人教版中学七年级数学下册期末解答题综合复习题含答案

人教版中学七年级数学下册期末解答题综合复习题含答案

一、解答题

1.如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸

板的面积为162平方厘米，求正方形纸板的边长.

2.已知在4x4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1.

（1）计算图①中正方形ABCD的面积与边长.

（2）利用图②中的正方形网格，作出面积为8的正方形，并在此基础上建立适当的数

轴，在数轴上表示实数虚和-曲.

3.工人师傅准备从一块面积为36平方分米的正方形工料上裁剪出一块面积为24平方分

米的长方形的工件.

（1）求正方形工料的边长；

（2）若要求裁下的长方形的长宽的比为4:3,问这块正方形工料是否满足需要？（参考数

据：V2«1.414,>/3®1.732）

4.如图，阴影部分（正方形）的四个顶点在5x5的网格格点上.

（1）请求出图中阴影部分（正方形）的面积和边长

（2）若边长的整数部分为“，小数部分为6,求/+/,一曲的值.

5.求下图4x4的方格中阴影部分正方形面积与边长.

二、解答题

6.如图①，将一张长方形纸片沿反对折，使落在4夕的位置;

(1)若N1的度数为。，试求N2的度数(用含“的代数式表示)；

(2)如图②，再将纸片沿G”对折，使得8落在。。的位置.

①若EF/CG,/I的度数为。，试求/3的度数(用含。的代数式表示)；

②若BZLC'G,/3的度数比/I的度数大20。，试计算4的度数.

7.如图1,点E在直线A3、0c之间，5.ZDEB+ZABE-ZCDE=180°.

(1)求证：AB//DC；

(2)若点尸是直线54上的一点，且ZBEF=ZBFE,EG平分/DEB交直线于点G,

若ND=20。，求NFEG的度数；

(3)如图3,点N是直线A3、DC外一点，且满足NCDM=L/CZ)E,

4

ZABN=^ZABE,ND与BE交于点、M.已知/CDAf=矶0°＜勿＜12。)，旦BNHDE,则

NNMB的度数为(请直接写出答案，用含a的式子表示).

8.阅读下面材料:

小亮同学遇到这样一个问题：

已知：如图甲，AB//CD,E为AB,CD之间一点，连接BE,DE,得到NBE。.

求证：ZBED=NB+ZD.

(1)小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整.

证明：过点E作EF//48,

则有NBEF=__.

AB//CD,

：.—〃—,

：.ZFED=_.

/.ZBED=ZBEF+NFED=ZB+ZD.

(2)请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，

已知：直线a//b,点4B在直线a上，点C,D在直线b上，连接AD,BC,BE平分

NABC,DE平分NADC,且BE,DE所在的直线交于点E.

①如图1,当点B在点A的左侧时，若N4BC=60。，NAOC=70。，求NBE。的度数；

②如图2,当点B在点A的右侧时，设N4BC=a,^ADC=6,请你求出NBE。的度数

（用含有a,6的式子表示）.

9.汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看

河水及两岸河堤的情况.如图1,灯A射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯

B射出的光束自顺时针旋转至8。便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A射出的

光束转动的速度是优/秒，灯8射出的光束转动的速度是6。/秒，且“、6满足

,一36|+（。+6-4）2=0.假定这一带水域两岸河堤是平行的，即PQ〃肱V,且

ZBAN=45°.

（2）如图2,两灯同时转动，在灯A射出的光束到达AN之前，若两灯射出的光束交于点

C,过C作CDLAC交尸Q于点£>,若/BCD=20。,求4AC的度数；

（3）若灯B射线先转动30秒，灯A射出的光束才开始转动，在灯B射出的光束到达

之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？

10.已知，如图：射线PE分别与直线A3、CD相交于E、尸两点，NPED的角平分线与

直线A3相交于点射线PM交C。于点N,设=4EMF=。°豆

（a-35）2+|^-a|=0.

（1）«=,P=；直线AB与CO的位置关系是；

（2）如图，若点G是射线上任意一点，旦NMGH=NPNF,试找出/FMV与NGHF

之间存在一个什么确定的数量关系？并证明你的结论.

（3）若将图中的射线PM绕着端点尸逆时针方向旋转（如图）分别与A3、8相交于点

和点M时，作/™内的角平分线加卫与射线百欣相交于点。，问在旋转的过程中

NFPN、

的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由.

NQ

三、解答题

11.［感知］如图①，AB//CD,ZAEP=4CP,ZPFD=130°,求NEPF的度数.

______________________________h

需用阳

小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程.

解：（1）如图①，过点P作

/.Z1=ZAEP=4O0（）,

：.AB//CD,

PM//（平行于同一条直线的两直线平行），

（两直线平行，同旁内角互补），

ZPFD=130°,

N2=180°—130°=50°,

Zl+Z2=40°+50o=90°,BPZEPF=90°.

