填空压轴题（代数篇）-2024年中考数学冲刺复习（浙江新中考）（解析版）

重难点03填空压轴题（代数篇）

目录

题型特训-精准提分

题型01求值类

类型一代数式求值

类型二方程、不等式求值

类型三函数求值

题型02规律探究类

类型四数字规律探究

类型五图形规律探究

类型六函数规律探究

题型03函数最值类

类型七一次函数的最值问题

类型八二次函数的最值问题

类型九反比例函数与其它函数的最值问题

题型04函数临界点类

类型十一次函数的最值问题

类型十一二次函数的最值问题

类型十二反比例函数的最值问题

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题型特训-精准提分

题型01求值类

类型一代数式求值

1.已知，a+b=x+y^2,ax+by=5,贝U（4+/）孙+他（彳2+产）=

【答案】-5

【分析】

本题主要考查了因式分解的应用，先把所求式子进行因式分解，再利用整体代入法求值即可.

【详解】解：：（a2+62）w+M（x2+y2）

=a1xy+b1xy+abx2+aby2

=ax（ay+bx）+by（bx+ay}

=（办+勿）（世+法）,

*.*a+b=x+y=2,

・，・（〃+b）（x+y）=4,

/.ax+ay+bx+by=4,

*.*ax+by=5,

ay+bx=-l,

/.原式=—1x5=—5；

故答案为：-5.

2.如图，正方形A3CD内部摆放着①号，②号，③号3个边长都为1的正方形，其中①号正方形部分被②

号和③号正方形遮盖，若图中阴影部分的面积为S,则正方形ABCD的边长为.（用含S的式子表示）

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【分析】本题考查了列代数式，将阴影部分适当划分，找到对应图形的长和宽即可求解.

设正方形ABCD的边长为。，DE=m,

贝=AF=a—1—m

贝(JS=(fl-l-/n)xl+lx(a-l)+lx77?=2a-2

故答案为：亍

3.若।।1<。+1,则自然数々=

20112012201320142015

【答案】402

【分析】本题主要考查了估算计算.熟练掌握缩放原数据估算计算，是解决问题的关键.

,缩放数据得到/x5<x<*x5,

X------------1------1------1------1-----得至IJ402.2<<403即得

20112012201320142015

a=402.

【详解】设x=^+—^+―^+―^+―

20112012201320142015

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----1-----1-----1-----1----<----x5

201120122013201420152011

111111^

----1-----1-----1-----1---->----x5,

201120122013201420152015

.201112015

••----<一<-----

5x5f

：.402.2<-<403,

X

；.402-2<-—1—i—1—1<4°3

----1-----1-----F-----1----

20112012201320142015

a=402.

故答案为：402.

4.下列说法正确的有—.（选序号）

①若（X-1尸=1,则满足条件X的值有3个.

②若X=32"2,y=3-9"',则用含X的代数式表示y为y=-9x+3.

③已知（丈一20）?+（x-28产=100,则叙-24产的值是34

④1,2,3,…，58这58个数中不能表示成某两个自然数的平方差的数共有14个.

【答案】②③/③②

【分析】①分三种情况讨论，<l>x-l=0,<2>x-l=l,<3>x-l=-l,计算后看符合题意的有几个；

②根据同底数幕的除法法则、幕的乘方法则计算，然后等量代换；

③先把（x-20）2+（x-28）2=100化为（x-24+钎+（x-24-4）2=100的形式，然后计算，求出最后结果；

④设两个自然数的平方差=（加+〃）（加-〃）求出（IVm<”<58）的取值范围，分析（旭+〃）与（根-〃）同奇同偶,

进而得到这个数是奇数或是4的倍数，求出表示成某两个自然数的平方差的数的个数，再求出不能表示成

某两个自然数的平方差的个数.

