2024甘肃中考数学二轮训练：阅读理解题 (含答案)

2024甘肃中考数学二轮专题训练题型二阅读理解题

类型一与数学方法有关的问题

1.阅读下面的例题及点拨，并解决问题：

例题：如图①，在等边△N8C中，M是8c边上一点（不含端点8,C）,N是△48C的外角

N/Cff的平分线上一点，且求证：NAMN=60。.

点拨：如图②，作/C8E=60。，BE与NC的延长线相交于点£,得等边ABEC,连接E/0.

易证：AABMm4EBM（SAS）,可得Z1=Z2；又AM=MN,则EM=ACV,可

得/3=/4；由/3+/1=/4+/5=60。，进一步可得Nl=/2=/5,又因为/2+/6

=120。，所以N5+N6=120。，即：/AMN=60°.

第1题图

问题：如图③，在正方形//1GA中，Mi是囱G边上一点（不含端点3,Ci）,M是正方形

小3cLe>i的外角的平分线上一点，且求证：N4MiM=90。.

A,/）,

a%ctut

第i题图③

2.阅读与思考

只用一把尺子怎么作一个角的平分线？

小明在网上找到以下几种方法：

方法一：如图①，将矩形/BCD的顶点N、B、。分别落在的边。河、ON上，且使

04=0C,连接/C,AD交于点E,作射线则射线。£即为NMCW的平分线.

方法二；如图②，在NVON两边。M、ON上分别取点4、C、B、D,且使。4=。8,OC

=OD,再连接40、3c交于点E,作射线OE,则射线。£即为/M9N的平分线.

第2题图

任务:

(1)方法一中运用了两个我们所学过的几何定理，分别是

⑵根据方法二的作法，证明。£为/VON的平分线；

(3)只用一把直尺，你还有什么方法画出NMON的平分线.

3.阅读材料，并完成相应的任务：

数学课上，老师给出了如下一则材料：

对于两个不相等的非零实数。、b,若(L。)(x—b)则x]=*xi=b.又

X

2

..(1-Q)Qx—b)x—(o+b)x-\~ab.ab..辛工钻士工口,ab,

・---------------=-----------------=x-\----(za+b),・・关于x的方程x-\---=a-vb7有

两个解，分别为Xi=q,X2=b.

老师要求同学们仿照材料中的解题方法，解方程：x+§=6.

小明在阅读了材料后，思考：“8=2x4,6=2+4”，…

任务:

(1)请按照小明同学的解题思路，写出剩余的解题过程；

(2)若关于X的方程X+匕?=W2±细口的两个解分别为XI、X2(X1<X2),且XI与X2互为倒

mnx2mn

数，则Xl=，%2=•

4.【阅读理解】如图①，k//h,△ZBC的面积与△Q5C的面积相等吗？为什么？

解：相等，在△45C和△Q5C中，分别作4E_L/2,DFLh,垂足分别为E,F.

：.ZAEF=NDFC=90。,

：.AE//DF,

・・・四边形AEFD是平行四边形，

：.AE=DF,

又S^ABC=~BC-AE,SADBC=、BCDF,

22

•'•S^ABC-S^DBC.

【类比探究】如图②，在正方形N3CD的右侧作等腰CE=DE,AD=4,连接

求△/£)£的面积.

解：过点E作斯，CD于点凡连接4足

请将余下的求解步骤补充完整.

图②

第4题图

【拓展应用】如图③，在正方形/BCD的右侧作正方形CEFG,点3,C,E在同一直线上,

AD=4,连接3。，BF,DF,直接写出△3。尸的面积.

第4题图③

5.等面积法是T种常用的、重要的数学解题方法.它是利用“同一个图形的面积相等”、“分

割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相

等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思

路清晰，解题过程简便快捷.

(1)在直角三角形中，两直角边长分别为3和4,则该直角三角形斜边上的高的长为,

其内切圆的半径长为;

(2)①如图①，P是边长为a的正△/BC内任意一点，点O为AABC的中心，设点P至必/BC

各边距禺分别为力1，〃2，113,连接NP,BP,CP,由等面积法，易知+入3)=S»BC

=3SAOAB,可得加+〃2+〃3=；(结果用含。的式子表示)

第5题图

②如图②，P是边长为a的正五边形ABCDE内任意一点，设点P到五边形ABCDE各边距

离分别为力2,力3,力4，辰,参照①的探索过程，试用含。的式子表示⑶+必+必+加+自

的值.(参考数据：tan36%^ptan54%%)

6.请阅读下列材料，并完成相应的任务：

如图①，在等边三角形48c内有一点尸，且a=2,PB=^3,PC=\,求N3PC的大小和

等边三角形的边长.