［探究］如图②，AB//CD,ZAEP=50°,ZPFC=120°,求ZEP尸的度数；

［应用］（1）如图③，在［探究］的条件下，NPE4的平分线和/PFC的平分线交于点G,则

NG的度数是?

（2）已知直线a//6,点A,B在直线a上，点C,。在直线b上（点C在点。的左侧），

连接AD,BC,若BE平分ZABC,DE平分NADC,且BE,OE所在的直线交于点E.设

"BC=a,ZADC=p〈a叫,请直接写出即的度数（用含名〃的式子表示）.

12.为更好地理清平行线相关角的关系，小明爸爸为他准备了四根细直木条A3、BC.

CD、DE,做成折线ABCDE,如图1,且在折点B、C、。处均可自由转出.

(1)如图2,小明将折线调节成ZB=50。，ZC=85°,ZD=35°,判断AB是否平行于

ED,并说明理由；

(2)如图3,若NC=ND=35。，调整线段AB、BC使得AB//CD求出此时的度数,

要求画出图形，并写出计算过程.

(3)若NC=85。，ND=35。,ABUDE,请直接写出此时BE的度数.

13.已知,ABC,DE//AB交AC于点E,DF//AC交AB于点F.

(1)如图1,若点D在边BC上，

①补全图形；

②求证：ZA=NEDF.

(2)点G是线段AC上的一点，连接FG,DG.

①若点G是线段AE的中点，请你在图2中补全图形，判断NAFG,ZEDG,ZDGF之间

的数量关系，并证明；

②若点G是线段EC上的一点，请你直接写出NAFG,NEDG,NDG尸之间的数量关系.

14.如图，两个形状，大小完全相同的含有30。、60。的三角板如图放置，PA,PB与直线

MN重合，且三角板R4C,三角板P8。均可以绕点P逆时针旋转.

(1)①如图1,ZDPC=度.

②我们规定，如果两个三角形只要有一组边平行，我们就称这两个三角形为"挛生三角

形"，如图1,三角板BPD不动，三角板从图示位置开始每秒10。逆时针旋转一周

(0°(旋转＜360。)，问旋转时间t为多少时，这两个三角形是"挛生三角形

(2)如图3,若三角板R4C的边R4从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速37秒，同时三

角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速27秒，在两个三角板旋转过程

中，(PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动).设两个三角板旋转时间为t秒，以

下两个结论：①玲/C丽PD为定值；②NBPN+NCP。为定值，请选择你认为对的结论加以证

明.

图1图2图3

15.如图1,D是△ABC延长线上的一点，CE//AB.

(1)求证：NACD=NA+NB；

(2)如图2,过点A作BC的平行线交CE于点H,CF平分NECD,FA平分NHAD,若

ZBAD=70°,求NF的度数.

(3)如图3,AH//BD,G为CD上一点，Q为AC上一点，GR平分NQGD交AH于R,QN

四、解答题

16.如图，直线AB//CD,E、尸是A3、8上的两点，直线,与A3、8分别交于点

ZPFD=.

(2)若点尸与点E、F不在一直线上，试探索Z4EP、NEPF、NCFP之间的关系，并证

明你的结论.

17.在△ABC中，N8AC=90。，点。是BC上一点，将△A3。沿A。翻折后得到AAED,边

4E交BC于点F.

⑴如图①，当AELBC时，写出图中所有与NB相等的角：；所有与NC相等的

角：.

⑵若NC-Z8=50°,ZB/1D=x°(0<x<45).

①求NB的度数；

②是否存在这样的X的值，使得△DE尸中有两个角相等.若存在，并求X的值；若不存

在，请说明理由.

18.模型与应用.

(模型)

(1)如图①，已知ABIIC。，求证N1+N/WEN+N2=360。.

①

(应用)

(2)如图②，已知ABIICD,则N1+Z2+Z3+Z4+N5+N6的度数为.

AMB

CND

②

如图③，已知ABIICD,贝IjN1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+....+zn的度数为

AB

■

■

■

1/

CD

③

(3)如图④，已知ABIIC。，N4WJW2的角平分线Mi。与NC7VWW"-：!的角平分线MQ交

于点。，若NMiOMnm.

在（2）的基础上，求N2+N3+N4+N5+N6+......+Nn—1的度数.（用含m、n的代数式

表示）

19.如图1,CE平分/ACD,AE平分/BAC,ZEAC+ZACE=90

⑴请判断A3与CD的位置关系并说明理由；

（2）如图2,当/E=9（T且AB与C。的位置关系保持不变，移动直角顶点E,使

NMCE=NECD,当直角顶点E点移动时，问NS4E与NMCD否存在确定的数量关系？并

说明理由.