【详解】解：①若（x-l产=1,

<1>^-1=0,则x=l,不合题意

<2>x-l=l,则x=2,

<3>x-l=-l,贝!Jx=0,不合题意，

.•・满足条件x的值有1个,

•••故①不符合题意；

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2m2

②,x=3-f

=9〃疗,

.♦9=9%,

y=3-9",

y=3-9xf

即用含X的代数式表示y为y=-9x+3,

..•故②符合题意；

③；(x-20)2+0-28)2=100,

(x-24+4)2+(%-24-4)2=100,

(x-24)2+8(x-24)+16+(x-24)2-8(x-24)+16=100,

2(x-24>+32=100,

(%-24)2=34,

，故③符合题意；

④设两个自然数的平方差=+<m<«<58),

：(〃?+w)与(加-")同奇同偶，

,这个数是奇数或是4的倍数，

在1,2,3,••­,58这58个数中奇数有29个，能被4整除的有14个，

•••不能表示成某两个自然数的平方差的数共有：58-(29+14)=15个，

，故④不符合题意；

故答案为：②③.

【点睛】本题考查了同底数幕的除法法则、暴的乘方法则计算、二元一次方程的解，掌握法则的应用，③

的拆项法是解题关键.

5.四个互不相等的数a,4c,m在数轴上的对应点分别为A,2,C,M其中，=4,b=8,m=0.5(a+b+c').

(1)若c=2,则A,B,C中与/距离最小的点为；

(2)若在A,B,C中，点C与点M的距离最小，且不等于A8与点M的距离，则符合条件的点C所表

示的数c的取值范围为一.

6.如果一个三位自然数各个数位上的数字均不为0,且百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个

数为“佳佳数”.如：532,因为5=3+2,所以532是“佳佳数”；又如，432,因为423+2,所以432不是“佳

佳数”.已知M是一个“佳佳数”，则M最大值是；交换M的百位数字与十位数字得到一个新三位数

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N,在N的末位数字后加2得到一个新的四位数P,在M的十位数字与个位数字之间添加M的十位数字

得到一个新四位数Q,若。-产能被7整除，则满足以上条件的“佳佳数”的最大值为.

【答案】B08

【分析】本题考查了代数式求值，数轴上两点的距离，绝对值的几何意义，数形结合是解题的关键.

(1)根据已知求得加=7,进而分别求得A,B,C中与加距离，即可求解；

(2)根据已知得帆=6+0.5c,表示出A,B,C与/距离，根据点C与点M的距离最小，且不等于A,B

与点的出巨曷，得|—0.5c+6|<10.5c—2|,|—0.5c+6|<|0.5c+2|,令x=0.5c，贝|6—2],16-<|x—(—2)|,

由绝对值的几何意义可知，|6-x|<|x-2|表示数轴上数x到6的距离比到2的距离小，则x>昔=4；

|6—可<上一(一2)|表示数轴上数工至!|6的距离比至1」一2的距离小，则x>带2=2,得x>4,进而即可求解.

【详解】解：⑴：。=4,b=8

当c=2,

加=0.5(a+Z?+c)=0.5x(4+8+2)=7

・.・|4—7|=3,|8-7|=1,|2-7|=5

:,A,B,C中与M距离最小的点为5,

故答案为：B.

(2)m=0.5(4+8+c)=6+0.5<?,

则A,M之间的距离为：|6+0.5c-4|=|0.5c+2|,

B,Af之间的距离为：|6+0.5c-8|=|0.5c-2|,

C,M之间的距离为：|6+0.5c-c|=|-0.5c+6|,

•・,点。与点M的距离最小，且不等于45与点M的距离，

A|-0.5c+6|<|0.5c-2|,|-0.5c+6|<|0.5c+2|,

令x=0.5c,贝v卜_，|6—x|<|x—(―2)|,

-2026

由绝对值的几何意义可知，

|6-x|<|x-2|表示数轴上数x到6的距离比到2的距离小，即x在两个数中点的右侧，则x>昔=4；

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|6—R<|x—（―2）1表示数轴上数元至IJ6的距离比至IJ—2的距离小，即无在两个数中点的右侧，贝三上=2,

即：当%>4时，_R<,_2|,16_可<卜_（—2）,

亦即：当0.5c>4时，|—0.5c+6|<|0.5c—2|,|—0.5c+6|<|0.5c+2|,

.•.当c>8时，点C与点M的距离最小，且不等于A,3与点M的距离，

故答案为：c>8.

