2024年中考数学一轮复习 整式与因式分解 讲义（含答案）

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整式与因式分解的核心知识点精讲

1.能用事的性质解决简单问题，会进行简单的整式乘法与加法的混合运算.

2.能用平方差公式、完全平方公式进行简单计算.

3.了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系，会用提公因式法和公式法进行因式分解.

4.能选用恰当的方法进行相应的代数式的变形，并通过代数式的适当变形求代数式的值.

5.会列代数式表示简单的数量关系;能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，会求代数式的值，并能

根据代数式的值或特征推断代数式反映的规律.

考点1：代数式

定义：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。

考点2：整式的相关概念

考点3：整式加减运算

1.实质：合并同类项

2.合并同类项：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。

3.去括号

(1)a+(b+c)=a+b+c；(2)a-(b+c)=a-b-c

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考点4：募运算

(1)基的乘法运算

口诀：同底数幕相乘，底数不变，指数相加。即amxan=a<m+n>(a#),m,n均为正整数，并且m>n)

(2)募的乘方运算

口诀：幕的乘方，底数不变，指数相乘。即(a'")"=a""(m，n都为正整数)

(3)积的乘方运算

口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的事相乘。即=(m,n为正整数)

(4)募的除法运算

口诀：同底数嘉相除，底数不变，指数相减。即am+an=a<m-n)(a¥O,m,n均为正整数，并且m>n)

考点5：整式乘法运算

(1)单项式乘单项式

单项式相乘，把系数、同底数鬲分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连

同它的指数作为积的一个因式.

(2)单项式乘多项式

单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.

(3)多项式乘多项式

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.

(4)乘法公式

①平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2

②完全平方公式：=/+2ab+/(a-b)2=a2-2ab+b2

(5)除法运算

①单项式的除法：把系数、同底数累分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同

它的指数作为商的一个因式.

②多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.

考点6：因式分解

1把一多项式化成几个整式的积的形式

2.必须分解到每个多项式都不能再分解为止

公式：ma+mb+mc=m(a+b+c)

系数：取各项系数的最大公因数

「提公因式法

公因式的确定一字母：取各项相同的字母或因式

I指数：取各项相同字母的最低次数

a2-b2=(a+b)(a-b)

a2+2ab+b2=(a+b)

a2-2ab+b2=(a-b)

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\典例用罐

【题型1:代数式及其求值】

【典例1】（2024•南通）若4a-12=0,则2a2-8a-8的值为（）

A.24B.20C.18

【答案】D

【解析】解：•••M-4a-12=0,

•♦a~4a=12,

/.2a2-8a-8

=2(a2-4a)-8

=2x12-8

=24-8

故选：D.

•BD时格测

（2024•雅安）若加2+2机-1=0,则2加2+4加-3的值是（

A.-1B.-5

【答案】A

【解析】解：2m2+4m-3=2(m2+2m-1)-1=0-1=-1.

故选：A.

2.(2024•常德)若层+31-4=0,贝(J2Q2+6Q-3=()

C.-1

【答案】A

【解析】解：・・・〃2+34=0,

/.片+3。=4,

/.2a2+6a-3

—2(42+3〃)-3

=2x4-3

=5,

故选：A.

3.(2024•巴中)若x满足/+3、-5=0,则代数式2?+6x-3的值为()

A.5B.7C.10D.-13

【答案】B

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【解析】解："+3x7=0,

.,./+3x=5,

：.2X2+6X-3=2(X2+3X)-3=2X5-3=7.

故选：B.

曲例晒

【题型2：整式的相关概念及加减】

【典例2】（2024•湘潭）下列整式与。房为同类项的是（)

A.a2bB.-2ab~C.abD.ab2c

【答案】B

【解析】解：在Mb,-lab1,ab,ab2c四个整式中,与ab2为同类项的是：-2ab2,

故选：B.

・BD时蛤泅

1.（2024•河池）下列各式中，与2a2方为同类项的是（)

A.-2序bB.-2abC.2ab2D.2片

【答案】A

【解析】解：2a2b中含有两个字母:a、b,且〃的指数是2,b的指数是1,观察选项，与2a2方是同类

项的是-242b.

故选：A.