（3）如图3,P为线段AC上一定点，点。为直线C。上一动点且AB与CD的位置关系保持

不变，①当点。在射线C。上运动时（点C除外），NCPQ+NCQP与/BAC有何数量关

系？猜想结论并说明理由.②当点。在射线C£）的反向延长线上运动时（点C除外），

NCPQ+NCQP与/BAC有何数量关系？直接写出猜想结论，不需说明理由.

20.如图，在一ABC中，NA3C与ZACB的角平分线交于。点.

（1）若NA=40°,贝jOC=___°；

（2）若ZA=〃。，贝Ij/3OC=°；

（3）若NA=〃。，NA3c与ZACB的角平分线交于。点，/ABO的平分线与NACO的平分

线交于点。1,,…，/。刈6加0的平分线与的平分线交于点则/。2。17=

A

【参考答案】

一、解答题

1.正方形纸板的边长是18厘米

【分析】

根据正方形的面积公式进行解答.

【详解】

解：设小长方形的宽为x厘米，则小长方形的长为厘米，即得正方形纸板的边长是厘米,

根据题意得：

取正值，可得，

解析：正方形纸板的边长是18厘米

【分析】

根据正方形的面积公式进行解答.

【详解】

解：设小长方形的宽为x厘米，则小长方形的长为2x厘米，即得正方形纸板的边长是2x

厘米，根据题意得：

2x-x=162,

x2=81.

取正值x=9,可得2x=18,

.•.答：正方形纸板的边长是18厘米.

【点评】

本题考查了算术平方根的实际应用，解题的关键是熟悉正方形的面积公式.

2.（1）正方形的面积为10,正方形的边长为；（2）见解析

【分析】

（1）利用正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可求出正方形的面积，然

后根据算术平方根的意义即可求出边长；

（2）根据（1）的方法画

解析：（1）正方形ABCD的面积为10,正方形ABCD的边长为历；（2）见解析

【分析】

（1）利用正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可求出正方形ABCD的面积，然后根

据算术平方根的意义即可求出边长；

（2）根据（1）的方法画出图形，然后建立数轴，根据算术平方根的意义即可表示出结

论.

【详解】

解：（1）正方形ABCD的面积为4x4—4xgx3xl=10

则正方形ABC。的边长为;

（2）如下图所示，正方形的面积为4x4—4x：x2x2=8,所以该正方形即为所求，如图建立

数轴，以数轴的原点为圆心，正方形的边长为半径作弧，分别交数轴于两点

,正方形的边长为强

，弧与数轴的左边交点为-曲，右边交点为网，实数强和-通在数轴上如图所示.

【点睛】

此题考查的是求网格中图形的面积和实数与数轴，掌握算术平方根的意义和利用数轴表示

无理数是解题关键.

3.（1）6分米；（2）满足.

【分析】

（1）由正方形面积可知，求出的值即可；

（2）设长方形的长宽分别为4a分米、3a分米，根据面积得出方程，求出，求

出长方形的长和宽和6比较即可.

【详解】

解：（

解析：（1）6分米；（2）满足.

【分析】

（1）由正方形面积可知，求出A的值即可；

（2）设长方形的长宽分别为4a分米、3。分米，根据面积得出方程，求出求出长方形

的长和宽和6比较即可.

【详解】

解：（1）正方形工料的边长为府=6分米；

（2）设长方形的长为4a分米，则宽为3a分米.

则4a-3。=24,

解得：a=6，

,长为4。。5.656<6,宽为3”4.242<6.

•••满足要求.

【点睛】

本题主要考查了算术平方根及实数大小比较，用了转化思想，即把实际问题转化成数学问

题.

4.（1）S=13,边长为；（2）6

【详解】

分析：（1）、利用正方形的面积减去四个直角三角形的面积得出阴影部分的面

积，从而得出正方形的边长；（2）、根据无理数的估算得出a和b的值，然后得

出答案.

解析：（1）S=13,边长为加；（2）6

【详解】

分析：（1）、利用正方形的面积减去四个直角三角形的面积得出阴影部分的面积，从而得出

正方形的边长；（2）、根据无理数的估算得出a和b的值，然后得出答案.

详解：解：（1）S=25-12=13,边长为/I3，

（2）a=3,b=V13-3原式=9+旧-3713=6.

点睛：本题主要考查的就是无理数的估算，属于中等难度的题型.解决这个问题的关键就

是根据正方形的面积得出边长.

5.8；

【分析】

用大正方形的面积减去4个小直角三角形的面积可得到所求的正方形的面积为

8,然后利用正方形面积公式求8的算术平方根即可.