7.若一个四位自然数M,满足个位数字与十位数字之和的平方正好等于M的千位数字与百位数字组成的

两位数，则这个四位数称为“和数”，比如：4952,满足（5+2丫=49；若一个四位自然数N,满足个位数字

与十位数字的平方差正好等于N的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“差数”，比如：

7239,满足92-32=72；那么最大的“和数”与最小的“差数”之和是,如果一个“和数”M与一个

，，差数，，N的个位数字均为•、十位数字均为6,且P（M,N）=M+N：：228,若川加川）为整数时，记

G（M,N）=黑,则G（M,N）的最大值是.

【答案】70251

【分析】本题考查了因式分解的应用，二元一次方程的解，完全平方公式，平方差公式，根据新定义以及

最大，最小的四位数的特征写出求其差；根据依题意表示出厂（M,N）,进而根据

尸（M,N）=M+N；8。-228是整数,分类讨论，进而求得凡6的值，求得G（M,N）=黑,取最大值，即

可求解.

【详解】解：：9x9=81,

最大的“和数”千位最大只能为8,则百位为1

8+1=7+2=6+3=5+4=9

.♦•最大的十位为8,则个位为1

•••最大的“和数”为8181

最小的“差数”的千位为1,百位最小为0时，完全平方数之差没有相差10的数，

则百位数为1,此时62-5?=11

.••最小的“差数”为1156

最大的“和数”与最小的“差数”之和是8181—1156=7025

:一个“和数”加与一个“差数”N的个位数字均为。、十位数字均为6,

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：.MxlOO+lOb+a,N=(a2-b2)xW0+10b+a

：.M+N=100a2+100b2+200ab+10b+a+100«2-100b2+10b+a

=200A2+200ab+2Qb+2a

・・•小M,N)/+N『-228

200Q2+200〃Z?+20Z?+2a+18a—228

-n

200a2+200aA+20a+20b-228

H

198a2+198ab+22a+22b—220+2a2+lab—2a—2b—8

H

・・・方(M,N)为整数时

.・.2々2+26^—2]—2Z?—8=2(a+b)(a—1)—8能被11整除

2(a+Z?)(a-1)=111+8

・・・左为偶数，

当上=0时，(Q+〃)(Q—1)=4

V1x4=4,2x2=4,a>0,b>0

a+b=2

不合题意,

a—1=2

a+b=4

当

Q—1=1

a=2

解得:

b=2

.•.q=1,

a+b

当左=2时，(a+Z?)(a—1)=15

V3x5=15,a>0,b>0

.(a+b=5

[Q—1=3

a=4,b=1,

.ab_4

••----=一,

a+b5

当上=4时，(Q+Z?)(Q—1)=26

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26=2x13

a+b=13

a—1=2

Q=3

（舍去）

。=10

综上所述，G（MN）的最大值为1,

故答案为：7025；1.

8.对于任意一个三位自然数若它的各数位上的数字均不为0,且满足十位上数字的平方等于百位数字

与个位数字之积的左倍仅为整数），则称加为”阶比例中项数”此时，记去掉其个位数字后剩余的两位数

为风，去掉百位数字后剩余的两位数为m2,规定F（M）=m1+5m2,则最大的“4阶比例中项数”是

若N=1OO〃7+K）72+1（其中,2<n<8,m,〃均为正整数）是一个常阶比例中项数”，且尸（N）能

被8除余3,则满足条件的N之和是.

【答案】961823

【分析】

本题考查因式分解的应用，能够运用题干当中的新定义是解答本题的关键.（1）根据7阶比例中项数”的含

义直接作答即可；（2）经过分析确定个位数为1,根据N是*阶比例中项数”得到相与”的数量关系，根据

尸（N）被8除余3,得到另外一个相与”的数量关系，通过列举法确定N的值.

