2024年中考数学几何模型 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型(学生版)

19相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型

相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，

是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）/字模型和（双）8（X）字模型.

A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是直接作平行

线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论小题还是大题

都是屡见不鲜的.

模型1.“4”字模型

【模型解读与图示】

“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等

或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似.

图1图2图3

4nAP

1）字模型条件：如图1,DEHBC-,结论：AADEsAABCo丝"

ABACBC

2）反”"字模型条件：如图2,/AED=结论：A4DEs空二任二更

ACABBC

3）同向双字模型

EG_FG_AG

条件：如图3,EFIIBC；结论：「s/X/BC,^AEGSAABD,4AGFsAADCo现=e=9

例1.（2023•湖北十堰•统考中考真题）如图，在菱形4BCD中，点E,F,G,〃分别是BC,CD,AD

上的点，且BE=BF=CG=AH,若菱形的面积等于24,BD=8,则£尸+G”=.

BC

例2.（2023・安徽・九年级期末）如图，在三角形“BC中，点。、E分别在边43、AC±,AD=3,BD=1,

Ap

AE=2,EC=4.⑴求证：44Z）£=NC；（2）若NA4c的平分线交OE于点尸，交3c于点G,求五.

例3.（2022•山东东营・中考真题）如图，在A/BC中，点尸、G在8C上，点£X分别在/8、AC±,四

边形跖G〃是矩形，明=2的,月。是小3。的高.BC=S,AD=6,那么的长为.

DG

例4.（2022•浙江宁波•中考真题）⑴如图1,在A4BC中，D,E,F分别为4B,/C,BC上的点*

DE〃BC,BF=CF,AF交DE于尽G,求证：DG=EG.

（2）如图2,在（1）的条件下，连接CRCG.若CGiDE,CD=6,ZE=3,求的值

BC

⑶如图3,在口45cA中，乙4。。=45。,/。与80交于点0,£为/0上一点，攻〃3。交/。于点6,EF1EG

交BC于点、F.若NEG歹=40。,尸G平分NE尸C,万G=10,求BF的长.

图I图2图3

例5.（2023•安庆一模）如图，在中，点。、E、歹分别在边8C、AB、CN上，S.DE//CA,DF//

/A（1）若点。是边8C的中点，S.BE=CF,求证：DE=DF；（2）若4DLBC于。，S.BD=CD,求证:

四边形/EDF是菱形；（3）若/£=/尸=1,求上+W■的值.

ADAC

模型2.“*，字模型（"8”模型）

【模型解读与图示】

“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这

两个三角形相似.

AROAOB

1）“8”字模型条件：如图1,AB//CD；结论:△AOBs^CODo空

CD'OC=OD

△AOBs^DOCo9.

2)反“8”字模型条件:如图2,结论:

CDODOC

AEBE_AB

3)平行双“8”字模型条件:如图3,AB//CD；结论:

4）斜双“8”字模型

条件：如图4,Z1=Z2；结论：AAODSABOC,△/03SZ\JDOCO/3=/4.

例1.（2022•辽宁•中考真题）如图，在正方形NBCD中，E为/。的中点，连接5E交/C于点E若”=6,

则AAEF的面积为.

AED

例2.（2023•黑龙江・哈尔滨九年级阶段练习）如图，AB//CD,AE//FD,AE,FD分别交3c于点G,H,

则下列结论中错误的是（）

A.__JB

DH_CHGECGAFHGFH=BF

I'M~BHDFCB~CE~~CG^AG~TA

例3.（2021・上海・中考真题）如图，在梯形中，是对角线4。的中

点，联结8。并延长交边CD或边4。于E⑴当点£在边CZ）上时，①求证："X4cs△05。；②若BE1C。，

AD

求万口的值；（2）若DE=2QE=3,求⑺的长.

例4.（2022•贵州铜仁•中考真题）如图，在四边形Z5CZ）中，对角线/C与相交于点。，记△COD的面

SOC•OD

积为Sj-OB的面积为S.⑴问题解决：如图①，若AB/ICD,求证：手=0/05

（2）探索推广：如图②，若期与CD不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说

明理由.（3）拓展应用：如图③，在。4上取一点及使OE=OC,过点E作所〃CD交OD于点E点〃

为48的中点，0H交EF于点、G,且OG=2G〃，若上广石,求寸值.

