得肥=0.1,故A错误；

对于B,由频率分布直方图可知，女观众收看时长在［3,5）的频率为0.1x2=0.2,在［5,7）的

频率为0.2x2=04,所以女观众收看时长的中位数落在［5,7）中，不妨设为x,

贝iJ0.2+0.2x（x-5）=0.5,解得x=6.5,则女观众收看时长的中位数为5+（x2=6.5,故B

正确；

对于C,男性观众收看节目的平均时长为0.1*4+0.15x6+04x8+0.2x10+12x0.15=8.3小

时,女性观众收看节目的平均时长为0.2x4+0.4x6+0.3x8+0.1x10=6。小时,故C正确;

对于D,由频率直方图可知，男性观众收看到达9小时人数为200x60%x（0.2+0.15）=42人,

女性观众收看达到9小时人数为200x40%x0.1=8人，故D错误.

故选：BC.

2.（多选）（2024•江苏南京•南京外国语学校校联考模拟预料）某校为了解学生体能素

养，随机抽取了100名学生进行体能测试，并将这100名学生成果整理得到如下频率分布直

方图.依据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（）

A.a=0.012

B.这100名学生中成果在［50,70）内的人数为52

C.这100名学生成果的中位数为65

D.这100名学生的平均成果为68.2（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）

【答案】ABD

【详解】对于A,0.008xl0+0.020xl0+0.032xl0+10x0.020+10a+10x0.008=l,

.,.0=0.012,所以A正确.

对于B,10x0.020+10x0.032=0.52,100x0.52=52,所以B正确；

对于C,0.008x10+0.020x10=0.28<0.5,0.008x10+0.020x10+0.032x10=0.6>0.5,

二中位数在[60,70],设中位数为x,贝iJ0.008xl0+0.020><10+（x—60）x0.032=0.5,

.•.尤=66.875365,所以C错误.

对于D,平均数歹=45x0.08+55x0.2+65x0.32+75x0.2+85x0.12+95x0.08=68.2,所以D

正确.

故选：ABD.

题型三：样本的数字特征

【典例分析】

例题1.（2024•黑龙江齐齐哈尔乔齐哈尔市第一中学校校考一模）已知一个容量为

的样本数据的平均值为90,方差为10,若去掉其中5个为90的样本数据，剩余样本数据的

平均值为"方差为『，则下列结论正确的是（）

A.x-90<52>10B.无=90，S?=1。

C.1>90，?=10D.[=90，s2<10

【答案】A

【详解】由题意可知，〃（〃210）个样本数据之和为90〃，

去掉5个相同的样本数据90后,（〃-5）个样本数据之和为90（〃-5）,

所以:「OST）"。,解除选项C；

n-5

因为样本数据中有5个相同的数据90,且5（90-90）2=0,

不妨设去掉的5个相同的样本数据90都排在最终,

〃〃一5

则Z(x,-90)2=2(%-90)2,

i=\z=l

i_ni,-5

所以一2(%一90『<2&-90)2,即1>10.

几z=l〃—>i=l

故选：A

例题2.（2024春•四川成都•高三统考期末）若数据9,加，6,〃,5的平均数为7,方

差为2,则数据11,9,2m-l,17,2〃-1的平均数和方差分别为（

A.13,4B.14,4C.13,8I.14,8

【答案】C

9+机+6+〃+5

【详解】数据9,勿，6,n,5的平均数为--------------------------------二7,

5

方差为:[(9-7)?+(加-7丫+(6-7)2+(〃-7)2+(5-7)[=2,

m+n=15m=7m=8

化简得22।，解得”8或

(m-7)+(n-7)二1〃=7

2*1=13J2m-l=15

2九-1=15或(2九-1=13

则数据n,9,2m-l,17,2〃-1为11,9,13,17,15或11,9,15,17,13,

二两组数据有相同的平均数和方差,

11+9+13+17+15

平均数为=13,

5

方差为([(11-13)2+(9—13)2+(13-13)2+(17-13)2+。5-13)1=8,

故选：C

【变式演练】

1.（2024•湖南长沙•统考模拟预料）某地区连续六天的最低气温（单位：。C）为：9,8,7,

6,5,7,则该六天最低气温的平均数和方差分别为

58o

A.7和§B.8和§C.7和1D.8和］

【答案】A

【详解】平均数—L(9+8+7+6+5+7)=7,

故选A.

