广西钦州市2024-2025学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）

广西钦州市2024-2025学年高二数学上学期期末考试试题

（考试时间：120分钟；赋分：150分）

第I卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符

合题目要求的.（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效.）

1.若直线过点（点—3）和点（。，-4）,则该直线的方程为

A.y-^-x-4B.y-^-x+4

•3-3

C.y=s]3x-6D.y-^-x+2

-3

【答案】A

【解析】

【分析】

（法一）利用直线的两点式方程干脆求解；

（法二）利用斜率公式知直线的斜率，再用点斜式写出直线方程.

【详解】解：（法一）因为直线过点（指,一3）和点（O,T）,

所以直线的方程为—[八）="f，整理得＞=，3%一4；

y-（-4）%-0-3

（法二）因为直线过点（逐3）和点（0,-4）,所以直线的斜率为左=¥，

所以直线的方程为y+4=/x,整理得y=—4；

故选：A.

【点睛】本题主要考查直线的两点式方程的应用，属于基础题.

22

2.己知椭圆°：=+3=1（。〉6〉0）的左、右焦点分别为百，工，若椭圆上一点到焦点耳的

a~b~

最大距离为7,最小距离为3,则椭圆。的离心率为（）

【答案】B

【解析】

【分析】依据点P（九,y）在椭圆上得二+与=1,且—aWxKa,再利用两点距离求得|「制=£》+a,

aba

从而可确定|尸E|的最大值与最小值，即可求得。的值，即可得离心率e=?的值.

22

【详解】解：设椭圆的半焦距为C,若椭圆上一点P（x,y）,则=+==1,且—aKxKa

ab

又耳(—c,0),^=b2+c2

则|尸团=J(x+c)2+丁=J(x+eV+/-与fx+a]=—x+a

由于一所以尸£|语=〃+尸片=〃一。=

a<x<a，Ic=7,|1mhi3

c2

于是可得a=5,c=2,所以椭圆，的离心率e=—=—.

a5

故选：B

3.已知°=（一2,1,2）,b=若。,匕，则实数/的值为（）

A.0B.-4C.1D.4

【答案】B

【解析】

【分析】由空间向量垂直的坐标表示进行计算即可.

详解】aVb>

a,b=（—2）x（-1）+lx.+2xl=4+f=0,

t——4.

故选：B.

4.我们知道，在日常学习与生活中养成依据现实世界的情景提出问题的习惯对培育自己的创新素养起着至

关重要作用.关于实际情景“日常洗衣服都要经验两个阶段，第一阶段是用去污剂搓洗衣服，其次阶段是漂

洗衣服.一般来讲要漂洗多次，漂洗的次数越多衣服越干净”，提出的问题最恰当的是（）

A.在给定漂洗所用的清水量的前提下，选择什么牌子的洗衣粉能使衣服更干净？

B.在给定漂洗衣服的前提下，漂洗所用的清水量多少合适？

C.在给定漂洗所用的清水量的前提下，漂洗时放多少衣物才能使衣服干净？

D.在给定漂洗所用的清水量的前提下，漂洗多少次能使衣服干净？

【答案】D

【解析】

【分析】依据给定条件，结合各选项的条件分析、推断作答.

【详解】对于A,好的洗衣粉，去污实力强，但必需经过多次漂洗才能将洗衣粉及污物去掉，所提出问题与

漂洗次数无关，A不是；

对于B,漂洗所用的清水量多，附着衣服的污物经过一次漂洗，去掉的不多，所提出问题与漂洗次数无关,

B不是；

对于C,漂洗时放一件衣物，若只漂洗一次，去掉的污物不多，所提出问题与漂洗次数无关，C不是；

对于D,用适当的清水量，多次漂洗，能使衣服干净，提出的问题最恰当，D是.

故选：D

22

5.双曲线C:二-需=1的左右焦点分别为耳，B，点户在双曲线。上且冏1=20,则|明等于（）

A.14B.26C.14或26D.16或24

【答案】C

【解析】

【分析】依据双曲线的方程可得刃4c,由俨闾-|P『=2a即可求解.