第6题图

李明同学的思路是:将△APC绕点B逆时针旋转60°,画出旋转后的图形(如图②)，连接PP',

可得△PPB是等边三角形，而又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证)，所以

/4PB=150。,而/3PC=N/P3=150。，进而求出等边△/2C的边长为由，问题得到解

决.

任务：

请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图③，在正方形内有一点尸，且

以=3，BP=也,PC=1.

(1)求/8PC的大小；

(2)求正方形ABCD的边长.

:〃

第6题图③

类型二与新定义有关的问题

1.阅读下面材料，并完成相应的任务：

如果四边形一条对角线所在直线上的点到这条对角线的两端点的距离不相等，但到四边形另

外两个顶点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点.如图①，点尸为四边形/BCD

对角线/C所在直线上的一点，PA丰PC,PD=PB,则称点尸为四边形/BCD的准等距点.

h

图1H

第1题图

如图②，在四边形/BCD中，尸是/C上的点，PA牛PC,延长8P交CD于点E,延长。尸交

BC于点/，且/CDF=/CBE,C£=CF.求证：点尸是四边形的准等距点.

证明：如图②，连接AD,

ZCDF^ZCBE,

在ADCF和中，•ZDCF=NBCE,

CF=CE,

：.△DC尸咨△3C£(AAS),

任务：

(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

(2)如图③，点尸是四边形/BCD的准等距点，DP±AC,BCLPB,连接交/C于点E,

若AD=6,ZBPD=120°,求2C的长.

第1题图③

2.【问题情境】

数学课堂上，李老师提出这样一个问题：如图①，在△N3C中，£是NC的中点，P是BE

的中点，则称4P是△/BC的“双中线若NB/C=90。，AB=3,BC=5,求/P的长.

小明的求解思路如下：

解：在RtZkABC中，ZBAC=90°,AB=3,BC=5,.'.AC^BC^-AB2=4,

是/C的中点，：.AE=2,

在RtZk/BE中，ZBAE=90°,AB=3,4E=2,：.BE^AB2+AE2=V13,

,/P是的斜边AE■的中点，；.AP=E.

2

【理解运用】

⑴如图②,在正方形ABCD中，E是边CD的中点，P是3E的中点，则称NP是正方形ABCD

的“双中线”.若/8=4,求4P的长；

【拓展迁移】

(2)如图③，/尸是矩形48CD的“双中线”.若/8=4,BC=6,求4P的长.

I)

HCHC8

图I

第2题图

类型三与数学文化有关的问题

1.阅读以下材料，完成相应的任务:

*—

H〃C

第1题图①

燕尾定理由英国数学家亚马力斯•凯诺于1785年发现，如图①，在△48C中，AD,BE,CF

相交于同一点0,那么S^ABO:S»co=BD:DC上述定理给出了一个新的转化面积比与线段

比的方法，因为△/B。和△NC。的形状很像燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理.该

定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形

之中，为三角形中的三角形面积与对应底边之间提供互相联系的途径.

下面是燕尾定理的证明过程：

证明：,/AABD与△/CD同高，

S^ABD:S^ACD—BDDC.

任务：

(1)将上述证明过程补充完整；

(2)如图②，△45C的面积是10err?,AF=FC,BD=2DC,S^AEF+SABDE.

AA

H〃i：

第1题图②

2.请阅读以下材料并完成相应的任务.

17世纪德国著名天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另

一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”

黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较长部分与整体长度之比等于较

短部分与较长部分的长度之比（如图①），即哈=舞，其比值为

QWR

图①

DL\

--------

图②

图③

第2题图

已知顶角为36。的等腰三角形是黄金三角形的一种；当底角被平分时，形成两个较小的等腰

三角形，这两个三角形之一相似于原三角形，而另一个三角形可用于产生螺旋形曲线（如图

②）.

任务：

⑴如图③，在圆内接正十边形中，N3是正十边形的一条边，“是的平分线与半径

。区的交点.若。/=2,求正十边形边长N3的长；

（2）在（1）的条件下，利用图③进一步探究，请你写出sinl8。与黄金比之间的关系，并说明理

由.

3.(1)阅读理解

我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉

代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”.

根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；

(2)问题解决

勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形NCDE的中心。，

作尸将它分成4份，所分成的四部分和以3C为边的正方形恰好能拼成以为边

的正方形.若NC=12,BC=5,求斯的值；

(3)拓展探究

如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作

正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形.设大正方形N的边长为定值〃，小

正方形B,C,。的边长分别为a,b,c,d.

已知/l=/2=/3=a,当角(/(。。〈心^^变化时，探究6与c的关系式，并写出该关系式

及解答过程(6与c的关系式用含n的式子表示).