2.(2024•上海•高三专题练习)若数%,生，。3，。4，%的标准差为2,则数

3<71-2,3a2—2,3a3-2,3%-2,3%-2的标准差为.

【答案】6

【详解】数％,«2>/，%，%的标准差为2,

则数为,a2,%，%，%的方差为4,

，数3q-2,3a2-2,3a3-2,3a4-2,3%-2的方差为4x3,=36,标准差为6.

故答案为：6.

3.(2024•上海•高三专题练习)已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12,

13.7,18.3,20,且总体的中位数为10.5,若要使该总体的方差最小，则a、6的取值分别

是.

【答案】“=10.5,6=10.5

【详解】:总体的中位数为10.5，，a+b=21,

故总体的平均数为10,要使该总体的方差最小，

只需(4-10)2+(0-10)2最小，

又5—⑼,+S—⑼②之色+修。)。

22

当且仅当a=b=10.5时，等号成立.

题型四：百分位数

【典例分析】

例题1.（2024春•浙江绍兴•高三绍兴一中校考期中）从2,3,4,5,6,7,8,9中随

机取两个数，这两个数一个比加大，一个比加小的概率为盘，已知加为上述数据中的片分

14

位数，则X的取值可能为（）

A.50B.60C.70D.80

【答案】C

【详解】从2,3,4,5,6,7,8,9中随机取两个数有C；=28种，一个数比加大，一个数

比加小的不同结果有（〃?-2）（9-〃?），

于是正驾四二三，整理得：疗-1而+28=0,解得祖=4或,〃=7,

2814

当加工时，数据中的x%分位数是第3个数，则2<x%-8<3,解得25Vx<37.5,全部选项

都不满足；

当机=7时，数据中的x%分位数是第6个数，则5<x%-8<6,解得62.5<x<75,选项A,

B,D不满足，C满足.

故选：C

例题2.（2024春•河南开封•高三统考开学考试）已知甲、乙两组按从小到大依次排列的

数据：甲组：14,30,37,41,52,53,55,58,80；乙组：17,22,32,瓦45,47,51,59.若甲组数据的

第30百分位数和乙组数据的中位数相等，则a-6等于.

【答案】8

【详解】因为10x30%=3,甲组数据的第30百分位数为第三个数和第四个数的平均数，

乙组数据的中位数为第四个和第五个数的平均数，

依据题意可得配"=解得a-6=8.

故答案为：8.

【提分秘籍】

①按从小到大排列原始数据.

②计算i=72X0%.

③若i不是整数而大于i的比邻整数）,则第P百分位数为第，项数据；若，是整数，则第P

百分位数为第i项与第i+1项数据的平均数.

【变式演练】

1.（2024春•山东聊城•高三山东聊城一中校考期末）2024年2月20日，在党史学习教

化动员大会上，习近平总书记强调这次学习教化“总的来说就是要做到学史明理、学史增信

、学史崇德、学史力行，教化引导全党同志学党史、悟思想、办实事、开新局”.某单位为

了解该单位党员开展学习党史学问活动状况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习

时间进行了统计，统计数据如下表所示：

党史学习时间（小时）7891011

党员人数610987

则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40百分位数分别是（）

A.8,8.5B.8,8C.9,8D.8,9

【答案】A

【详解】由统计数表可知，学习7小时的有6人，学习8小时的有10人，学习9小时的有

9人，学习10小时的有8人，学习11小时的有7人，共有40人.