【详解】

解：正方形面积=4X4-4XX2X2=8；

正方形的边

解析：8；272

【分析】

用大正方形的面积减去4个小直角三角形的面积可得到所求的正方形的面积为8,然后利

用正方形面积公式求8的算术平方根即可.

【详解】

解：正方形面积=4X4-4X：X2X2=8；

正方形的边长=*=2&.

【点睛】

本题考查了算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x

叫做a的算术平方根.记为6.

二、解答题

6.(1)；(2)①；②

【分析】

⑴由平行线的性质得到，由折叠的性质可知，N2=NBFE,再根据平角的定义

求解即可；

⑵①由(1)知，，根据平行线的性质得到，再由折叠的性质及平角的定义

解析：(1)90°--«；(2)①45。+儿；@50°

24

【分析】

⑴由平行线的性质得到N4=N3/C=a,由折叠的性质可知，N2=NBFE,再根据平角的

定义求解即可；

11

⑵①由(1)知，NBFE=90。-/，根据平行线的性质得到NBFE=NCGB=90。-/。，

再由折叠的性质及平角的定义求解即可；

②由(1)知，NBFE=NEFB'=90°/I,由3/LC'G可知：

ZB'FC+ZFGC'=90°,再根据条件和折叠的性质得到

ZB,FC+ZFGC=Zl+1400-2Z1=9O°,即可求解.

【详解】

解：(1)如图，由题意可知4石〃3'厂，

Nl=N4=a,

,/ADIIBC,

：.ZA=/B'FC=a,

.•.N5FB'=180。—a,

二由折叠可知/2=NBFE=-ZBFB'=90°--a.

22

aFC

（2）①由题（1）可知ZB庄=90。-ga,

EFUC'G,

ZBFE=ZC'GB=90°--a,

2

再由折叠可知：

Z3+ZHGC=180°-NCGB=180°一（90°一；a]=90°+；a,

Z3=ZHGC=45°+-a；

4

C\

\/X\.

A.........«XX........D

\/\j/

«..................F-----*一........1

②由3/_LC'G可知：ZB'FC+ZFGC'=90°,

由(1)知ZBFE=90。一工21,

2

AB'FC=180°-2ZBFE=180°-2190°-；Nl]=N1,

又/3的度数比N1的度数大20。，

/3=/1+20。,

NFGC=180。-2Z3=180。-2(N1+20。)=140。-2Z1,

ZB'FC+ZFGC'=Z1+1400一2/1=90°,

.-.Zl=50o.

【点睛】

此题考查了平行线的性质，属于综合题，有一定难度，熟记"两直线平行，同位角相等"、

"两直线平行，内错角相等"及折叠的性质是解题的关键.

7.(1)见解析；(2)10°；(3)

【分析】

(1)过点E作EFIICD,根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，得出

结合已知条件，得出即可证明；

(2)过点E作HEIICD,设由(1)得ABIICD

解析：(1)见解析；(2)10°；(3)180°-15a

【分析】

(1)过点E作EFIIC。，根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，得出

NCDE=NDEF,结合已知条件ZDEB+ZABE-ZCDE=180°,得出2FEB+ZABE=180°,

即可证明；

(2)过点E作HEIICD,设NGEF=x,NFEB=NEFB=y,由(1)得ABIICD,贝lj

ABWCDIIHE,由平行线的性质，得出/OE产=/£>+/£7有=20。+%再由白7平分/£>£8,

得出NDEG=ZGEB=ZGEF+NFEB=尤+y,贝！|NDEF=ZDEG+ZGEF=2x+y,则可列

出关于x和y的方程，即可求得x,即/GEF的度数；

(3)过点N作NPIICD,过点M作Q/WIICD,由(1)得ABUCD,则

NPWCDIIABWQM,ZCDM=-ZCDEZCDM=a,得出NATOE=3a,根据

4

CDIIP/VIIQM,DE\\NB,得出"ND=ZCDM=ZDMQ=a,ZEDM=NBNM=3a,即

4NP=4a,根据得出4NB=WN=4a,再由：ZA2E’得出

NABM=16a,由ABIIQM,得出/。筵=180。一16%因为=+代入。

的式子即可求出ZBMN.