【详解】由双曲线的方程可得。=3力=4,。=5,故归用*-a=2.

因为归国-归川=2a=6,故俨闾-20卜6,解得|尸引=14或26.

故选:C.

6.已知向量勺=（一2,0,—2）,%=（2,2,0）分别为平面a和平面厂的法向量，则平面a与平面厂的夹角

为（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

【答案】C

【解析】

【分析】依据坐标可求出cos%-g，依据夹角的范围以及平面的夹角与平面法向量之间的关系即可

求出答案.

|IT|f-unLULU

【详解】解：由已知可得|川二212,%=2.2,2x2+0x2+（—2）xO=T,

uuu

产un-41

所以cos。％%

2后x2拒—2,

设。为平面1与平面夕的夹角，则qi,90,

,iruu

又cos0=cos（々,乙一,

2

所以。=60.

故选：c.

7.已知圆。：/+/=/&〉0）上有且只有两个点到直线/：3x—4y—15=0的距离为1,则圆。半径r

的取值范围为（）

A.（2,4）B.[2,4]C.（2,3]D.[3,4）

【答案】A

【解析】

【分析】求出到直线，的距离为1的点的轨迹，再依据给定条件，数形结合列出不等式求解作答.

【详解】平面内到直线/距离为1的点的轨迹是与直线/平行且距离为1的两条直线/1」2,

|m-15|.

设/"的方程为3%—4'—m=0（m¥15）,则加2+（_4）2=1'解得机=10或加=20,

即直线/i：3x—4y—10=0,直线“：3x—4y—20=0,

如图，圆。：炉+丁2=/（厂〉0）上有且只有两个点到直线/的距离为1,则圆。与4相交，与4相离,

,,1-101°,,1-2014

圆。的圆心0（0,0）到直线/］的距离4=@+（—4）2=2，到直线,2的距离&=游+（_4）2=4'

所以圆。半径r的取值范围为2＜r＜4，即re（2,4）.

故选：A

8.设（再，孙玉,左4,天）是1，2,3,4,5的一个排列,若（七一%）（%+1-％+2）＜0对一切ie{L2,3卜恒成

立，就称该排列是“交替”的，则“交替”的排列的数目是（）

A.16B.25C.32D.41

【答案】C

【解析】

【分析】由已知可知当为＜々时，此时有％=5或%=5.由“交替”的排列的概念可得，当々=5时，

%=3或4=4,分别求解即可得到当々=5时，%=3或%=4时，有8种方法.同理可求得当％=5,

々=3或々=4,此时也有8种方法.然后得出石＞当时，与=1或％=1时“交替”的排列数目，相加即

可得出结果.

【详解】由已知可得（%一%）（%2—毛）＜0，（%—毛）（七一％4）＜。，（七一%4）（%4—毛）＜0.

（i）当％-々＜0时，药＜马，可推出々＞演，x3＜%4,x4＞x5,

此时有x2=5或4=5.

①当马=5时，由已知可得％=3或%=4

当9=5,%=3时，此时必有%=4,排列可以是（4,5,1,3,2）或（4,5,2,3,1）两种；

当々=5时，％=4时，此时％1，演,毛可选择1，2,3中的随意排列，共A；=6中排列.

综上所述，共有8种方法；

②同理可得当％=5,可得々=3或々=4,也有8种方法.

综上所述，当石＜々时，“交替”的排列的数目是16；

（ii）当占一刀2＞。时，x＞%2，可推出/＜退，%3＞x4,x4＜x5,

此时有工2=1或=1・

①当刀2=1时，由已知可得=2或%=3

当％2=1，%=3时，此时必有占=2,排列可以是（2,1,4,3,5）或（2,1,5,3,4）两种;

当々=1时，%=2时，此时%,%3，%5可选择3，4,5中的随意排列，共A；=6中排列.