2.（2024•泰州）下列计算正确的是（)

A.3ab+2ab=5abB.5/-2/=3

C.7。+。=7。2D.m~n-2mn2--mrr

【答案】A

【解析】解：4、原式=5〃b,符合题意;

B、原式=3B，不符合题意;

C、原式=8a,不符合题意;

。、原式不能合并，不符合题意.

故选：A.

3.（2024•包头）若一个多项式加上3xy+2y2-8,结果得2xy+3y2-5,则这个多项式为迷-灯+3

【答案】y2-盯+3.

【解析】解：由题意得，这个多项式为:

(2xy+3y2-5)-(3xy+2y2-8)

=2xy-^-3y2-5-3xy-2y^8

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=y2-xy+3.

故答案为：y2~xy+3.

f典例第箍

【题型3：募运算】

【典例3】（2024•株洲）计算：（3a）2=（）

A.5aB.3a2C.6a2D.9a2

【答案】D

【解析】解：*.*(3a)2—32xa2—9a2,

故选：D.

A

%即时检H

1.（2024•丹东）下列运算正确的是（)

A.(3盯)2=9/廿B.(歹3)2=y5

C.X2*X2=2X2D.x6^x2=x3

【答案】A

【解析】解：A.（3盯）2=9//,故此选项符合题意;

B.（/）2=/,故此选项不合题意；

C.x2«x2=x4,故此选项不合题意；

D,工6?2=丁，故此选项不合题意.

故选：A.

2.（2024•陕西）计算：（^lx2y）3=（)

A163R123r163D.354

A-xyyxyJ-yxy亍y

68

【答案】c

【解析】解：原式=-lx6/,

8-

故选：C.

3.（2024•温州）化简a%（-a）3的结果是।1)

A.a12B.-anC.Q7D.-(77

【答案】D

【解析】解：血（一°）3=-7.

故选：D.

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\典例用罐

【题型4：整式的乘除及化简求值】

【典例4】(2024•盐城)先化简，再求值：Ca+3b)2+(a+36)(a-36),其中a=2,6=-l.

【解析】解:(a+36)2+(a+36)(a-36)

=cr+6ab+9b1+a2-9b2

=2a2+6ab.

当a=2,b=-1时，

原式=2“22+6X2X(-1)

=8-12

=-4.

*

qBD时格测

1.(2024•长沙)先化简，再求值：(2-q)(2+q)-2a(q+3)+3/，其中-_L.

3

【答案】4-6〃，原式=6.

【解析】解：(2-a)(2+tz)-2a(a+3)+3层

=4-a2-2修-6。+3。2

=4-6a,

当a--工时，原式=4-6x(--1,)

33

=4+2

=6.

2.(2024・常州)先化简，再求值：G+1)2-2(x+1),其中x=&.

【答案】十一1,i.

【解析】解：原式=/+2%+1-2x-2

=x2-1,

当时，原式=2-1=1.

3.(2024•盐城)先化简，再求值：(x+4)(x-4)+(x-3)2,其中/-3%+1=0.

【解析】解：原式=/-16+x2-6x+9

-6x-7,

VX2-3X+1=0,

/.x2-3x=-1,

2x2-6x--2,

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；・原式=-2-7=-9.

年曲例引领

【题型5：因式分解】

【典例5】(2024•北京)分解因式：y(x+y)(X-”).

【解析】解：/厂歹3

=y(x2-廿)

=yCx+y)(x-y).

故答案为：y(x+歹)(x-y).

\SD时蛤泅

1.(2024•盐城)因式分解：/-xy=尤(x-v).

【答案】X(x-y)

【解析】解：X2-xy=x(x-y).

故答案为：x(x-y).

2.(2024•陕西)分解因式：3/-12=3(x-2)(x+2).

【答案】3(x+2)(x-2).

【解析】解：原式=3(/-4)

=3(x+2)(x-2).

故答案为：3(x+2)Cx-2).

3.(2024•怀化)分解因式：2/-4x+2=2(x7)2.

【答案】2(无-1)2

【解析】解：2x2-4x+2,

=2(x2-2x+l),

=2(x-1)2.

।客|好题冲关J]

£基飒^

1.单项式加孙3与x〃+2)3的和是5盯3,则用_〃=()

A.-4B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】解：二•单项式加盯3与#+2)3的和是5盯3,

单项式mxy3与xn+2y3是同类项，

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n+2=1,m+1=5,

解得n--1,m—4,

.".m-n=4-(-1)=5,

故选：D.