2

MM.M

①②③

模型3.字模型（“8"模型）

【模型解读与图示】

E__DED

的

-%

B4-------------------------\BC

图1图2图3

1）一“N”一“8”模型

AD_AE_DE_DF_FE

条件：如图1,DEIIBC-,结论:△ADEsLABC,ADEFsACBFO—4c—2c-pQ-pp

2）两“N”一“8”模型

11_1

条件：如图2,DE1/AF1/BC-,结论：~BC+~DE=^F-

3）四，4”一“8”模型

1111

+==结论：AF=AG

条件：如图3,DE1/AF1/BC，73CDE^FHG'

例1.（2022•山东东营・中考真题）如图，点。为“BC边AB上任一点，DE〃BC交AC于点、E,连接BE、CD

相交于点E则下列等式中不成立的是（）

ADAEDEDF「DEAE

AD

A.-----=-----B.-----二---------C.----=-----诙=次例2.（2021・江苏南京・中考真题）如

DBECBCFCBCEC

图，AC与BD交于/O,OA=OD,ZABO=ZDCO,E为BC延长线上一点，过点E作EF//CD,交应）的

延长线于点足（1）求证三△DOC;（2）若4B=2,BC=3,CE=1,求E尸的长.

例3.（2022•重庆九年级期中）如图，AD与8C相交于点£,点尸在3。上，且ABIIEFIICD,

求证:AB+CD=EF-

E

BD

例4.(2022•安庆模拟)在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点。

(1)如图①，若四边形48。为矩形，过点。作求证：OE=^CD.

(2)如图②，岩AB/CD、过点。作即〃48分别交BC、4力于点E、F.求证：型度=2.

ABCD

(3)如图③，若OC平分2408,D、E分别为04、上的点，交。C于点作九W〃O3交CM于

一点、N,若。。=8,OE=6,直接写出线段MN长度.

图①图②图③

课后专项训练

1.（2021•山东淄博•中考真题）如图，/瓦⑺相交于点灯且点在同一条直线上.已

知AC=P,EF=r,DB=q,则夕国,之间满足的数量关系式是（）

1_2111112

C.一+-=一D.-+-

rqpq丫qrP

2.（2023秋•山西阳泉•九年级统考期末）如图，在四边形/BCD中，AB=AC,对角线/C与相交于点

E,DE=3BE,ACLAD,4ACB=75°,AE=3*,则对角线/C与8。的长分别是（）

A.AC=4^,BD=125/3B.AC=9,BD=4河C.AC=6,BD=8小D,AC=S,BD=45

3.（2023•福建福州•校考二模）在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图所示的风筝.在骨

架设计中，两条侧翼的长度设计43=NC=50cm,风筝顶角NA4c的度数为110。，在/氏/C上取。，E

两处，使得=并作一条骨架加，DE.在制作风筝面时，需覆盖整个骨架，根据以上数据，B,C

两点间的距离大约是（）（参考数据：sin55°=：0.82,cos55°=0.57,tan55°=1.43）

A.41cmB.57cmC.82cmD.143cm

4.（2022・湖北十堰・中考真题）如图,某零件的外径为10cm,用一个交叉卡钳（两条尺长/C和相等）

可测量零件的内孔直径/氏如果OC=OB：OD=3,且量得CD=3cm,则零件的厚度x为（）

A.0.3cmB.0.5cmC.0.7cmD.1cm

5.（2022・湖南怀化・中考真题）如图,△ABC中，点。、E分别是，B、AC的中点，若S△ADE=2,则S△ABC

6.（2023•广东梅州•九年级统考期末）如图，在中，点尸、G在3c上，点£、〃分别在/2、AC±.,

AD是。3c的高，BC=15,AD=5,那么£7/的长为

7.（2023•广东深圳•校考三模）如图，在RtA48C中，NACB=90：AC=BC=6,。是48上一点，点E在3c

若NCFE=45°,BD=1AD,则CE=

8.（2022•四川宜宾•中考真题）如图,A/BC中，点E、尸分别在边上，81=N2.若BC=4,AF=2,

CF=3,则所=

E

B

9.（2022•辽宁阜新•中考真题）如图，在矩形48CD中，E是4D边上一点，且=AD与CE相交

于点尸，若AOE厂的面积是3,则△3CF的面积是,

10.（2022•湖北荆门•中考真题）如图，点G为△NBC的重心，D,E,尸分别为3C,CA,42的中点，具

有性质：AG-.GD=BG-.GE=CG：GF=2：1.已知尸G的面积为3,则△48C的面积为,

11.（2023•福建•统考中考真题）阅读下列材料，回答问题

任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度N3远大于南北走向的最大宽度，

如图1.

工具：一把皮尺（测量长度略小于NB）和一台测角仪，如图2.皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点

间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）;

测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点。处，对其视线可及的P,。两点，可测得/尸。。的大小，如

图3.

图I

小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度22,其测量及求解过程如下：测量过程:

⑴在小水池外选点C,如图4,测得NC=am,BC=bm-,

ab

（ii）分别在NC,BC,上测得CA^=_m；测得ACV=cm.求解过程:

由测量知，AC=a,BC=b,CM=%,CN=g

CM_CN

又二.①___________

~CA~~CB~3

MN_1

:.ACMNs/\CAB,

~AB~3

又；MN=c,：.AB=®(m).

