人教版八年级数学上册整式的乘法和因式分解《因式分解（第1课时）》示范教学设计

因式分解（第1课时）教学目标1．理解因式分解的概念，知道因式分解与整式的乘法是方向相反的变形．2．理解公因式的概念，会确定公因式．3．掌握因式分解中的提公因式法，会用提公因式法进行多项式的因式分解．教学重点理解因式分解的概念，会用提公因式法进行多项式的因式分解．教学难点正确理解因式分解的概念，准确找出公因式．教学过程知识回顾【问题】计算：（1）x(x＋1)；（2）(x＋1)(x－1)；（3）(x＋1)(x＋1)．【答案】解：（1）x(x＋1)＝x2＋x；（2）(x＋1)(x－1)＝x2－1；（3）(x＋1)(x＋1)＝x2＋2x＋1．【师生活动】教师提问：观察这些式子，你发现了什么？学生小组讨论，选出代表回答：利用整式的乘法运算，有时可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式．【设计意图】带领学生复习已经学过的整式的乘法的知识，巩固基础，为本节课学习因式分解做好准备．新知探究一、探究学习【问题】1．在式的变形中，可以将一个多项式写成几个整式的乘积的形式吗？请把下列多项式写成整式的乘积的形式：（1）x2＋x＝_____________；（2）x2－1＝_____________；（3）x2＋2x＋1＝_____________．【师生活动】教师引导学生根据整式的乘法，猜想出结果．【答案】x(x＋1)(x＋1)(x－1)(x＋1)2【新知】上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．【追问】观察下面的动图，你发现因式分解与整式的乘法有什么关系？【师生活动】教师出示动图，学生观察动图并尝试归纳．【答案】因式分解与整式的乘法的关系：因式分解与整式的乘法是方向相反的变形．【设计意图】通过具体问题的解决，让学生在观察、思考和实践的过程中，了解因式分解的概念，发现因式分解与整式的乘法的互逆关系，为探索因式分解的具体方法做铺垫．【练习】1．下列变形中，属于因式分解变形的是__________．（填序号）（1）a(b＋c)＝ab＋ac； （2）x3＋2x2－3＝x2(x＋2)－3；（3）a2－b2＝(a＋b)(a－b)； （4）a2－2a＋1＝(a－1)2．【答案】（3）（4）【解析】（1）由整式的乘积转化为多项式的形式，属于整式的乘法；（2）多项式变形后仍为多项式的形式，不属于因式分解；（3）（4）都是由多项式转化成整式的乘积的形式，属于因式分解．【设计意图】通过实例辨析，让学生进一步理解因式分解的概念．【问题】2．你能试着将多项式ma＋mb－mc分解因式吗？【师生活动】教师提问：观察多项式ma＋mb－mc，它的各项有什么特点？学生独立观察思考，发现这个多项式的各项都有一个公共的因式．教师给出公因式的概念．【新知】多项式ma＋mb－mc，它的各项都有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式．【师生活动】学生先独立思考，再由学生代表展示求解过程，最后教师补充说明．【答案】由m(a＋b－c)＝ma＋mb－mc，可得ma＋mb－mc＝m(a＋b－c)．【追问】分解后的各因式与原多项式有何关系？【答案】ma＋mb－mc分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式a＋b－c是ma＋mb－mc除以m所得的商．【新知】一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．【设计意图】让学生加深对因式分解与整式的乘法的关系的理解，了解公因式的概念，初步理解提公因式法分解因式．【问题】3．如何寻找公因式？6a3b2－2ab3c－4ab2的公因式是什么？【师生活动】师生共同分析，并解答问题．教师引导学生理解找6a3b2，－2ab3c与－4ab2的公因式的基本步骤：先看系数的绝对值6，2与4的最大公因数；再找出三项6a3b2，－2ab3c与－4ab2字母部分都含的字母a和b，然后找出三项都含的字母a和b的最低次幂，进而选定6a3b2，－2ab3c与－4ab2的公因式．【答案】6a3b2－2ab3c－4ab2的公因式是2ab2．【归纳】确定公因式要做到“三定”（1）定系数：各项系数都是整数时，取各系数的绝对值的最大公因数；（2）定字母：公因式的字母是各项都含有的字母；（3）定指数：各项都含有的字母的指数，取最小的指数．【设计意图】通过解决具体问题，让学生在观察、思考和实践的过程中总结确定公因式的步骤，为探索提公因式法分解因式的基本步骤做铺垫．【练习】2．找出下列各题中的公因式：（1）ax＋ay＋a；（2）3mx－6nx2；（3）4a2b＋10ab2；（4）12x2yz－9x3y2．【答案】解：（1）ax＋ay＋a的公因式为a；（2）3mx－6nx2的公因式为3x；（3）4a2b＋10ab2的公因式为2ab；（4）12x2yz－9x3y2的公因式为3x2y．【设计意图】通过实例辨析，让学生加深对公因式的概念的理解．二、典例精讲【例1】把8a3b2＋12ab3c分解因式．【分析】先找出8a3b2与12ab3c的公因式4ab2，再提出公因式．提出公因式4ab2后，另一个因式2a2＋3bc就不再有公因式了．【师生活动】教师提出问题，学生独立思考并回答．【答案】解：8a3b2＋12ab3c＝4ab2·2a2＋4ab2·3bc＝4ab2(2a2＋3bc)．【追问】如果提出公因式4ab，另一个因式是否还有公因式？【答案】解：8a3b2＋12ab3c＝4ab·2a2b＋4ab·3b2c＝4ab(2a2b＋3b2c)．如果提出公因式4ab，另一个因式还有公因式b．【归纳】提公因式时要注意找系数的最大公因数，相同字母的最低次幂．【设计意图】通过例题，引导学生了解提公因式法分解因式的基本步骤，积累找公因式的经验，知道用提公因式法分解因式后，应保证含有多项式的因式中再无公因式．【例2】把2a(b＋c)－3(b＋c)分解因式．【分析】b＋c是这两个式子的公因式，可以直接提出．【师生活动】学生独立完成，一名学生板书，师生共同交流．【答案】解：2a(b＋c)－3(b＋c)＝(b＋c)(2a－3)．【归纳】如何检查因式分解是否正确？（1）因式分解的结果要写成乘积的形式；（2）分解后的各个因式不再含有公因式；（3）相同因式要写成幂的形式；（4）检查是否漏项，即在分解因式完成后，按照整式的乘法把因式再乘回去，看结果是否与原式相等．如果相等，就说明没有漏