2.下列计算正确的是()

A.2ab+3ab=5abB.7y2-2廿=5

C.4a+2a=6。2D.3m~n-2mn2—mn-

【答案】A

【解析】解：A.2ab+3ab=5ab,故本选项符合题意；

B.ly2-2y2—5y2,故本选项不符合题意；

C.4a+2a=6a,故本选项不符合题意；

D.3加2”与-2%〃2不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意.

故选：A.

3.如图是由连续的奇数1,3,5,7,……排成的数阵，用如图所示的T字框框住其中的四个数，设竖列中

间的数为x,则这四个数的和为（）

【答案】B

【解析】解：设竖列中间的数为X,

则上面的数为：x-10,

下面的数为：x+10,

其右侧的数为：x+2,

则这四个数的和为：x-10+x+10+x+2=3x+2,

故选:B.

4.某商品标价为加元，商店以标价7折的价格开展促销活动，这时一件商品的售价为（）

A.0.3加元B.1.7加元C.7加元D.0.7m元

【答案】D

【解析】解：商店以标价7折的价格开展促销，售价为0.7m元；

故选：D.

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5.如图是一组有规律的图案，它们由边长相等的等边三角形组成，第1个图案有4个三角形，第2个图案

有7个三角形，第3个图案有10个三角形，…，照此规律，摆成第6个图案需要的三角形个数是（）

A讣vWvvWA

第1个第2个第3个第4个

A.19个B.22个C.25个D.26个

【答案】A

【解析】解：第1个图案有4个三角形，即4=3xl+l,

第2个图案有7个三角形，即7=3'2+1,

第3个图案有10个三角形，即10=3x3+1,

按此规律摆下去，

第〃个图案有（3〃+1）个三角形.

第6个图案有（3*6+1）=19个三角形.

故选：A.

6.若代数2x2+3x的值为5,则代数式4炉+6尤-9的值是（）

A.1B.-1C.4D.-4

【答案】A

【解析】解：.••2X2+3X的值为5,

'.2X2+3X=5,

二原式=2（2X2+3X）-9

=2x5-9

=10-9

=1.

故选：A.

7.下列计算正确的是（）

A.（a3）2=08B.a2*a3=a6

（。乂）。阴Dn2..2_3

C.23=83u-3a-4a--ra

4

【答案】C

【解析】解：（〃）2-6,则/不符合题意;

a2-a3=a5,则8不符合题意;

（2^2）3=803阴，则C符合题意;

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3a2-4层=3,则。不符合题意；

4

故选：C.

8.多项式3/-2x+5的各项分别是()

A.3/,-2x,5B.x2,x,5C.3/,2x,5D.3,2,5

【答案】A

【解析】解：多项式3x2-2x+5的各项分别是3/,_2x,5,

故选：A.

9.下列各整式中是三次单项式的是()

A.5a3bB.3202bC.-a2b3D.9a2+Z>3

【答案】B

【解析】解：5〃/,的次数是3+1=4,则/不符合题意；

32a2®的次数是2+1=3,则8符合题意；

-浮尸的次数是2+3=5,则C不符合题意；

9a2+〃不是多项式，则。不符合题意；

故选:B.

10.如果二次三项式苫2+办-2可分解为(x-2)(x+6),那么a+6的值为()

A.-2B.-1C.1D.0

【答案】D

【解析】【详解】解：：G-2)(x+6)=/+(6-2)x-2b,

.'.x2+ax-2—X2+(6-2)x-2b,

•・a~~b-2,~2-2b,

；・a=-1,Z7=l,

••a+b=0,

故选：D.

11.将长、宽分别为》的四个完全一样的长方形，拼成如图所示的两个正方形，则这个图形可以用来解

释的代数恒等式是()

A.(x-Fv)2=x2+2xy+y2B.(x-y)2=/_2xy+)^

C.(x依)(x-y)=x2-y2D.(x+y)2-(x-y)2=4xy

【答案】D

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【解析】解：根据图形可得：大正方形的面积为（x+y）2,阴影部分小正方形的面积为（x-y）2,一个

小长方形的面积为孙,

则大正方形的面积-小正方形的面积=4个小长方形的面积，

即（x+y）2-（x-y）2=4xy,

故选：D.

12.（-/）2的运算结果是（）

A.-x5B.-x6C.x6D.x9

【答案】C

【解析】解：（--）2=3.