学习8小时的人数最多，故学习党史时间的众数是8；

由40%X40=16,故第40百分位数为数据从小到大排序第16项与第17项数据的平均数，

即掾=8.5,故学习党史时间的第40百分位数是8.5；

故选：A

2.（2024•上海•高三统考学业考试）某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高

样本，数据从小到大排序如下（单位：cm）：

152,155,158,164,164,165,165,165,166,167,168,168,169,170,170,170,

171,x,174,175,若样本数据的第90百分位数是173,则x的值为.

【答案】172

【详解】百分位数的意义就在于，我们可以了解的某一个样本在整个样本集合中所处的位置,

丫+174

本题第90百分位数是173,所以一＞=173,x=172

故答案为：172

3.（2024春•湖北•高三湖北省红安县第一中学校联考阶段练习）在我市今年高三年级期

中联合考试中，某校数学单科前10名的学生成果依次是：

143,140,144,142,142,145,148,147,147,150,

这10名同学数学成果的60%分位数是.

【答案】146

【详解】对10名同学的成果从小到大进行排列：

140,142,142,143,144,145,147,147,148,150

依据10x60%=6,故取第6项和第7项的数据分别为：145,147；

10名同学数学成果的60%分位数为：在145+产147=146.

故答案为：146

题型五：线性回来

【典例分析】

例题1.（2024秋•北京朝阳•高二统考期末）已知一组样本数据（占,乂）,（/，％），-，（z，%），

依据这组数据的散点图分析尤与V之间的线性相关关系，若求得其线性回来方程为

夕=0.85元-85.7,则在样本点（165,57）处的残差为（）

A.-2.45B.2.45C.3.45D.54.55

【答案】B

【详解】把x=165代入夕=0.85彳一85.7,得9=0.85x165-85.7=54.55,

所以在样本点(165,57)处的残差e=y-y=57-54.55=2.45.

故选：B.

例题2.(2024秋•江苏盐城•高二盐城市田家炳中学校考期中)已知某种商品的广告费支

出x(单位：万元)与销售额V(单位：万元)之间有如下对应数据：

X24568

y3040506070

依据上表可得回来方程§=%+含，计算得6=7,则当投入10万元广告费时，销售额的预报

值为

A.75万元B.85万元

C.99万元D.105万元

【答案】B

-1-1

详解：由题意得x=g(2+4+5+6+8)=5,y=1(30+40+50+60+70)=50,

样本中心为(5,50).

•••回来直线V=7无+G过样本中心(5,50),

A50=7x5+5,解得6=15,

...回来直线方程为》=7x+15.

当x=10时，v=7x10+15=85,

故当投入10万元广告费时，销售额的预报值为85万元.

故选B.

例题3.(2024秋•河南洛阳•高二校联考阶段练习)已知变量丁与尤(尤＞0)的一组数据如

表所示，依据数据得到y关于X的回来方程为y=2*-4x+a.

X2345

y2030506070

若y=152,贝！M=

【答案】9

【详解】令f=2/一4元，贝仃=7+°,

故由表中数据可得，取0,6,16,30,48,故三0+6+1；+30+48=20,

20+30+50+60+70”

而y=-----------------=46,

故46=20+a,a=26,

故y=152时，152=7+26,7=126,BP126=2x2-4%,

解得x=9,（负值舍去），

故答案为：9

【提分秘籍】

回来直线方程y=乐+a肯定经过样本中心（X,7）.

【变式演练】

1.（2024•全国•高三专题练习）某公交公司推出扫码支付乘车实惠活动，活动为期两周,

活动的前五天数据如下表：

第X天12345

运用人数（》）151734578421333

由表中数据可得了关于x的回来方程为9=55/+〃7,则据此回来模型相应于点（2,173）

的残差为（）

A.-5B.-6C.3D.2

【答案】B

【详解】令/=炉，贝！ly=55/+〃z，

t=X21491625

运用人数（y）151734578421333

-1+4+9+16+25--15+173+457+842+1333口

t=---------------------=11,y=-----------------------------------=564,

所以564=55x11+m,m=—41,

所以y=55d—41，

当x=2时，y=55*22-41=179,

所以残差为173-179=-6.