第3题图

4.阅读下列材料，并完成相应的任务：

我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角

形的三条边长，可以用该方法求三角形面积.若改用现代数学语言表示，其形式为：设a,b,

。为三角形三边，S为面积，则S—(居+；2—c2)2]①，这是中国古代数学的瑰

宝之一.

而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设p=

a+6+c(周长的一半),则S=']p(p—a)(p—b)(p—c)②.

任务:

(1)尝试验证：这两个公式在表面上形式很不一致，请你用5、7、8为三边构成的三角形，

分别验证它们的面积值；

(2)问题探究：经过验证：你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程(以

从①=②或者②=①)；

(3)问题引申：三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同

形式的计算公式.如图，的内切圆半径为r,三角形三边长为a,b,c,仍记p=a+b+c,

S为三角形面积，请你证明：S=pr.

第4题图

参考答案

类型一与数学方法有关的问题

1.证明：如解图，延长MG交/山1的延长线于点©,连接昂Mi.

•・・。田1平分/。1。1〃1,Z£i5iCi=90°,

工/NiC、Hi=NBiCiEi=/BiEiCi=45。,

C.B\E\=B\C\=A\B\,

在△4SA6和△EiSMi中，

A\B\=E\B\J

.•.△451A6之△EISMI,（5分）

Z1=Z2,A\M\=E\M\.

又・；AiM\=MiNi,:・EiMi=NiMi,AZ3=Z4.

•・•在正方形451GA中,AiBi=BiCi,

又

.•.Zl+Z3=45°,

又・・・N4+N5=/NICTHI=45°,

・・・N1=N5=N2.

VZ2+Z6=90°,AZ5+Z6=90o,

・•・N4MlM=90。.（10分）

b

2.(1)解：矩形的对角线互相平分；等腰三角形“三线合一”(或等腰三角形底边上的中线、底

边上的高、顶角平分线互相重合)；

(2)证明：由题意可知。4=。5,OD=OC,

•：/COB=/DOA,

：.4OADWAOBC,

：.ZODA=ZOCB,

'：OA=OB,OC=OD,

；.AC=BD.

,：/4EC=NBED,

：.LAEC冬dBED.

：.CE=DE.

又,：NOCB=/ODA,

:.LOCE沿AODE.

:.NCOE=/DOE.

即射线OE为/MON的平分线；

(3)解：如解图，在边(W、ON上分别取点/、B,且使。N=O3,连接量取N3的中

点E,作射线OE,则。E为/M9N的平分线.

nH

第2题解图

3.解：(1)乘IJ余的解题过程如下：

•.•1+'=6,.>.x+~—6=0,

xx

口...8「।2x4s［八X2—(2+4)x+2x4(%—2)(%—4)

又.xH-----6=xH--------(2+4)=———=------------,

XXXX

.(%—2)(%—4)八

..---------------二0,

x

・•=2,%2=4；

吗2.

■々刀、*1日一▼.,m~n〜m~nm+4mn—n8,m-n.»工口,m-n

【解法提示】・----=2x-------,----------------=2d---------,••万程xd--------=----------------的一

mn2mn2mn2mnmnx2mn

个解为x=2.又:修与X2互为倒数，且Xl<x2，.'xinl，X2=2.

2

4.解：【类比探究】余下的求解步骤如下：

•••△CDE是等腰三角形，EFLCD,4。=4,

：.DF=-CD=2,AD//EF,

2

.".SADE=SADF=-AD-DF=-MX2=4-,

AA22

【拓展应用】△3D厂的面积为&

【解法提示】如解图，连接CE

•：BC=CD=4D=4,CG=FG,NBCD=/CGF=9。。,

：.NBDC=NFCD=45。,

：.BD//CF,

：.SBDF=SBCD=-BC-CD=-X4M=S,

AA22

4〃

〃(♦

第4题解图

5.解:(l)y,1;

⑵①ma；

②结论：/?1+/Z2+//3+//4H-h5~^a.

16

类比①中方法可知$(/21+力2+加+%4+〃5)=8五道形ABCDE，

如解图，设点。为正五边形45CDE的中心，连接CM,OB,

••S五边形ABCDE-5s△0/5.

过点。作0Q_L/B于点。，在正五边形48CQE中，ZE^=1X180°X(5-2)=108°,

oo

NO/0=54°，OQ=AQtan54=^atan54f

故+历+加+〃4+〃5)=5x}x；Qxtan54。，

/zi+〃2+〃3+〃4+〃5=-Qtan54%-^a

216

6.解：（1）如解图，将尸。绕点5逆时针旋转90。，得4BPA,则尸C0Z\5PZ,连接

PPL

：.APf=PC=l,BPr=BP=\[2,ZBPfA=ZBPC.