故选：C.

2

13.单项式-兀*丫4的系数和次数分别是（）

3

A.-A,4B.-A,5C.-2L,4D.5

333O

【答案】c

2

【解析】解：单项式-三二*_的系数是-工，次数是4,

33

故选：C.

14.若M和N都是三次多项式，则上什N一定是（）

A.次数低于三次的整式

B.六次多项式

C.三次多项式

D.次数不高于三次的整式

【答案】D

【解析】解：和N都是三次多项式,

•••"+N一定是次数不高于三次的整式，

故选：D.

15.多项式/+加工+25是完全平方式，那么加的值是（）

A.10B.20C.±10D.±20

【答案】C

【解析】解：由于（x±5）2=/土10尤+25

."=±10

故选：C.

16.要使多项式2/-2（7+3x-2/）+刃%2化简后不含工的二次项，则冽的值是（）

A.2B.0C.-2D.-6

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【答案】D

【解析】解：2/-2(7+3x-2x2)+mx2

=2/-14-6x+4x2+mx2

=(6+m)x2-6x-14.

•••化简后不含x的二次项.

6+m—0.

♦.m――-6.

故选：D.

17.先化简，再求值：（a+2）（a-2）+a（1-a）,其中。=2024.

【答案】a-4,2024.

【解析】解：原式=。2-4+。-层

=a-4,

当a=2024时，

原式=2024-4

=2024.

18.甲、乙两个长方形的边长如图所示（入为正整数），其面积分别为Si，S2.

（1）填空：S-S尸2根-1（用含加的代数式表示）；

（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和.

①设该正方形的边长为x,求x的值（用含加的代数式表示）；

②设该正方形的面积为丛，试探究：S3与2（用+S2）的差是否是常数？若是常数，求出这个常数，若不

是常数，请说明理由.

m-7

【答案】(1)2m-1；

(2)①2m+7；

②S3与2(S1+S2)的差是常数19.

【解析】解：(1)S「S2

=(m+7)(m+1)-(m+4)(m+2)

=(m2+m+lm+l)-(m2+2m+4m+S)

=m2+m+lm+l-m2-2m-4m-8

=2m-1,

故答案为：2加-1；

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(2)①根据题意得：

4x=2(m+7+m+l)+2(加+4+加+2),

解得：x=2加+7,

答:x的值为2冽+7；

@VS1+S2

=(m+7)(m+1)+(刈+4)(m+2)

=(m2+m+7m+7)+(m2+2m+4m+8)

=m2+m+7m+7+m2+2m+4m+8

=2加2+14加+15,

，S3-2(Si+S2)

=(2加+7)2-2(2加2+14加+15)

=4m2+28m+49-4m2-28m-30

=19,

答:S3与2(S1+S2)的差是常数19.

*

V能力想升

1.已知有2个完全相同的边长为0、6的小长方形和1个边长为〃八〃的大长方形，小明把这2个小长方形

按如图所示放置在大长方形中，小明经过推理得知，要求出图中阴影部分的周长之和，只需知道。、6、

加、〃中的一个量即可，则要知道的那个量是()

A.aB.bC.mD.n

【答案】D

【解析】解：由图和已知可知：AB=a,EF=b,AC=n-b,GE=n-a.

阴影部分的周长为：2(N8+/C)+2(GE+EF)

=2Ca+n-b)+2(〃-a+b)

=2a+2n-2b+2n-2a+2b

=4n.

.•.求图中阴影部分的周长之和，只需知道"一个量即可.

故选：D.

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2.已知8'"=a,16"=6,其中加，〃为正整数，则23〃计12"=()

A.airB.a+b2C.atr1D.a+b^

【答案】C

【解析】解：8=23,16=2匕

(23)m=2im=a,(24)n=24n=b,

12,!3m4n33

A23™+12»=23">x2=2x(2)=ab,

故选：C.

3.比较344,433,522的大小正确的是()

A.344<433<522B.522<433<344

C.522<344<433D.433<344<522

【答案】B

【解析】解：344=(34)11=813

433,—(43)11=64”；

522的=«2)11=25”；

V2511<6411<8111,

.\522<433<344

故选：B.

4.若（a+26）•=02-4后，则横线内应填的代数式是（）

A.-a-2bB.a+2bC.a-2bD.1b-a

【答案】c

【解析】解：a2-4b2=Ca+2b）（.a-2b）,

.♦.括号内应填的代数式是a-26.