【详解】

解：（1）若一个三位数是“4阶比例中项数”那百位和个位数字积的4倍是十位上数字的平方，

设这个三位数为X=abc,

则X=100a+10/+cc,且〃=4xaxc,其中，。，仇c均为整数，且均在1到9之间，

•••〃为4的倍数，

可能是2,4,6,8,

当6=2时，此时ac=l,这个三位数是121；

当6=4时，此时ac=4,当。=4,c=l时，这个三位数最大，为441；

当6=6时，此时ac=9,当a=9,c=l时，这个三位数最大，为961；

当6=8时，此时a=16,当a=8,c=2时，这个三位数最大，为882；

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则最大的“4阶比例中项数”是961；

(2)由题意可知,

n2=km,

F(N)=10/w+n+5(10/1+1)=10/7；+5In+5,

10m+51〃+2是8的倍数，

1<m<4,2W〃W8,“z,〃均为正整数，

可能是2,3,4,5,6,7,8,

当〃=2时，机的值为1、2、4,55+2=104,

当"=2,根=1时，10〃?+55+2=10+104=114不是8的倍数，不符合题意；

当〃=2,,"=2时，10"z+51〃+2=20+104=124不是8的倍数，不符合题意，

当〃=2,〃?=4时，10"7+51〃+2=40+104=144是8的倍数，符合题意，此时N=421；,

当”=3时，机的值为1、3,51«+2=155,

当”=3,〃?=1,10a+5历+2=10+155=165不是8的倍数，不符合题意；

当"=3,根=3时，10机+51"+2=30+155=185不是8的倍数，不符合题意，

当〃=4时，小的值为1、2、4,51〃+2=206,

同理，当〃=4,机=1,10/71+51«+2=10+206=216,符合题意，此时N=141,其余不符合题意;

当”=5时，加的值为1,同理，不符合题意；

当”=6时，小的值为1、2、3、4,55+2=308,

同理，当w=6,租=2时，10a+51"+2=20+308=328,符合题意，此时N=261；

当〃=7时，加的值为1,同理，不符合题意；

当〃=8时，〃2的值为1、2、4,55+2=410,

同理，当〃=8时，均不符合题意；

综上，符合条件的N有421或141或261,故符合条件的N之和为823.

故答案为：961,823.

类型二方程、不等式求值

平+的解为x=42al-1)+34(y+1)=6q

9.已知方程组则方程组的解为______

a2x+b2y=c2y=32a2-1)+3%(y+1)=6c2

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【答案】「x=13

【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据方程组的特点，理解整体思想是解题关键.先将方程

x-ljy+1

4+4=q

2a（%-1）+34（y+1）=6G，根据方程叱\a.x+"b.y…=c的解为t\x==43得到

l变形为，]

2〃2（%-1）+382（y+1）=6c2x-ljy+1

a、------F-----=c

[2322

x-l

----=4

3x=13

]，即可求出

>1=3）二5

I2

x-l,y+1

q+4'^~=Ci

2a1（1）+3々（y+l）=6q变为,

【详解】解:

2a2（1一1）+3%（y+1）=6Q/x-ljy+1

a2.一7+与.；-二02

ax+by=q

•.•方程组xx的解为

a2x+b2y=c2

2±1=3

I2

••Ji.

b=5

(x=13

故答案为：二

[y=5

10.如果一个五位数的万位数字与个位数字之和等于其百位数字的2倍，则称这个五位数为“星星数”，如果

一个五位数的千位数字与十位数字之和等于其百位数字的2倍，则称这个五位数为“月亮数”;一个五位数A,

规定其末三位数字组成的数与其前两位数字组成的数的和为尸(A)；^M=10020+10000a+2010&+100c+rf

为“星星数"，N=10000a+100(fe+10c+512+d为“月亮数”(其中lWa<8,0<Z?<4,0<c<8,0<rf<7,

且a,b,c,d为整数)，贝h+2b+d的值为；在此条件下，若川加)+/3)的值能被13整除，则

满足条件的M的值为.

11.定义新运算“㊉”，对于任意实数a,b都有。㊉6=号迎.

(1)若a=—2,b—6,则a㊉6的立方根是；

(2)若不等式4㊉xN5成立，则该不等式的解集是.

【答案】1794745

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【分析】本题考查整式的加减运算，不定方程，根据星星数和月亮数的定义，得到〃+l+d=2c,

6+c+l=2x5=10,进而求出a+2b+d的值即可，求出7?（A1）+7?（N）=13（8c+b+〃+41）+10c+5〃+7,根

1ar_7

据P（M）+F（N）的值能被13整除，得至U10c+5a+7能被13整除，设10c+5a+7=13尤，得至=—2c,

根据a，c的范围，分类讨论进行求解即可，本题的难度大，属于填空题中的压轴题.