综上所述，共有8种方法；

②同理可得当％=1,可得访=2或々=3,此时也有8种方法.

综上所述，当王时，“交替”的排列的数目是16.

所以，“交替”的排列的数目是32.

故选：C.

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无

效.）

9.已知两条不重合的直线/Q=%x+伪，/2：y=42%+4，下列结论正确的是（）

A.若（〃4，则左I=左2B.若左1=左2，则卜〃，2

C.若左]左2=1，则~L，2D,若_1_4，贝!I匕左2=—1

【答案】ABD

【解析】

【分析】依据直线的位置关系与斜率关系即可推断.

【详解】对A,若1]〃％,则＜=%，故A正确；

对B,若发=&，又两直线不重合，则丸〃/2,故B正确;

对C,若左/2=1，则与4不垂直，故c错误;

对D,若4_1_4，则秘?=T,故D正确.

故选：ABD.

22

若椭圆C:土+4

10.=1（6〉0）的左、右焦点分别为耳，F2,则下列6的取值能使以耳耳为直径的圆

8b2

与椭圆C有公共点的是（）

A.b='J2B.b=5/3C.b=2D.b=y/5

【答案】ABC

【解析】

【分析】依据给定的条件，确定以斗心为直径的圆半径，再结合椭圆的性质列出不等式求出6的范围作答.

22

则以4耳为直径的圆的方程为必+产=。2,

【详解】令椭圆C:三■+1r=10〉0）的半焦距为C,

因圆好+丁=02与椭圆。有公共点，则有,22/，即8—^2/,解得0<bW2,明显选项A,B,C满

意，D不满意.

故选：ABC

11.下列结论正确的是（）

A.两条不重合直线/r4的方向向量分别是a=（2,3,-1）,b=（-2,-3,l）,则〃4

B.两个不同的平面夕的法向量分别是a=（2,2,—1）,v=（-3,4,2）,则a，尸

C.直线/的方向向量a=（1,2,—1）,平面二的法向量相=（3,6,左），若/_La,贝蛛=15

D.若AB=（2,-1,T）,AC=（4,2,0）,AP=（0,^,-8）,则点P在平面/8C内

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A,验证二》是否平行即可；对于B,验证"#是否垂直即可；对于C,依据线面关系得R/0,

求解%得值即可推断；对于D,验证是否四点共面即可.

【详解】解:对于A,因为。=（2,3,-1）"=（一2,-3,1），所以=―人，又两条不重合直线4,乙，所以，

故A正确；

对于B,平面。，夕的法向量分别是"=（2,2,-1）,v=（—3,4,2）,且“3=—6+8—2=0,所以

则。_L尸，故B正确；

对于C,直线/的方向向量。=（1,2,—1）,平面£的法向量7〃=（3,6,左），若则a〃。，则上=—3,

故C错误；

对于D,因为=（2,—1,—4）,AC=（4,2,0）,AP=（0,-4,-8）,存在实数4〃使得AB=AAC+〃AP,

2=42

则—1=24—4〃，解得彳=工,〃=工，则AB=！AC+LAP,所以A,8,C,P四点共面，即点尸在平面

2222

—4=—8〃

26c内，故D正确.

故选：ABD.

12.天山社区将红树林中学的甲、乙、丙、丁4名红志愿者分别支配到4B,C三个村民小组进行暑期社

会实践活动，要求每个村民小组至少支配一名志愿者，则下列选项正确的是()

A.共有18种支配方法

B.若甲、乙两名志愿者被支配在同一村民小组，则有6种支配方法

C.若两名志愿者被支配在/村民小组，则有24种支配方法

D.若甲志愿者被支配在力村民小组，则有12种支配方法

【答案】BD

【解析】

【分析】对于A：4名志愿者先分为3组，再安排到3个社区，对于B：甲、乙被支配到同一村民小组，先

从3个村民小组中选一个支配甲和乙，对于C：/村民小组须要两名志愿者，所以先从4名志愿者中选择2

名支配到/村民小组，对于D；甲志愿者被支配在/村民小组，分两种状况探讨，即可推断各个选项的正误.