故选：B

2.（2024•全国•高三专题练习）己知变量x,了的关系可以用模型＞拟合，设z=lny,

其变换后得到一组数据如下：

X46810

z2356

由上表可得线性回来方程5=0.7尤+a，则。=

【答案】I".

-4+6+8+10――2+3+5+6

【详解】由表格数据知:x=----------------=7,z=--------------=44.

4

由z=0.7x+。，得7X0.7+6=4，则6=—0.9.

Jz=0.7x—0.9,

由y=,得z=Iny=ln(c・e")=Inc+lne"=Inc+fcv,

・・・lnc=-0.9,即c=V

故答案为：e".

3.(2024秋・四川成都•高三四川省成都市郸都区第一中学校联考阶段练习)2024年3

月成都市连续5天的日平均气温如下表所示：

日期X89101112

平均气温y(℃)20.521.521.52222.5

由表中数据得这5天的日平均气温，关于日期》的线性回来方程为5-O.45X+A,据此预料3

月15日成都市的平均气温为℃.

【答案】23.85

【详解】由题意得：

-8+9+10+11+12,八-20.5+21.5+1.5+22+22.5〜,

x=---------------------=10,y=----------------------------------=21.6,

^21.6=0.45x10+5,0=17.1,

则3月15日成都市的平均气温为9=0.45x15+17.1=23.85(℃),

故答案为：23.85

4.(2024•高二课时练习)某工厂为探讨某种产品产量x(吨)与所需某种原材料y(吨)

的相关性，在生产过程中收集4组对应数据(x,y)如下表所示：

3456

y2.534m

依据表中数据，得出y关于x的阅历回来方程为J=0.7.x+&.据此计算出在样本点(4,3)处的

残差为-0.15,则G的值为,表中/的值为.

7Q

【答案】0.35##—4.5##—

202

【详解】由在样本点(4,3)处的残差为-0.15,可得当％=4时；9=3.15,即3.15=0.7x4+6,

_1_11

解得6=0.35.又x=1(3+4+5+6)=4.5,y=-(2.5+3+4+/w)=-(9.5+/K),回来直线过点

（；，亍），所以;（9.5+m）=0.7x4.5+0.35,解得m=4.5.

故答案为：0.35,4.5

题型六：独立性检验

【典例分析】

例题1.（2024秋•北京朝阳•高二统考期末）为了了解居家学习期间性别因素是否对学生

体育熬炼的常常性有影响，某校随机抽取了40名学生进行调查，依据性别和体育熬炼状况

整理出如下的2x2列联表:

熬炼状况

性别合计

不常常常常

女生/人14721

男生/人81119

合计/人221840

,n=a+b+c+d.

注“独立性检验中,心…黑渭一）

常用的小概率值和相应的临界值如下表:

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

依据这些数据，给出下列四个结论：

①依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育熬炼的常常性有影响；

②依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育熬炼的常常性没有影响；

③依据小概率值c=0.05的独立性检验，可以认为性别对体育熬炼的常常性有影响，这个推

断犯错误的概率不超过0.05；

④依据小概率值夕=0.05的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育熬炼的常常性有影

响，因此可以认为性别对体育熬炼的常常性没有影响.

其中，正确结论的序号是（)A.①③B.①④C.②③

D.②④

【答案】B

71

【详解】由表可知，女生有21人，其中常常熬炼的有7人，频率为《=

213

男生有19人，其中常常熬炼的有n人，频率为

因为依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育熬炼的常常性有影响，故①

正确，②错误；

2

=40x（14xll-7x8）2431<3841；所以依据小概率值口=Q05的独立性检验，没有充

21x19x22x18

分证据推断性别对体育熬炼的常常性有影响，因此可以认为性别对体育熬炼的常常性没有影

响，故④正确，③错误.

故选：B.