【详解】

(1)过点E作EFIICD,如图，

,/EFWCD,

：./CDE=/DEF,

/.ZDEB-ZCDE=ZDEB-ZDEF=/FEB,

NDEB+ZABE—NCDE=180。,

：.ZFEB+ZABE=180°,

：.EFWAB,

/.CDIIAB；

(2)过点E作"EllCD,如图，

设ZGEF=x,/FEB=ZEFB=y,

由(1)得;4BIICD,贝!M8IICDIIHE,

：.ZD=ZDEH=20°,NHEF=ZEFB=y,

：.ZDEF=ZDEH+ZHEF=ZD+ZEFB=20°+y,

又「EG平分/DEB,

ZDEG=ZGEB=ZGEF+ZFEB=x+y,

/.ZDEF=ZDEG+ZGEF=x+^+x=2x+y,

即2x+y=20°+y,

解得：%=10°4|JNGEF=10。；

(3)过点N作A/PIICD,过点M作QMIICD,如图,

由(1)得八BIICD,贝"A/PIICDIIABWQM,

■，-NPWCD,CDIIQM,ZCDM=a,

NPND=NCDM=NDMQ=a,

又ZCDM=-ZCDE,

4

NMDE=3NCDM=3a,

■：BNIIDE,

NMDE=NBNM=3a,

NPNB=NPND+NBNM=a+3a=4a,

又；PNWAB,

ZPNB=ZNBA=4a,

•••ZABN=-ZABE,

4

ZABM=4ZABN=4x4a=16a,

又：ABWQM,

ZAftW+NQAffi=180°,

ZQMB=180°-ZABM=180°-16a,

ZNMB=ZNMQ+ZQMB=a+180°-16(z=180-15cr.

【点睛】

本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解决问题的关键是作平行线构造相等的角，利

用两直线平行，内错角相等，同位角相等来计算和推导角之间的关系.

8.(1)NB,EF,CD,ND；(2)①65。；@180°-

【分析】

(1)根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；

(2)①如图1,过点E作EFIIAB,当点B在点A的左侧时，根据NABC=

60°,

解析：(1)ZB,EF,CD,ND；(2)①65。；②180。-+；4

【分析】

(1)根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；

(2)①如图1,过点E作EFIIAB,当点B在点A的左侧时，根据N4BC=60。，ADC=

70%参考小亮思考问题的方法即可求NBED的度数；

②如图2,过点E作EFIIAB,当点B在点A的右侧时，N4BC=a,NAOC=B，参考小亮

思考问题的方法即可求出NBED的度数.

【详解】

解：(1)过点E作EFIIAB,

则有NBEF=/B,

AB\\CD,

「•EFWCD,

/.ZFED=ND,

：.ZBED=NBEF+NFED=NB+ZD；

故答案为：ZB；EF；CD；ND；

(2)①如图1,过点E作EFIM8,有NBEF=NEBA.

图1

•/ABWCD,

/.EFWCD.

：.ZFED=NEDC.

：.ZBEF+NFED=4EBA+NEDC.

即NBED=NEBA+NEDC,

BE平分NABC,DE平分NADC,

：.ZEBA=^AABC=30°,ZEDC=g/ADC=35°,

：.ZBED=NEBA+NEDC=65°.

答：NBE。的度数为65。；

②如图2,过点E作EFWAB,有NBEF+NEBA=180°.

/.ZBEF=1800-NEBA,

•/ABWCD,

/.EFWCD.

：.ZFED=NEDC.

：.ZBEF+NFED=180°-ZEBA+ZEDC.

即NBED=180°-ZEB4+NEDC,

BEABC,DE平分NADC,

11i1

..NEBA——Z.ABC=—cc,NEDC=—NADC=—n(3,

2222

ZBED=1800-ZEBA+NEDC=180°--a+-B.

22

答：ZBED的度数为180°-+.

22

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质.

9.(1),；(2)30°；(3)15秒或82.5秒

【分析】

(1)解出式子即可；

(2)根据，用含t的式子表示出，根据(2)中给出的条件得出方程式，求出

t的值，进而求出的度数；

(3)根据灯B的

解析：(1)a=3,b=l；(2)30°；(3)15秒或82.5秒

【分析】

(1)解出式子,-3耳+(°+6-4)2=0即可；

(2)根据尸Q〃MN,用含t的式子表示出/BC4,根据(2)中给出的条件得出方程式

ZBCD=90°-ZBCA=90°-[180°-(2r)°]=(2r)°-90°=20°,求出t的值，进而求出ZBAC

的度数；

(3)根据灯B的要求，t<150,在这个时间段内4可以转3次，分情况讨论.

【详解】

解：(1)\a-3b\+(a+b-4)2=0.

又\a-3b|>0,(a+b-4-)2>0.

「.々=3,Z?—15

(2)设A灯转动时间为f秒，

如图，作CEMPQ,而PQHMN,

PQ//CE//MN,

ZACE=Z.CAN=180。一3产,NBCE=NCBD=t°,

ZBCA=NCBD+ZCAN=/°+180°-(3r)°=180°-(2r)0,

ZACD=90°,

ZBCD=90°-ZBCA=90°-[180°-(2z)°]=(2r)°-90°=20°,

:.t=55

ZCAN=180°,

ABAC=45°-[180°-（3。°]=（3r）°-135°=165°-135°=30°

（3）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行.