【详解】对于A：4名志愿者先分为3组，再安排到3个社区，

所以支配方法为：C；A；=36,A错误；

对于B：甲、乙被支配到同一村民小组，先从3个村民小组中选一个支配甲和乙，

剩余两个村民小组和志愿者进行全排列，所以支配方法为：C；A；=6,B正确；

对于C：/村民小组须要两名志愿者，

所以先从4名志愿者中选择2名支配到A村民小组，

再把剩余两个村民小组和志愿者进行全排列，

所以支配方法为：C；A；=12,C错误；

对于D；甲志愿者被支配在/村民小组，分两种状况探讨，

当力村民小组支配两名志愿者时，先从剩余3名志愿者选出一个，分到/村民小组，

再把剩余两个村民小组和志愿者进行全排列，

所以支配方法为：C；A；=6,

当/村民小组只支配甲志愿者时，剩余3名志愿者支配到两个村民小组中去，

所以支配方法为：C；A；=6,

所以一共有支配方法为：6+6=12,D正确；

故选：BD.

第II卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13.已知点为抛物线C:y2=4x上的点，且点户到抛物线C的焦点尸的距离为3,则机=

【答案】2

【解析】

【分析】由抛物线的方程求出抛物线的焦点和准线，然后利用抛物线的定义结合已知条件列方程求解即可.

【详解】抛物线C：V=4x的焦点为(L0),准线为x=—1,

因为点P(m,〃)为抛物线C:/=4x上点，且点户到抛物线C的焦点厂的距离为3,

所以加+1=3,得〃z=2,

故答案为：2

14.当直线/：%-四+加一2=0截圆a炉+y2—2x—3=0所得的弦长最短时，实数0的值为.

【答案】-1

【解析】

【分析】由已知可得直线/过定点4(2,1),当C4，/时，弦长最短.依据斜率关系即可求出实数加值.

【详解】由已知可将直线/的方程化为x-2-m(y-l)=0,

x—2=0[x=2/、

解《।八可得《一所以直线/过定点A(2,l).

y—l=0[y=i

又由圆的方程可得圆心C(LO)，半径厂=*2)，°2-4x(—3)=2,

2

则,q=J(i_2j+(0_i)2=后＜1,所以点A在圆内.

当AC，/时，圆心。(1,0)到直线/的最大距离，直线,被圆截得的弦长最短.

0-11

因为您c=——=1，所以直线/的斜率为-1，即一xl二—1,所以机=-L

1-2m

故答案为：-1.

345

15.已知(%-3)(%+2)4=a。++a3x+a4x+a5x,则实数出的值为.

【答案】-40

【解析】

【分析】先求出(x+2)4的绽开式的通项=2kC^-x4-k,再分别求出X-3选取X以刚好—3,X2的系数，

相加即可得出结果.

【详解】(％+2)4的绽开式的通项《+1=©7/-无'2<:=2*(：：71,左=01,2,3,4.

当x—3选取尤时，应取(x+2)4绽开式中含尤项，令4—左=1,则左=3,7；=23C1-X=32X,此时产的

系数为32；

当X—3选取—3时，应取(x+2)4绽开式中含炉的项，令4—左=2,则氏=2,7；=22C^-x2=24x2,此

时/的系数为—3x24=—72.

所以g=32—72=—40.

故答案为：-40.

16.“结题”是探讨小组向老师和同学们报告数学建模探讨成果并进行答辩的过程，结题会是展示探讨小

组”会用数学眼光视察现实世界，会用数学思维思索现实世界，会用数学语言表达现实世界”的重要场合.

一般来说，结题会是结题的基本形式，小组长负责呈现探讨的核心内容.假设你是探讨小组的组长，探讨的

实际问题是“车辆的运行速度和刹车距离之间关系”，那么，为了打算结题会材料，你整理探讨成果的核

心内容是：.