例题2.（2024•全国•高三专题练习）某市实行了首届阅读大会，为调查市民对阅读大会

的满足度，相关部门随机抽取男女市民各50名，每位市民对大会给出满足或不满足的评价,

得到下面列联表：

满足不满足

男市民60-mm—10

女市民m+1040—m

当科,25,〃zwN*时，若没有95%的把握认为男、女市民对大会的评价有差异，则的最小值

为.

n(ad-be)2

附：Z其中

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)'n-a+b+c+d.

k2.7063.8417.879

【答案】21

【详解】由题意得

22

2_"(ad-be*_100[(60-m)(40-m)-(m-10)(m+10)]_(2500-100/n)

*-(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)-50-50-70-30一~30-50-35-

并令/=(250。-10。m)-<3841,即(2500-100W><201652.5,近似解得

30-50-35

-449<2500-100m<449,即20.5low<29.49,留意到〃S25,HUN*,故"?的最小值为21.

故答案为：21.

【提分秘籍】

①能正确计算「二

②能读对表中对应数据，并能正确回答出结论

【变式演练】

1.（2024秋•广东梅州•高二统考期末）经探讨表明健康的饮食和科学的运动能够有效削

减低密度脂蛋白浓度.为了调查某地青年人的低密度脂蛋白浓度是否与肥胖有关，随机调查

该地100名青年大，得到2X2列联表如下：

肥胖不肥胖总计

低密度脂蛋白不高于3.Immol/L106575

低密度脂蛋白高于3.Immol/L101525

总计2080100

由此得出的.破结论是（）

A.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有

关”

B.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖无

关”

C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有

关”

D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖无

关,，

【答案】A

【详解】由题表知心或嗡算一“>7.879

二尸（%*）=0.005

所以，在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥

胖有关”

故选：A

2.（2024秋•重庆九龙坡•高二四川外国语高校附属外国语学校校考阶段练习）在一次联

考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成果进行分析，规定：大于或等于120分为优秀,

120分以下为非优秀，统计成果后，得到如下2义2列联表：

优秀非优秀合计

甲班人数50

乙班人数20

合计30110

附：-bcf_____,

其中〃=a+Z?+c+d.

(〃+0)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.050.010.0050.001

3.8416.6357.87910.828

依据独立性检验，可以认为数学考试成果与班级有关系的把握为（）

A.95%B.99.5%C.99.9%D.99%

【答案】D

【详解】

优秀非优秀合计

甲班人数105060

乙班人数203050

合计3080110

由题表中的数据可得：Z2=110x(10x30-20x50)2。7.49,

因为7.49>6.635=x001,

所以可以认为数学考试成果与班级有失系的把握为99%.

故选：D

3.(2024•全国•高三专题练习)针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中

学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的男生追星的人数占男生

人数的，1，女生追星的人数占女生人数的：2，若有95%的把握认为中学生追星与性别有关，

则男生至少有人.

参考数据及公式如下:

2

P(K>k0)0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

K?n^ad-bc^

n=a+b+c-^-d.

(〃+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

【答案】30

【详解】设男生人数为无，依题意可得列联表如下:

喜爱追星不喜爱追星总计

X2x

男生X

3T

XXX

女生

362

2x5x3x

总计

T~6~2

若在犯错误的概率不超过95%的前提下认为是否喜爱追星和性别有关,

则K2>3.841,

由底=21189J=—x>3,841,解得x>25.61,

2x5xx20

----------------X'—

36----2

由题知X应为6的整数倍，

,若在犯错误的概率不超过95%的前提下认为是否喜爱追星和性别有关，

则男生至少有30人,

故答案为：30.

4.（2024•全国•高三专题练习）针对时下的“韩剧热”，某校团委对“学生性别和喜爱

韩剧是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的;，男生喜爱韩剧的人数占男生

人数的女生喜爱韩剧的人数占女生人数的;若有95%的把握认为是否喜爱韩剧和性别

O3

有关，求男生至少有人.