故选：C.

5.同号两实数a,6满足层+62=4-2"，若a-b为整数，则成的值为（）

A.1或3B.1或5C.2或3D.2或2

4422

【答案】A

【解析】解：：。2+62=4-2",

(a+6)2=4,

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（a-6）2=（a+b）2-4ab=4-4ab>0,

ab<\,

,.・仍〉0,

1•OVabWl.

0<4-4abV4.

••Z-b为整数，

.'.4-4ab为平方数.

；・4-4ab=1或0,

解得仍=3或1；

4

故选：A.

6.我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章

算术》一书中，用如图的三角形解释二项式（a+b）〃的展开式的各项系数，此三角形称为，杨辉三角”.根

据'杨辉三角”设徒坊）〃的展开式中各项系数的和为纵，若2101°=%,则田+。2+的+…+。2024的值为（）

(a-^b)Q.............................①

(a+b)v................①①

3旷........①②①

(a+b)i.............①③③①

佃+勿4------①④⑥④①

fa+b)5…①⑤④⑩⑤①

••••••

A.2X2B.2/-2C.2024x-2D.2024x

【答案】B

【解析】解：观察所给数据可得，肉=2,。2=1+2+1=4=22,的=1+3+3+1=8=23,劭=1+4+6+4+1=

16=2’，…，。2024=22024,

；•02024=22°24=》2,

：即+。2=2+4=6=2(22-1),

〃1+。2+。3=2+4+8=14=2(23-1),

・'・。1+。2+〃3+.-+。2024

=2(22°24-1)

=2(x2-1)

=2x2-2.

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故选：B.

7.下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中x的值是()

142638410□S

29320435554□□

第1个第2个第3个第4个……

A.135B.170C.209D.252

【答案】C

【解析】解：根据表格可得规律：

第〃个表格中，

左上数字为〃，

左下数字为〃+1,

右上数字为2(〃+1),

右下数字为2(n+1)(n+1)+n,

.\20=2(n+1),

解得n=9,

.,.a=9,b—10,x=10x20+9=209.

故选：C.

8.定义运算“★“：«★/>=<ab(a<b),关于x的方程(2x+l)★(2x-；

=广恰好有两个不相等的实

b^-a(a>b)

数根，贝h的取值范围是t>-lL.

4—

【答案】t>-XL.

4

【解析】解：由新定义的运算可得关于x的方程为：

(1)当2x+lW2x-3成立时，即1W-3,矛盾，

所以agb时不成立；

(2)当2x+l>2x-3成立时，即1>-3时，

所以时成立，

贝!](2x-3)2-(2x+l)=t,

化简得：4X2-14x+8-1=0,

•.•一元二次方程有两个不相等的实数根，

/.A=142-4><4x(8-t)>0,

解得：A-IL,

4

高考复习材料

故答案为：?>-!!.

4

9.计算：已知：a+b=3,ab=l,则02+62=7.

【答案】见试题解答内容

【解析】解：：。+6=3,ab=\,

a2+b2=(a+6)2-2ab=32-2=9-2=7.

故答案为：7

10.如图，边长分别为0、6的两个正方形并排放在一起，当。+6=8,仍=10时，阴影部分的面积为

17.

b

【答案】17.

【解析】解：I艮据题意得：S阴影部分=。2+庐-12-二(”+6)

22

=a1+b2-Aa2-Lb-A/72

222

=_L(a2+b2-ab)

2

=-l[(a+6)2-3。可，

2

把a+b=8,“6=10代入得：S阴影部分=17.

故图中阴影部分的面积为17.

故答案为：17.

11.因式分解：2/-4x+2=2(x-1)2.

【答案】2(X-1)2.

【解析】解：2/-4'+2=2(X2-2X+1)=2(x-1)2

故答案为2(%-1)2.

12.已知盯=2,x+y=3,贝：％21+灯2=6.

【答案】见试题解答内容

【解析】解：*.,xy=2,x+y=3,

••x^y+xy1

—xy(x+j/)

高考复习材料

=2x3

=6,

故答案为：6.