【答案】论文

【解析】

【分析】依据课题结题的一般形式即可写出答案.

【详解】依据课题结题的一般形式而言，论文是整理探讨成果的核心内容，

故答案为：论文.

四、解答题：本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知点P(2,4)和直线Z2x+y+l=0.

(1)求经过点户且与/平行的直线方程；

(2)求经过点户且在两坐标轴上截距相等的直线方程.

【答案】⑴2x+y-8=0；

(2)y=2x或x+y-6=0.

【解析】

【分析】(1)依据已知可设直线方程为2x+y+m=0,代入点尸坐标求出机的值即可得出直线的方程；

(2)当直线在两坐标轴上截距都为0时，求出直线的斜率，得出直线的方程；当截距不为0时，可设直线

方程为x+y+〃=0,代入点P坐标求出n的值即可得出直线的方程.

【小问1详解】

设与直线/平行的直线方程为2x+y+机=0.

因为直线经过点P（2,4）,所以2义2+4+机=0,解得机=—8.

所以直线方程为2x+y—8=0.

【小问2详解】

当经过点P（2,4）且在两坐标轴上截距都为0时，

斜率左=生心=2,此时所求直线为y=2x；

2-0

当经过点尸（2,4）且在两坐标轴上截距都不为0时，

由已知可设直线方程为x+y+n^0,

因为直线经过点P（2,4）,所以2+4+〃=0,解得“=-6.

所以直线方程为x+y—6=0.

综上所述，直线的方程为y=2x或x+y—6=0.

18.已知椭圆C的中心在坐标原点，左焦点耳和右焦点心都在x轴上，长轴长为12,离心率为

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知点M为椭圆C上一点且在第一象限.若耳心为等腰三角形，求点M的坐标.

22

【答案】（1）土+二=1

3620

⑵（3,婀

【解析】

【分析】（1）依据题意布列基本量的方程组，即可得到结果；

（2）探讨两腰的位置，结合椭圆定义即可得到结果.

【小问1详解】

'2a=12

依据题意：＜c2，解得〃=6,c=4.

3

22

尸=4一°2=20,椭圆c的标准方程为J+2=1.

【小问2详解】

,.•加在第一象限，.」上笔|>|“居|,

当|明|=|耳司=2c=8时，|M|=2a-|晒|=4与|西|>|明|冲突.

所以|上明|=|耳阊=2c=8,即|上里|=4,

设点M的坐标为（%0,%）（%>O,yo>O）,则S.MF岛=g•阳用•%=4%，

又S“F退=gx4xj82_22=4底,...4阳=4后，解得先=而，

.•.互+巫匚=1，解得％=3（%=—3舍去），，加的坐标为（3,、厉）.

3620V'

19.如图，在四棱锥P—A5CD中，底面ABCD是矩形，平面ABC。，PD=DA=2,DC=1,

M是的中点，点。在PM上，且PQ=2QM.

（1）证明：平面八4M；

（2）求平面上4M与平面PDC的夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵B.

3

【解析】

【分析】（1）利用坐标法或几何法利用线面垂直的判定定理证明；（2）利用空间向量计算面面角.

【小问1详解】

证明：由题PD，平面ABCD,底面ABCD为矩形，以。为原点，直线ZM,DC,。。所在直线分别为

无轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。-孙z如图:

则A（2,0,0）,D（0,0,0）,C（O,1,O）,"（1,1,0）,P（0,0,2）,

.（222、

DQ=C，§，§}AM=（-1,1,0）,AP=（-2,0,2）,

DQAM=Q：.DQ1AM,

,：DQAP=0,：.DQ1AP,

,：AMAP=A，且口平面已4M,.,•DQJ-平面A4M.

（法二）证明：由题PDJ_平面ABCD,底面ABCD为矩形，以。为原点，直线DA,DC,。尸所在直

线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。-孙z如图：

则4(2,0,0),£>(o,o,o),C(0,l,0),M(1,1,0),P(0,0,2),

设〃=（九,y,z）是平面PAM的一个法向量.