依题意得0<r<150

①当0</<60时，

两河岸平行，所以N2=Z3=（3t）°

两光线平行，所以/2=/1=30+产

所以，Z1=Z3

即：3r=30+f,

解得t=15；

②当60</<120时，

两光束平行，所以/2=N3=（30+r）。

两河岸平行，所以Nl+N2=180。

4=3180。

所以，3r-180+30+^180,

解得t=82.5；

③当120</<150时，图大概如①所示

3t—360=£+30,

解得方=195>150（不合题意）

综上所述，当/=15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行.

【点睛】

这道题考察的是平行线的性质和一元一次方程的应用.根据平行线的性质找到对应角列出

方程是解题的关键.

10.（1）35,35,平行；（2）ZFMN+ZGHF=180",证明见解析；（3）不

变，2

【分析】

（1）根据（a-35）2+Ra|=0,即可计算a和0的值，再根据内错角相等可证

ABHCD；

（2

解析：(1)35,35,平行；(2)ZF/WA/+ZGHF=180",证明见解析；(3)不变，2

【分析】

⑴根据(a-35)2+|6-a|=0,即可计算a和6的值，再根据内错角相等可证ABIICD；

(2)先根据内错角相等证G”llPN,再根据同旁内角互补和等量代换得出

ZFMN+NGHF=180"；

(3)作NPEMi的平分线交MiQ的延长线于R,先根据同位角相等证ERIIFQ,得

ZFQM、=NR,设NPER=NREB=X,NPM#=NRMiB=y,得出NEPMi=2NR,即可得

NFPN、.、

ze=2-

【详解】

解：(1)1.,(a-35)2+|6-a|=0,

a=6=35,

/.ZPFM=NMFN=35°,ZEMF=35°,

ZEMF=4MFN,

/.ABWCD；

（2）ZFMN+NGHF=180。；

理由：由（1）得A8IICD,

：.ZMNF=NPME,

,/ZMGH=NMNF,

/.ZPME=NMGH,

/.GHWPN,

：.ZGHM=NFMN,

/ZGHF+NGHM=180°,

/.ZFMN+NGHF=180°；

（3）/著的值不变,为2,

理由：如图3中，作NPEMi的平分线交MQ的延长线于R,

ABWCD,

：.ZPEMi=ZPFN,

NPER二;NPEMi,NPFQ=；NPFN,

/.ZPER=NPFQ,

/.ERIIFQ,

图3

/.ZFQMi=NR,

设NPER二NREB=x,ZPMi/?=ZRMiB=y,

(y=x+Z.R

则有：\2y=2x+ZEPMi'

可得NEP/Wi=2ZR,

：.ZEPMi=2NFQMi,

NEPMiNFPN、

NFQM「NQ2

【点睛】

本题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握内错角相等证平行，平行线同旁内角互补等

知识是解题的关键.

三、解答题

11.［感知］见解析;［探究］70。；［应用］(1)35；(2)或

【分析】

［感知］过点P作PMIIAB,根据平行线的性质得到N1=ZAEP,

N2+NPFD=180°,求出N2的度数，结合N1可得结果；

解析：［感知］见解析；［探究］70。；［应用］(1)35；(2)苫2或2干

【分析】

［感知］过点P作PMWAB,根据平行线的性质得到N1=ZAEP,Z2+ZPFD=1SO°,求出N2

的度数，结合N1可得结果；

［探定过点P作P/WIIAB,根据ABUCD,PMWCD,进而根据平行线的性质即可求NEPF的

度数；

［应用］(1)如图③所示，在［探究］的条件下，根据NPEA的平分线和NPFC的平分线交于

点G,可得NG的度数；

(2)画出图形，分点A在点B左侧和点A在点B右侧，两种情况，分别求解.

【详解】

解：［感知］如图①，过点P作P/WIIAB,

Z1=ZAEP=^0°(两直线平行，内错角相等)

■，-ABWCD,

..PMWCD(平行于同一条直线的两直线平行)，

，N2+NPFD=180。（两直线平行,同旁内角互补），

二ZPFD=130°（已知）,

Z2=180°-130°=50°,

Z1+Z2=40°+50°=90°,即NEPF=90°；

［探究］如图②，过点P作P/WUAB,

ZMPE=NAEP=50°,

-：ABWCD,

：.PMIICD,

ZPFC=NMPF=120°,

o

ZEPF=N/WPF-ZMPE=120-50°=70°;

［应用］（1）如图③所示，

EG是NPEA的平分线，FG是NPFC的平分线,

/.ZAEG=^AAEP=25Q,ZGFC="PFC=60°,

.ZMGE=NAEG=25°（两直线平行，内错角相等）

ABWCD（已知）,

GMWCD（平行于同一条直线的两直线平行），

,NGFC=NMGF=60。（两直线平行，内错角相等）.