在RtZXBP尸中，・：BP=BP=0NPBP'=90。,

:・PP'=2,/BP'P=45°.

在产中，AP'=1,PP'=2,4P=45,

Vl2+22=(^5)2,即/P'2+pm=N尸2,

尸是直角三角形，ZAP'P=90°,

：.ZBP'A=90°+45°=135°,

/BPC=NBP'A=135°；

第6题解图

⑵如解图，过点2作交NP的延长线于点E,

/APR=135。，

AZEP'B=45°,△PZ8是等腰直角三角形，5P=/,

：.EP'=BE=1,

：.AE=2.

在Rt448£中，由勾股定理，得

正方形/BCD的边长为弱.

类型二与新定义有关的问题

1.解：(1)该证明的剩余部分如下：

：.CD=CB,

：./CDB=/CBD.

'：ZPDB=ZCDB-ZCDF,

ZPBD=ZCBD~ZCBE,

由题意得NCDF=NCAE,

NPDB=NPBD,

：.PD=PB.

又,：PA^PC,

/.点尸是四边形ABCD的准等距点；

(2)如解图，过点P作PF±BD于点F,

:点尸是四边形ABCD的准等距点，

：.DP=BP,

...△8尸。是等腰三角形，

：.BF=DF=LBD=3,NPFD=90°.

2

ZBPD=nO0,

：.ZPDF=ZPBF=30°,

:・PB=PD=-^^=2\li.

cos30°

U：DP±AC,

・•・/DPE=90。,

：.ZCPB=ZBPD~ZDPE=120°-90°=30°.

U：BCLPB,

：.ZPBC=9Q°,

J3

；.BC=PBtan/CPB="PB=2.

3

/，

I\r

i\

1\f

4H

第1题解图

2.解：(1)如解图①，连接DP并延长，交48的延长线于点尸,

4D

//K•//——C/

i

第2题解图①

:四边形/BCD是正方形，

：.AB=CD=4,AB//CD,ZFAD=90°,

：.ZF=ZPDE,

在APBF和APED中，

ZF=ZPDE

-NBPF=/EPD，

BP=EP

：.MBF%△尸£D(AAS),

：.BF=DE=-CD=2,DP=FP,

2

：.AF=AB+BF=6,

在RtZ\4D尸中，ZFAD=90°,AF=6,4D=4,

；.DF=\/4严+4D2=2\fi3,

P是RtA^nF的斜边。尸的中点，

:."=屈;

(2)如解图②，连接。尸并延长，交的延长线于点

二•四边形/8C〃是矩形，

：.AB=CD=4,AD=BC=6,AB//CD,/H4D=90。,

：.ZH=ZPDE,

在APBH和△「£：1)中，

Z.H=/PDE

-ZBPH=ZEPD，

BP=EP

：.4PBH沿AP£DCAAS),

：.BH=DE=-CD=2,DP=HP,

2

：.AH=AB+BH=6,

在RtZX/DX中，ZHAD=9Q°,AH=6,AD=6,

：.DH=/呼+N£>2=6g,

,:P是Rt&DH的斜边。〃的中点，

；.AP=3也.

4Q

第2题解图②

类型三与数学文化有关的问题

1.解：(1)补充证明过程如下：

•**(S/^ABD—S^OBD)：(S“CD—S^OCD)=BD:DC,

**•S^ABO:S“co=BD:DC；

(2)如解图，连接CE,由燕尾定理得：

S^ABEBDSAABEAF]

S^ACECDS丛BCECF

设S^DCE=a,则S^BDE=2a,

:・S^BCE=3(I.

:•S“BE=3CI,

,•S/^ACE——。，

•9•S^ABC=S^ABE~^~S^ACE~\~S^BCE=^~Cl.

又S^ABC=10cm2,即1=10,

2

.42

..a=~cm2.

3

..13

又,**S4EF=SACEF=-SAACE=—Q，

24

S^AEF~\~S^BDE=~a~\-2a—cm2.

443

第1题解图

2.解：⑴•・•正十边形的中心角为36。，

・•・NAOB=36。,

•：OA=OB,

：./ABO=NBAO=72。,

・.・5四平分N/50,

ZABM=ZOBM=36°fZBMA=72°9

：.NBMA=NBAM,

：.OM=BM=AB,

.ABAM^ABAO-AB

..——=，即——=-----------，

AOABAOAB

:.AB2=AO2-AOAB.

・・・（四）2+型=I,

AOAO

解得笠='3（负值已舍去），

AO2

•：OA=2,

：.AB=\[5~1；

（2）sinl8。是黄金比的一半.

理由如下：如解图，延长月。交。。于点P,连接尸8,

VZAOB=36°f：.ZO