AM=(-1,1,0),AP=(-2,0,2).

x=l

n.AM=-x+y=0

取％=有<y=i

n.AP=-2x+2z=0

Z=1

，222、

«=(1,1,1)，

2

则针，DQ//n.

/.DQ，平面A4M.

(法三)证明：连接DM

：PDJ_平面ABC。，4^匚平面48。。，，/301411.

在，AMD中，AM=DM=叵,AD=2.

AM~+DM2=AD~^AM±DM，且PDcDAf=D，

AMI平面POM，

又；DQu平面PDM,AM_LDQ.

^6

,；C"PDM=^=^=B,

又,:/八"，QMT百，

PMR3cosZDMQ=-----=-4^=——

DM叵3

：./\PDMs/\DQM,：.DQ±PM.

且AMPM=M,且闻11,/＞河口平面八铝以，；.。。，平面八铝以.

【小问2详解】

（222、

（接向量法）由（1）可知平面A4M的法向量为（也可为“=（1,1,1））.

平面PCD的一个法向量为加=（1,0,0）.

平面序〃与平面外C的夹角的余弦值为同

3

（法二）延长4弘DC,交于点儿连接加

p,

Ne平面B4M,；NeCD,Ne平面PCD.

，平面E4Mc平面尸CD=PN.

过，做。TJ_PN于T,连接AT.

：PDJ_平面ABC。，，P£>J_AD.

又ADLCD,CDPD=D,

，ADJ_平面PCD,又尸Nu平面PC。，ADLPN.

又,：DTLPN,DTryAD=D，DT,ADu平面A£)T,

PNA平面ADT,/.PNA.AT,

/.NA7D为二面角A—PN—O的平面角.

在小△AID中，AT=娓,

DT_血

cosZATD=

而一"一I"

/.平面PAM与平面PDC的夹角的余弦值为之.

3

20.用0,1,2,3,L,9这十个数字.

(1)可组成多少个三位数？

(2)可组成多少个无重复数字的三位数？

(3)可组成多少个小于500且没有重复数字的自然数？

【答案】(1)900；

(2)648；(3)379.

【解析】

【分析】(1)依据题意，分别得出三位数各位的种数，依据分步乘法计数原理相乘即可得出结果；

(2)依据题意，分别得出三位数各位的种数，依据分步乘法计数原理相乘即可得出结果；

(3)依据题意，分成三种状况，分别计算得出各种状况的种数，依据分类加法计数原理相加即可得出结果.

【小问1详解】

要确定一个三位数，可分三步进行：

第一步，确定百位数，百位不能为0,有9种选法；

其次步，确定十位数，有10种选法；

第三步，确定个位数，有10种选法.

依据分步乘法计数原理，共有9x10x10=900种.

【小问2详解】

要确定一个无重复数字的三位数，可分三步进行：

第一步，确定百位数，有9种选法；

其次步，确定十位数，有9种选法；

第三步，确定个位数，有8种选法.

依据分步乘法计数原理，共有9义9义8=648个无重复数字的三位数.

【小问3详解】

由己知，小于500且没有重复数字的自然数分为以下三类，

第一类，满意条件的一位自然数：有10个，

其次类，满意条件的两位自然数：有9x9=81个，

第三类，满意条件的三位自然数：

第一步，确定百位数，百位数字可取1,2,3,4,有4种选法；

其次步，确定十位数，有9种选法；

第三步，确定个位数，有8种选法.

依据分步乘法计数原理，有4x9x8=288个.

由分类加法计数原理知共有10+81+288=379,共有379个小于500且无重复数字的自然数.

21.平行六面体ABC。-aqGR中，以顶点/为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°.

G

6

(1)求线段AG的长；

⑵若A5=a，AD=b，AA=c，用空间向量的一组基底+—表示向量入瓦

【答案