/.ZG=NMGF-ZMGE=60°-25°=35°.

故答案为：35.

（2）当点4在点B左侧时，

如图,故点,E作EFIIAB,则EFUCD,

/.ZABE=NBEF,ZCDE=ZDEF,

■：BE平分ZABC,DE■平分NADC,ZABC=a,ZADC=j8,

11A

ZABE=^BEF=-a,ZCDE=NDEF=—0，

22

a+B

ZBED=NBEF+NDEF=——-

2

当点A在点B右侧时，

如图，故点E作EFIIA8,则EFII8,

/.ZDEF=NCDE,Z48G=NBEF,

・「BE平分ZABC,平分NADC,ZABC=a,ZADC=/3,

1A1

ZDEF=NCDE=—。,ZABG=^BEF=-a,

22

B-cc

ZBED=NDEF-4BEF=-——；

综上：NBED的度数为二2或勺.

22

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，角平分线的定义，解决本题的关键是

熟练运用平行线的性质.

12.（1）平行，理由见解析；（2）35。或145。，画图、过程见解析；（3）50°

或130°或60°或120°

【分析】

（1）过点C作CFIIAB,根据NB=50。，ZC=85°,ND=35。,即可得C

解析：（1）平行，理由见解析；（2）35。或145。，画图、过程见解析；（3）50。或130。或

60。或120°

【分析】

⑴过点C作CFIIAB,根据NB=50。，ZC=85°,ZD=35°,即可得CFIIED,进而可以判断

AB平行于ED-,

（2）根据题意作ABIICD,即可NB=NC=35。；

（3）分别画图，根据平行线的性质计算出NB的度数.

【详解】

解：（1）4B平行于ED,理由如下:

如图2,过点C作CFIIA8,

/.ZBCF=A8=50°,

,/ZBCD=85°,

/.ZFCD=85°-50°=35°,

,/ZD=35°,

/.ZFCD=ND,

/.CFWED,

CFWABf

（2）如图，即为所求作的图形.

,/ABWCD,

：.ZABC=NC=35°,

・•.NB的度数为:35°；

ABIICD,

/.ZABC+NC=180°,

「•NB的度数为：145°；

的度数为：35。或145。；

（3）如图2,过点C作CFWAB,

图2

ABWDE,

/.CFWDE,

：.ZFCD=ND=35°,

,/ZBCD=85°,

：.ZBCF=85o-35°=50°,

/.ZB=ZBCF=50°.

答：NB的度数为50。.

如图5,过C作CFIIAB,贝UABIICFIIC。,

BA

ZFCD=Z0=35°,

,/Z8385°,

/.ZBCF=85°-35°=50°,

'：ABWCF,

：.ZB+NBCF=180°,

/.Z8=130°；

如图6,•/ZC=85°,ZD=35°,

图6

/.ZCFD=180o-85o-35o=60°,

,/ABWDE,

：.ZB=NCFD=60°,

如图7,同理得：Z8=35°+85°=120°,

c

综上所述，ZB的度数为50。或130。或60。或120°.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是区分平行线的判定与性质，并熟练运

用.

13.(1)①见解析；②；见解析(2)①NAFG+NEDG=NDGF；②NAFG-

ZEDG=ZDGF

【分析】

(1)①根据题意画出图形；②依据DEIIAB,DFIIAC,可得

ZEDF+ZAFD=180",Z

解析：(1)①见解析；②；见解析(2)①NAFG+NEDG=NDGF；②NAFG-

ZEDG=NDGF

【分析】

(1)①根据题意画出图形；②依据。日MB,DFIIAC,可得NEDF+NAFD=180。，

ZA+NAFD=180°,进而得出NEDF=NA；

(2)①过G作GTIAB,依据平行线的性质，即可得到

ZAFG+NEDG=NFGH+NDGH=ZDGF；②过G作GHWAB,依据平行线的性质，即可得到

ZAFG-NEDG=ZFGH-ZDGH=ZDGF.

【详解】

解：(1)①如图，

②DEWAB,DFWAC,

:.NEDF+NAFD=180°,Z4+ZAFD=180°,

/.ZEDF=NA；

(2)①NAFG+NEDG=NDGF.

如图2所示，过G作GHIIA8,

,.MBIIDE,

/.GHWDE,

/.ZAFG=NFGH,NEDG=NDGH,

ZAFG+NEOG=NFGH+NDGH=NDGF；

BD

图2

②NAFG-匕EDG=NDGF.

如图所示，过G作GHIIAB,

•/ABWDE,

/.GHWDE,

/.ZAFG=£FGH,ZEDG=NDGH,

：.ZAFG-NEOG=NFGH-NDGH=4DGF.

【点睛】

本题考查了平行线的判定和性质：两直线平行，内错角相等.正确的作出辅助线是解题的

关键.