【详解】解:•.,〃=10020+10000a+20106+100c+d为“星星数”，

••a+l+d=2c,

・・a+d=2c—1,

N=10000a+1000Z?+10c+512+d为“月亮数”，

Z?+c+l=2x5=10,

b=9-c,

a+2b+d=2c-1+2（9-c）—17；

•.•M=10020+10000a+2010b+100c+d的万位上数字为（a+1）,千位上数字为2b,百位上的数字为c,十

位上的数字为e+2）,个位上的数字为d；

F（M）=100c+10（&+2）+rf+10（a+l）+2/7

=100c+10b+20+d+10a+10+2Z?

=100c+12Z?+10a+d+30；

・・・N=10000a+10000+10c+512+d的万位上数字为。，千位上数字为b,百位上的数字为5,十位上的数

字为（c+1）,个位上的数字为d+2；

尸（N）=500+10（c+l）+（d+2）+10a+b

=500+10c+10+d+2+10a+〃

=10c+10a+Z?+d+512,

.・・万（M）+尸（N）=100c+12Z?+10a+d+30+10c+10a+b+d+512

=110c+13b+20a+2d+542

,**d.—2c—1—a,

・・.方（M）+尸（N）=110c+13Z?+20a+2（2c—l—a）+542

=110c+13/7+20a+4c—2—2a+542

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=114。+136+18〃+540

=114c+13b+18〃+540

=104c+13Z?+13a+533+10c+5a+7

=13(8c+b+〃+41)+10c+54+7

・・・方（A/）+尸（N）的值能被13整除,

・・.10c+5a+7能被13整除，

设10c+5a+7=13元（％为正整数），

当％=4时，a=9—2c,

0<&<4,b=9—c

0<9-c<4,

5<c<9,

0<c<8,

5<c<8,

a=9-2c不符合题意;

当％=9时，a=22-2c,

・•・当c=7时，a=8,止匕时：Z?=9-7=2,d=2x7-l-8=5,M=94745；

当c=8时，a=6,止匕时：b=9—8=1,d=2x8—1—8=7,M=72837,非“星星数”故舍去；

当x>9时，不存在满足题意；

综上：M=94745；

故答案为：17,94745.

\-3>2x+l

12.关于X的一元一次不等式组亍一二一一、至少有3个整数解，且关于y的分式方程」\+2=/义有

clV-22-y

2x—m>5

整数解，那么符合条件的所有整数机的和为.

【答案】-2

【分析】本题考查了解不等式组和分式方程，先解不等式组，根据不等式组至少有3个整数解，确定加的取

值范围，再解分式方程，根据分式方程有整数解确定机的值，从而求出符合条件的所有整数机的和，熟练

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掌握不等式组的解和分式方程的解的情况是解题的关键.

X-3z2x+l_3①

【详解】解：2-3

2x-m>5®

解①得，x<7,

解②得，》>甘，

•..不等式组有解，

/.不等式组的解集为噌〈尤47,

又・・•不等式组至少有3个整数解，

/.m+5<5,

解得m<5,

由分式方程急+2=六两边都乘y-2得，殁+2（y-2）=3y,

整理得，（加一l）y=4,

4

当切—iwO时，方程的解为y=——-,且丁。2,

m-l

•••关于y的分式方程有整数解，

=1或，?=或加一1=-2或%-1=4或〃?一l=T,

m=2或%=0或机=-1或m=5或m=—3

•；m<5,

；./=5不合,舍去，

.•.符合条件的所有整数加的和为2+0-1-3=-2,

故答案为：—2.

13.（2024•浙江宁波•模拟预测）已知关于x的一元二次方程/+依+8=。有两个根X1,巧，且满足

l<xt<x2<2,X^t=a+b,贝I"的取值范围是.

【答案］—1</<0

【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，不等式的性质，由根和系数的关系可得，%+%=-。，

玉龙2=b,得到/=（不—1）（赴—1）—1,由1<%<马<2可得0<（网—1）（%2—1）<1,即得到—1<（占—1）（%2—1）—1<0,

即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键.

【详解】解：由根和系数的关系可得，xi+x2=-a,x1x2=b,

第14页共108页

1=一（玉+%2），b=XxX2,

—-

t=a+b=—yxi+%2）+%%2=（%一1）（91）1»

*.*1<x,<x2<2,

—1<1,0<%2—1<1,

0v（菁-1）_1）v],

・，・-1V（X]-1）（九2-1）-1V。，

即—1v/v0,

故答案为：-l</<0.