2

P(K>k^0.0500.0100.001

k。3.8416.63510.828

【答案】18

【详解】设男生人数为x,由题意可得列联表如下:

喜爱韩剧不喜爱韩剧总计

X5x

男生X

6~6

2xXX

女生

~993

7xlx4x

总计

7818T

若有95%的把握认为是否喜爱韩剧和性别有关,

则上>3.841,

4xxx5x2x2

泳

即左=369693.841

xJQ.7—x.17x.----

31818

解得x>12.697.

因为各部分人数均为整数，所以若有95%的把握认为是否喜爱韩剧和性别有关，则男生至

少有18人.

故答案为：18.

题型七：排列组合

【典例分析】

例题1.（2024•安徽蚌埠•统考一模）为实行《中共中央国务院关于全面深化新时代老师

队伍建设改革的看法》精神，加强义务教化老师队伍管理，推动义务教化优质均衡发展，

安徽省全面实施中小学老师“县管校聘”管理改革，支持建设城乡学校共同体.2024年暑

期某市教体局支配支配市区学校的6名骨干老师去4所乡镇学校工作一年，每所学校至少

支配1人，则不同支配方案的总数为（）

A.2640B.1440C.2160D.1560

【答案】D

【详解】6人分组有2种状况：2211,3111,

爷+"：=1560.

所以不同支配方案的总数为

故选：D.

例题2.（2024•江苏盐城•盐城中学校考模拟预料）设集合4=其中。,b,c为自

然数且a+b+c=100,则符合条件的集合A的个数为（）

A.833B.884C.5050D.5151

【答案】A

【详解】将100个小球排成一列，在101个空位（包括两段的空位）中插入第一个挡板，再

在产生的102个空位中插入其次个挡板，将小球分成三段，分别记每段中的小球个数为a、

b、c,共有101；02=5151种结果,

因为a+b+c=100,所以a、b、。中含有两个0,1,2,…，50各有3种结果，

所以a、b、c三个数各不相等的结果共有5151-3x51=4998个

因为三个元素的每种取值有6种不同依次，

所以，由集合元素的无序性可知符合条件的集合力的个数为4998+6=833个.

故选：A

例题3.（2024•河南•统考模拟预料）将中国古代四大名著一一《红楼梦》《西游记》《水

浒传》《三国演义》，以及《诗经》等12本书依据如图所示的方式摆放，其中四大名著要

求放在一起，且必需竖放，《诗经》《楚辞》《吕氏春秋》要求横放，若这12本书中7本

竖放5本横放，则不同的摆放方法共有种.

【答案】691200

【详解】除了四大名著和《诗经》《楚辞》《吕氏春秋》这7本书以外，从其余5本书中选

取3本和四大名著一起竖放，四大名著要求放在一起，则竖放的7本书有C；A：A：种方法，

还剩5本书横放，有A；种方法，

故不同的摆放方法种数为C；A：A：A；=10X242X120=691200.

故答案为：691200

例题4.（2024•山东济南•山东省试验中学校考模拟预料）支配高二年级一、二两个班一

天的数、语、外、物、体，一班的化学及二班的政治各六节课.要求体育课两个班一起上，但不

能排在第一节；由于选课之故，一班的化学和二班的政治要支配在同一节；其他语、数、外、

物四科由同一任课老师分班上课，则不同的排课表方法共有种.

【答案】5400

【详解】先支配体育课（不能在第一节）有种，化学和政治在同一节有种，

剩下4门主课，不能同时上一种课，先支配一班有种，

不妨设第1,2,3,4节的依次，

二班第一节，一班有3种选项第2,3,4节，

对应一班选出的某节课，比如第2节，

在一班上第2节时，有第1,3节，第1,4节，第3,4节3种，

故不同的排课表方法共有Csxx3x3=5400种，

故答案为：5400

【提分秘籍】

排列、组合问题的求解方法与技巧

（1）特殊元素优先支配；（2）合理分类与精确分步；（3）排列、组合混合问题先选后排；（4）

相邻问题捆绑处理；（5）不相邻问题插空处理；（6）定序问题解除法处理；（7）分排问题直排