故小水池的最大宽度为m.

⑴补全小明求解过程中①②所缺的内容；（2）小明求得用到的几何知识是；

⑶小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得/从请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量,

并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度写出你的测量及求解过程.要求：测量得到的长度用

字母。，b,cL表示，角度用a,廿，YL表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出,且测

量的次数最少，才能得满分）.

12.(2023秋・山西运城・九年级统考期末)综合与实践

问题情境：如图1,在RMN8C中，ZC=90°,AC=3,8c=4,点。是/C上一点，将△BCD沿直线2D

折叠，点C落在43上的点E,连接DE.

独立思考⑴如图1,求tanZDBC的值；

问题拓展如图2,点歹是图1中N8上一动点，连接CF,交BD于点、G.

4AF

(2)当点尸是的中点时，求证：晨=：；(3)当点G是5。的中点时，请你直接写出石下的值.

BG9Dr

A/

图1图2

13.(2023湖南郴州•统考中考真题)已知是等边三角形,点。是射线上的一个动点，延长8C至

点E,使CE=4D,连接。E交射线NC于点

BCEDD

图1图2图3

⑴如图1,当点。在线段疝?上时，猜测线段CF与8。的数量关系并说明理由；

⑵如图2,当点。在线段NB的延长线上时，①线段3与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由;

②如图3,连接设22=4,若NAEB=NDEB,求四边形切加。的面积.

14.（2023•浙江•九年级专题练习）已知：如图，四边形N5CD是平行四边形，在边48的延长线上截取3E

=N8,点尸在4B的延长线上，CE和。尸交于点M,8C和。尸交于点N,联结3D

（1）求证：△BNDs^CNM；（2）如果=求证：CM，AB=DM，CN.

15.（2023瑚北武汉•统考模拟预测）问题背景：如图1,在四边形A8OC中，点£E,G分别在48,AD,AC

EFEG

上，EF//BD,EG//CD,求证:~BD=^C

尝试应用：如图2,是“8C的中线，点E在上，直线3E交/C于点G,直线CE交ZB于点厂，

BE广EF

若求名存的值.

迁移拓展：如图3,在等边“8C中，点。在8C上，点£在/。上，若BD=mDC,NBEC=120°,直接

BE

写出国的值.（用含加的式子表示）

A

（图1）

16.（2023•浙江杭州•统考中考真题）在边长为1的正方形/BCD中，点E在边4D上（不与点A,。重合）,

射线3E与射线。交于点尸.⑴若助=［求。尸的长•（2）求证：AE-CF=1.

⑶以点B为圆心，3c长为半径画弧，交线段BE于点G.若EG=ED,求EZ）的长.

17.（2022・四川内江・中考真题）如图，在矩形ABCD中，48=6,3C=4,点必N分别在AB、4D上,

且点£为。的中点，连接交MC于点尸.

EFANAN

⑴当尸为的中点时，求证：ZM=CE;⑵若k=2,求无方的值；（3）若MV//3E,求访的值.

DrNDND

18.(2023•重庆中考模拟)问题提出：如图1,D、E分另IJ在△ABC的边AB、AC上，连接DE,已知线段

AD=a,DB=b,AE=c,EC=d,则S$人.。和2,也5d之间会有怎样的数量关系呢?

图5

问题解决:探究一：⑴看到这个问题后,我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律.如图2,若DE/IBC,

贝！且NA=/A,所以△ADES/\ABC,可得比例式：一二三=—「而根据相似三角形面积之

CL十DC十CL

S。2

比等于相似比的平方.可得L=G7加.根据上述这两个式子，可以推出：

△ABC

S_ai_aa_ac_ac

AD

卜EQ+6)2a+ba+ba+bc+d(、+b)(c+d)・

△ABC

(2)如图3,若/ADE=/C,上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由.

Sac

探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论：了3=(〃+方Q+d"方法回顾:

△ABC

两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以

-BD-AH

dc7HD

解决.如图4,。在△入BC的边上，做于H,可得：^ABD=1=八「.借用这个结论,

\ADC^DC-AHDC

请你解决最初的问题.

延伸探究：（1）如图5,。、E分别在△ABC的边AB、AC反向延长线上，连接。£已知线段AO=a,AB

S

=b,AE=c,AC=d,则^4=_____.（2）如图6,E在△ABC的边AC上，。在AB反向延长线上，

^ABC

s

连接DE,已知线段AO=a,AB=b,AE=c,AC=d,=.

AABC

结论应用：如图7,在平行四边形ABC。中，G是BC边上的中点，延长GA到E,连接DE交BA的延长

线于尸，若4B=5,AG=4,AE=2,。ABC。的面积为30,则△AEF的面积是

19.（2023•河南郑州•校考三模）【问题发现