14.已知，数轴上从左到右有三点A,B,C,它们在数轴上对应的数分别为。，b,c（a94c均不为整

数），且6<c-。<7,k<b<k+\（左为正整数）为正整数.在点A与点8之间的所有整数依次记为Pi，P2,

03…，P,“；在点8与点C之间的所有整数分别记为%，％,%，…，若

P；+P；+P；++P；=芬+蝙+4；++Qn.贝U上的值为-

【答案】24

【分析】

本题考查了数字的变化知识，根据数轴上两点距离列出一元二次方程是解题关键.

根据题意得出AC之间共有6个或7个整数，进而可得加23,设AC之间的数分别为尤-2,x-1,x,x+i,

x+2,x+3,x+4,根据题意列出一元二次方程，再计算即可.

【详解】

解：6<c-a<7,

，AC之间共有6个或7个整数，

6个连续的整数满足p；+p；+H++P：=4；+蜡+城++如，

:.m>3.

当〃z=3时，

AC间有7个整数，

则A,8之间的3个整数设为X-2,x-1,x,

B,C之间的4个整数为x+1,x+2,x+3,x+4,

第15页共108页

」.（尤一2）~+（x—I?+尤2=（尤+1）2+（X+2）2+（X+3）~+（x+4）~,

x=-25或r=-1.

当AC上有6个整数，。一2『+（尤一I）?+无?=（x+iy+（x+2）2+（无+3>,无整数解.

当加=4时，AC间有7个整数，

则A,8之间的4个整数设为尤-2,x-1,x,x+1,

B,C之间的3个整数为x+2,x+3,x+4,

（X—2）2+（无一1）2+无2+（X+1）2=（尤+2）2+（X+3）2+（X+4）2,

.,.%=23或厂=—1,

当机=4,AC间有6个整数时，

则A,8之间的4个整数设为尤-2,x-1,x,x+1,

B,C之间的2个整数为x+2,x+3,

（x—2）2+（X—I）2+x?+（无+1）?=（尤+2）2+（x+3）~,无整数解；

当机=5时，

则A,8之间的5个整数设为X-2,x-1,x,x+l,x+2,

B,C之间的2个整数为x+3,x+4,

（x—2）~+（X—I）-+龙？+（尤+］）~=（尤+2）~+（x+3）”,无整数解

或（X-2）2+（X-1）2+无2+（%+］）2+（%+2）2=Q+3>+（X+4>，无整数解

当祖=6时，

则A,8之间的5个整数设为无-2,x-1,尤，x+1,x+2,x+3,

B,C之间的2个整数为x+4,

二.（x—2）~+（尤-1）~+尤2+（X+1）~+（x+2）~+（X+3）~=（x+4）2,.

综上所述，x=-25或23或-1,

贝i|—25<人<一24或24<b<25或

k=—25,左=24或化=0

上是正整数.

:.k—24,

故答案为：24.

15.如图，已知数轴上点A表示的数为8,8是数轴上一点，且AB=14.动点P从点A出发，以每秒5个

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单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为ts«>0).

BA

▲▲JLa

08

(1)当，=s时，PB=4；

(2)若点尸表示的数是x,当|2x+4|+|2x-6|的值最小时，贝/的取值范围是.

【答案】2或3.6\<t<2

【分析】本题考查的是绝对值的化简，一元一次方程的应用，熟练的化简绝对值是解本题的关键；

(1)先求解2对应的数，再由尸8=|8-5”(-6)|=|14-5。再建立方程求解即可；

(2)分三种情况化简绝对值，再求解代数式的值，得到|2x+4|+|2x-6|的最小值为10,此时-24xW3,再

建立方程即可得到答案.

【详解】解：(1)•••点A表示的数为8,8是数轴上一点，且他=14,

.•.8—14=—6,即B对应的数为-6,

而尸运动中对应的数为：8-5Z,

PB=|8-5f-(-6)|=|14-5z|,

PB=4,

：.|14-5/|=4,

14—5r=4或14-5r=-4,

解得：1=2或1=3.6.