14.(1)①90；②t为或或或或或或；(2)①正确，②错误，证明见解

析.

【分析】

(1)①由平角的定义，结合已知条件可得：从而可得答案；②当时，有两种

情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和

解析：(1)①90；②t为3s或6s或9s或18s或21s或24s或27s；(2)①正确，②错

误，证明见解析.

【分析】

(1)①由平角的定义，结合已知条件可得：4＞尸。=180。-/(?24-4＞/也从而可得答

案；②当3D〃PC时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差

求解旋转角，可得旋转时间；当犯时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行

线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当AC〃DP时，有两种情况，画出

符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当

AC〃皿时，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得

旋转时间；当AC//BP时的旋转时间与PA//BD相同；

(2)分两种情况讨论：当包＞在"N上方时，当尸D在下方时，①分别用含f的代数

式表示/CPD/BPN,从而可得为?的值；②分别用含f的代数式表示

NCPD,NBPN,得到ZBPN+ZCPD是一个含t的代数式,从而可得答案.

【详解】

解：(1)(I)---ZDPC=180°-ACPA-ADPB,N84=60。，NDPB=30°,

ZDPC=180-30-60=90°,

故答案为90；

②如图1-1,当BDIIPC时，

图1-1

PCIIBD,ZDBP=90°,

ZCPN=NDBP=90°,

ZCR4=60°,

/.ZAPN=30°,

•••转速为10〉秒，

旋转时间为3秒；

如图1-2,当PCIIBD时,

---PCHBD,z_PBD=90°,

：.ZCPB=NOBP=90°,

ZCPA=60°,

：.ZAPM=30°,

三角板绕点P逆时针旋转的角度为180°+30°=210°,

转速为10〉秒，

•旋转时间为21秒，

如图1-3,当R4IIB。时，即点。与点C重合，lb匕时NACP=NBPO=30。，贝UACIIBP,

图1-3

R4IIBD,

：.ZDBP=NAPN=90°,

•••三角板斜C绕点P逆时针旋转的角度为90。,

转速为10〉秒，

•旋转时间为9秒，

如图1-4,当外IIBO时，

ACWBP,

-：PAWBD,

：.ZDBP=NBR4=90°,

三角板而C绕点P逆时针旋转的角度为90。+180。=270。,

•••转速为107秒，

旋转时间为27秒，

如图1-5,当ACWDP时，

图1-5

■，-ACWDP,

：.ZC=ZDPC=30°,

：.ZAPN=180--30°-30°-60°=60°,

•••三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为60。,

•••转速为107秒，

旋转时间为6秒，

如图1-6,当时，

D

AC//DP,

:.ZDPA=ZPAC=90°,

ZDPN+NDPA=180°-30°+90°=240°,

三角板PAC绕点、P逆时针旋转的角度为240。,

•••转速为10〉秒，

•旋转时间为24秒，

如图1-7,当ACIIBD时，

ACWBD,

：.ZDBP=NBAC=90",

.,.点A在MN上,

•••三角板PAC绕点、P逆时针旋转的角度为180°,

•••转速为10〉秒，

•旋转时间为18秒，

当AO/BP时，如图1-3,1-4,旋转时间分别为：9s,27s.

综上所述：当t为3s或6s或9s或18s或21s或24s或27s时，这两个三角形是"李生三角

形”；

（2）如图，当尸已在上方时，

①正确，

理由如下：设运动时间为t秒，则N8PM=23

ZBPN=180°-2t,NDPM=3G°-2t,NAPN=3t.

：.ZCPD=180°-ZDPM-CPA-APN=90°-t,

NBPN=2ZCPD=180°-2t,

.ZCPD_J_

-ZBPN~2

②NBPN+NCPD=180°-2t+90°-t=270°-3t,可以看出NBPN+NCPD随着时间在变化,

不为定值，结论错误.

当尸D在MN下方时，如图，

①正确，

理由如下：设运动时间为t秒，则NBP/W=2t,

ZSPW=180°-2t,ZDPM=2z-30°,zAPN=3t.

：.ZCPD=360°-ZCPA-ZAPN-ZDPB-ZBPN

=360°-60°-3t-30°-（180°-2r）

=90°—

4BPN=2NCPD=180。-It,

.NCPD.1

一ZBPN~2'

②NBPN+NCPD=180--2t+90°-t=270°-3t,可以看出NBPN+NCPD随着时间在变化，

不为定值，结论错误.

综上：①正确，②错误.

【点睛】

本题考查的是角的和差倍分关系，平行线的性质与判定，角的动态定义（旋转角）的理

解，掌握分类讨论的思想是解题的关键.

15.（1）证明见解析；（2）NF=55。；（3）NMQN=NACB；理由见解析.

【分析】

（1