13.如图，点C是线段48上的一点，以/C,8c为边向两边作正方形，设/8=9,两正方形的面积和邑+必

=51,则图中阴影部分面积为与

一2

2

【解析】解：设CF=n,

,:AB=9,

m+n=9,

又・・§+S2=51,

・••加2+九2=51,

222

由完全平方公式可得，（加+〃）=m+2mn+n9

/.92=51+2加〃，

・・f7in=159

._1_15

；・S阴影部分==/%"=-77，

22

即：阴影部分的面积为12.

2

故答案为：变.

2

【答案】6.

高考复习材料

【解析】解：a2-b2-2b+5

=(a+b)(。-b)-26+5,

Vtz-b=\,

:.原式=〃+b-2b+5

=a-b+5

=1+5

=6.

故答案为：6.

15.我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了(。+6)〃

=2,3,4,...)的展开式的系规律(按。的次数由大到小的顺序).

11(a+匕)i=a+b

121(a+力)2=屏+%匕+核

1331(a+i)3=a3+3a2Z>+3a&:+iP

14641(a+J)4=o4+4a3d+6a;&2+4a&3+t4

请根据规律，写出G+1)2。24的展开式中含苫2024项的系数是根24

【答案】2024.

【解析】解：：(。+6)1展开式中的第二项系数为1,

(a+b)2展开式中的第二项系数为2,

(a+6)3展开式中的第二项系数为3,

(a+6)4展开式中的第二项系数为4,

(a+6)"展开式中的第二项系数为“，

由图中规律可知：

含X2024的项是G+1)2024的展开式中的第二项，

(x+1)2024的展开式中的第二项系数为2024,

故答案为：2024.

16.观察下列一组数：

〃=1/=3n-6n-10〃=15

3591733

它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第〃个数a〃=_n(n+1)_(用含〃的式子表示)

2+21tH

【解析】解：观察分母，3,5,9,17,33,可知规律为2〃+1,

观察分子的，1=工'”2,3=JLX2X3,6=LX3X4,10=工、4、5,15=工*5*6,…，可知规律为

22222

-n-(-n--+-l-)-,

2

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n(n+l)

2_n(n+l).

2n+l2+2*1

故答案为n（n+l）；

2+2什1

17.先化简，再求值:(2。+1)(2。-1)-其中。=-1.

【解析】解:(2〃+1)(2〃-1)~4a(a-1)

=4/-1-4a2+4a

=4。-1,

当a=-1时，原式=-4-1=-5.

18.已知多项式4=2/-盯+町-8,B=-nx2+xy+y+l,4-25中不含有/项和〉项，求几"十加几的值.

【解析】解：A=2x2-xy+my-8,B=-nx2+xy+y+7,

/.A-2B=2x2-xy+my-8+2HX2-2xy-2y-14=（2+2n）x2-3xy+（m-2）y-22,

由结果不含有N项和丁项，得到2+2〃=0,m-2=0,

解得：m=2,n=-1,

则原式=1-2=-1.

19.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中，杨辉三角”就是一例.如图，这个三角形的构造法则:

两腰上的数都是1,其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）〃（几为正整数）的展开式

（按〃的次数由大到小的顺序排列）的系数规律.例如，在三角形中第三行的三个数1,2,1,恰好对

应6+6）2=*+2仍+庐展开式中的系数；第四行的四个数1,3,3,1,恰好对应着0+6）3=〃3+3〃26+3加+63

展开式中的系数等等.

1

(a^b)1

2

(a^b尸

(1)根据上面的规律，写出(a+b)5的展开式.

(2)利用上面的规律计算：25-5x24+10x23-10x22+5x2-1.

【解析】解：⑴如图，

则(a+()5=a5+5iz46+10«362+10a2Z?3+5afe4+65；

(2)25-5X24+10X23-10X22+5X2-1.

=25+5X24X(-1)+10X23X(-1)2+10X22X(-1)3+5x2x(-1)4+(-1)5.

(2-1)5,

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=1.

20.我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数字等式，例如图1,可

以得到（a+26）（a+6）=a2+3ab+2b2.请解答下列问题：

（1）写出图2中所表示的数学等式（a+b+c）2=a2+62+c2+2a6+2bc+2c0;

（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+6+c=9,°6+bc+ac=26,求/+62+。2的值；

（3）小明同学用2张边长为。的正方形、3张边长为6的正方形、5张边长为0、6的长方形纸片拼出了

一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？

（4）小明同学又用x张边长为a的正方形，»张边长为6的正方形，z张边长分别为a、6的长方形纸片

拼出了一个面积为（25a+76）（2a+56）长方形，求9x+10y+6.

b

b

图1abc

图2

【解析】解：(1)正方形的面积可表示为=(a+6+c)2；

正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca,

所以(a+6+c)2=a~+b2+c2+2ab+2bc+2ca.