故答案为：2或3.6；

(2)当％23时,

|2x+4|+|2x-6|

=2x+4+2x—6

=4x-2,

当％=3时，此时代数式有最小值10；

当一2<%<3时，

12x+4|+|2x—6|

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=2x+4+6—2x

=10,

当工«-2时，

|2x+4|+|2x-6|

——2x—4+6—2x

—2—4x9

当x=-2时，此时最小值为10；

综上：|2x+4|+|2x—6］的最小值为10,此时—24xW3,

当8-5，=-2时,解得好2,

当8-5,=3时，解得e=1,

：A<t<2.

故答案为：l<t<2.

16.已知。，b,c为正整数，且a>Z?>c若。+c,a+c,〃+人是三个连续正整数的平方，贝IJa2+/+c2的

最小值为.

【答案】1297

【分析】本题考查了一元一次方程的拓展应用，可设〃+。=("1)2,a+c=k2,〃+匕=(左+1)2,解得：

a=)+2k,b=1/+i,©=)一2k,即可求解；会解含有参数的一元一次方程是解题的关键.

222

【详解】解：b+c,a+c,a+b是三个连续正整数的平方，

可设6+c=(左一I),,a+c=k2,a+b=(k+lf,

解得：=-k2+2k,b=-k2+l,c=-k1-2k,

a222

a,b,。为正整数，

1,

:.-k2-2k>l,

2

上是正整数，

:.k>6,

.,.a>30,b>19,c>6,

a2+b2+c2>n91,

的最小值为1297；

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故答案：1297.

17.如果p,g是非零实数,关于X的方程II2023X-2024|-0=-4始终存在四个不同的实数解,则

上+皿+理+£+*的值为

Ip+q\\p-q\Ipq\\p\\q\

【答案】1

【分析】本题考查含绝对值的一元一次方程的解，熟练掌握绝对值的性质，能够确定4<0且lpl>lql是解题

的关键.

【详解】解：；方程II2023x-2024\-p\=-q,

:.-q>G,即q<0,

2023%-2024|一2=q或12023%-2024|—p=-q,

2023x-2024|=q+p或12023%-2024|=p-q,

方程始终存在四个不同的实数解，

p+q>0,p-q>0,

，p>0且|p|>|q|,

•产+N+当+吕+g=l+lT+—=l

\P+Q\\P-Q\\PQ\\P\14

故答案为：1.

18.已知，直角梯形的上底为12厘米，下底为18厘米，高为12厘米.正方形的边长为13厘米，起始状

态如下图所示.若正方形固定不动，把直角梯形以2厘米/秒的速度向右沿直线平移，设直角梯形的平移时

间为，秒，两个图形的重叠部分面积为S平方厘米，则当S=60时，7=.

【答案】4或13/13或4

【分析】本题考查一元二次方程的几何应用，直角梯形，长方形的面积等知识，分①当线段OE未进入正方

形内部时，②当线段OE进入正方形内部，但点C还在线段77上时，③当点C在线段77的延长线上，但

未进入正方形内部时，④点C在线段27的延长线上，线段DE在正方形内部，且AB进入正方形内部时，⑤

当线段OE由正方形内部转为不在内部，但4B还在正方形内部时，⑥当线段由正方形内部转为不在内

部时，共六种情况讨论列出方程或推导S片60即可得解.

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【详解】解：标记和作图如下，其中DEL3C于E,四边形ABCO是直角梯形，四边形FGm是正方形:

依题意可知，钻=。£=12厘米，ADuBEulZ厘米，3C=18厘米，

/.CE=BC—8E=6厘米，

1100

22

/.5ACB£=-CEZ）£=-X6X12=36（平方厘米）,S四边形3g=AB=12=144（平方厘米）

①当线段OE未进入正方形内部时，CF=2t厘米，bWCE即2/W6,

：.0<t<3,

BEFCI

此时重合部分是CPF,S=S.PF<Z8E=36平方厘米，

即此时无解，

②当线段OE进入正方形内部，但点C还在线段双上时，CF=2f厘米，CE<CF<FI,即6<2Y13,

则重合部分是直角梯形CDPF,Ef1=OP=B-CE=（2/-6）厘米，

•••S=S直角梯形处F=：（DP+CF）3E=g（2-6+2r）xl2=60,

解得：t=4；

③当点C在线段27的延长线上，但AB未进入正方形内部时，CF=2t厘米，f7<CFW3C即13<2Y18,

EF=CF-CE=（2r-6）厘米

6.5<t<9,

第20页共108页

此时重合部分是五边形PFIQD,S=S4tl形PFIQD>S四边形1Kpp=EFy.DE=12（2r-6）=24？—72>24x6.5—72=84

平方厘米,

即此时无解,

④点C在线段网的延长线上，线段OE在正方形内部，且"进入正方形内部时，CF=2f厘米，歹=27厘

米，BC<CF<CE+FI,即18<2/<6+13,

厘米,

S=S五边形的7B>S四娜ADEB=A廿=12-=144（平方厘米）,

解此时无解；

⑤当线段OE由正方形内部转为不在内部，但A3还在正方形内部时，CF=2r厘米，CE+FI<CF<BC+FI,

即6+13V2f<18+13,

9.5<r<15.5,

则重合部分是长方形ABIP,=F7-BF=F7-CF-BC=(31-2()厘米,

■-$=S长方形皿=3/勿E=(31-2。义12=60,

解得：r=13；

⑥当线段AB由正方形内部转为不在内部时，CF=2f厘米，BC+FI<CF,即18+13W2/,

第21页共108页

Z>15.5,

则此时重叠部分为线段或无重叠，无解,

综上所述：r=4或13.

故答案为：4或13.

类型三函数求值

19.如图，在平面直角坐标系xQy中，点4（石,生）、3（々,必）在双曲线＞=:上，且。＜玉（尤2,分别过点A,

点B作x轴的平行线，与双曲线y=Z分别交于点C,点。.若AO3的面积为则土的值为______

尤4BD

【分析】作AF轴，作_Lx轴，用含为、了2的代数式，表示出AF、BH、F77的长，根据AC〃瓦）〃x

A「ACx

轴，表示出C、。的坐标，进而表示出AC、8。的长，代入土，得至=—，根据反比例函数的几何

BDBD%

9

意义，得到SA°B=S梯映尸.=7,代入梯形面积公式，应用因式分解，得至[]%=2为，即可求解，

本题考查了，反比例函数的几何意义，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的几何意义.

【详解】解：过点A作人尸_1_了轴于点产，过点3作8"J_x轴于点

第22页共108页

•.,点人（石,乂）、*%2，%）在双曲线上，

33

/.A尸二一,BH=—,FH=x2-x,,

xxx2

・・•AC〃&）〃〜轴,

33

，点。纵坐标为：不，点。纵坐标为：—,

9_9

...点C横坐标为：3=3再，点。横坐标为：3=3%

%X2

.AC_3%一玉_%

*BD3X2-x2x2

•••uvAOF~=°QBOH，

・___9

,,SAOB=SAOHB_SAOF=SAOHB_SAOF=S梯形A尸"5=］，

22

，（A尸++兀卜2一*）_9，整理得：2x2-3xlx2-2xl=Q,即：（2x2+x,）（x2-2x,）=0,

~^2~2~4

2X2+玉=0或％—2%=0,

=X

X2~~1（舍），％2=2%，

.AC_/%_1

**BDx22xx2，

故答案为：g.

CDi

20.如图，在Rt^ABC中，ABAC^90°,B（-6,0）,C8与y轴交于点。，一=：,点C在反比例函数

BD4

y=：（尤＞0）的图象上，且无轴平分/ABC,则4的值为.

第23页共108页

【分析】作）轴的垂线，构造相似三角形，利用比）=4CD和3（-6,0）可以求出C的横坐标，再利用三角形

相似，设未知数，由相似三角形对应边成比例，列出方程，求出待定未知数，从而确定点。的坐标，进而

确定人的值.

【详解】解：过。作轴，垂足为E,如图：

・.・5(-6,0),

,OB=6,

ZCED=ZBOD=90°,ZCDE=ZBDO

：.CDES'BDO,

,CEDECD_1

3

ACE=~；OD=4DE,

2

又,・“轴平分/CBA,BO±AD,

：.ZBOA=ZBOD=90°,ZABO=/DBO,

又,：OB=OB,

：.△5OA四△BOD(ASA)

JAO=OD,

•・・ZCAB=9Q0,

：.ZCAE+ZBAO=90°,

第24页共108页

又ZOBA-^-ZOAB=90°,

・•・NOBD=NOBA=NCAE,

又・・・NBOD=NCEA=90°