故答案为：(a+6+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.

(2)由(1)可知：a2+b2+c2=(a+6+c)2-2Qab+bc+ca)=92-26x2=81-52=29.

(3)长方形的面积=2*+546+3乂=(2a+36)(a+6).

所以长方形的边长为2a+36和a+b,

所以较长的一边长为2a+36.

(4):长方形的面积=xa2+yb2+zab=(25a+7b)(2a+5b)=50a2+\4ab+n5ab+35b2=

50a2+139ab+35萨,

高考复习材料

.•・x=50,y=35,z=139.

・・・9x+1Qy+6=450+350+6=806.

abb

alII-

bI—I--------------

___________c

bba_______________c

图1abc

图2

21.阅读理解:

若x满足(9-x)(x-4)=4,求(4-x)2+(x-9)2的值.

解：设9-x=a,x-4=6,

贝!!(9-x)(x-4)=ab=4,a+b=(9-x)+(x-4)=5,

(9-x)2+(x-4)2=02+62=(。+6)2_2a6=52-2x4=17.

迁移应用：

(1)若x满足(2024-x)2+(x-2024)2=10,求(2024-x)(x-2024)的值；

(2)如图，点£,G分别是正方形/BCD的边ND、N8上的点，满足DE=k,8G=^+1(人为常数，且

左＞0),长方形NEFG的面积是2L,分别以GR/G作正方形GEMr和正方形NG尔，求阴影部分的面

积.

【答案】(1)-3；(2)1.

2

【解析】解：(1)设a=2024-x,b=x-2024,则:

a+b—-2,a2+b2—10.

(a+b)2=。2+2。6+人2,

：.10+2ab=(-2)2

:・ab=-3.

・・・(2024-x)(x-2024)=-3.

(2)设正方形/BCD的边长为x,贝！-左，AG=x-k-1,

：.AE-AG=\,

高考复习材料

:长方形/斯G的面积是21,

16

:.AE-AG=2L.

16

(AE-/G)2=AE2-2AE-AG+AG2,

：.AE2+AG2=1+21=

88

CAE+AG)2=AE2+2AE-AG+AG2,

：.(AE+4G)2=_29__^1_；

88

.,.AE+AG=—.

2

•'•S阴影部分=S正方彩GFIH-S-正方形/G次

=AE2-AG2

=(AE+AG)(AE-AG)

=5x1

2

=_5

~2

22.如图①所示是一个长为2加，宽为2〃的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后

按图②的方式拼成一个正方形.

(1)图②中阴影部分的正方形的边长等于m-n;

(2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积：

方法一：(加-“)2;

方法二：("?+")2-;

(3)根据(2)写出(«7-«)2,(加+〃)2,加〃这三个代数式之间的等量关系及推理过程.

①②

【答案】(1)m-n；

(2)(m-n)2,(m+n)2-4mn；

(3)(m-n)2=(»?+”)--4mn,推理过程见解答.

【解析】解：(1)图②中的阴影部分的小正方形的边长="-",

故答案为：以-

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（2）方法①（加-〃）2；

方法②（加+〃）2-Amn；

故答案为：（加-〃）2,（加+〃）2-4加几；

（3）这三个代数式之间的等量关系是：（加-〃）2=（加+及）2-4m〃,

2

由（2）得图②中阴影部分的面积为：（冽-〃）2或（加+〃）-4mnf

所以：（加-〃）2=（加+〃）2-4mn,

因此这三个代数式之间的等量关系是：（加-〃）2=（加+几）2-Amn.

△

W点题班］

1.（2024•西藏）下列计算正确的是（）

A.2a2b-3a2b=-a2bB.a3,a4=ai2

C.（-2a2b）3=-6a6*D.（a+b）1=a2+b1

【答案】A

【解析】解：/、2a2方-3/6=-02从故此选项符合题意；

B、.3.1=/,故此选项不符合题意；

C、（-2a2人）3=_8a6.,故此选项不符合题意；

D、（a+b）2=a~+2ab+b2,故此选项不符合题意；

故选：A.

2.