人教版八年级数学上册《多边形及其内角和（第2课时）》示范教学设计

多边形及其内角和（第2课时）教学目标1．通过不同的方法探索多边形的内角和公式与多边形的外角和定理．2．灵活运用多边形的内角和公式与多边形的外角和定理解决有关问题．3．掌握四边形的对角关系．教学重点通过不同的方法探索多边形的内角和公式与多边形的外角和定理．教学难点灵活运用多边形的内角和公式与多边形的外角和定理解决有关问题．教学过程知识回顾1．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．2．正方形、长方形的内角和都等于360°．新知探究一、探究学习【问题】任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢？你能利用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360°吗？【师生活动】教师引导学生分析解决问题的思路：只需连接一条对角线，即可将一个四边形分割为两个三角形．【答案】已知：四边形ABCD．求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°．证明：如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形．由此可得∠DAB＋∠B＋∠BCD＋∠D＝∠1＋∠2＋∠B＋∠3＋∠4＋∠D＝(∠1＋∠B＋∠3)＋(∠2＋∠4＋∠D)．∵∠1＋∠B＋∠3＝180°，∠2＋∠4＋∠D＝180°，∴∠DAB＋∠B＋∠BCD＋∠D＝180°＋180°＝360°．即四边形的内角和等于360°．【设计意图】让学生感受对角线在探索四边形内角和中的作用，体会化归思想．【问题】你还有其他方法能证明任意四边形的内角和等于360°吗？【答案】证明：如图，在四边形内任取一点O，连接点O与各个顶点．此时，四边形变成有公共顶点的4个三角形．∵这4个三角形的内角和是4×180°，以O为公共顶点的4个角的和是360°，∴四边形的内角和为4×180°－360°＝360°．即四边形的内角和等于360°．【设计意图】鼓励学生从不同的角度思考问题，丰富学生的解题经验．【问题】你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少吗？【师生活动】学生分组讨论，然后指定代表汇报．【答案】从五边形的一个顶点出发，可以作2条对角线，它们将五边形分为3个三角形，五边形的内角和等于180°×3．从六边形的一个顶点出发，可以作3条对角线，它们将六边形分为4个三角形，六边形的内角和等于180°×4．【问题】通过以上过程，你能发现多边形的内角和与边数的关系吗？【新知】一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n－3)条对角线，它们将n边形分为(n－2)个三角形，n边形的内角和等于180°×(n－2)．这样就得出了多边形内角和公式：n边形内角和等于(n－2)×180°．【设计意图】让学生体会从特殊到一般的研究问题的方法，感悟化归思想的作用．【问题1】如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？【师生活动】师生共同完成此题．【答案】解：如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°．∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝(4－2)×180°＝360°，∴∠B＋∠D＝360°－(∠A＋∠C)＝360°－180°＝180°．【新知】如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补．【设计意图】通过完成此题得出四边形的对角关系．【问题2】如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？【师生活动】学生自主探究，小组讨论交流，并让小组代表讲解思路．【分析】考虑以下问题：（1）任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系？（2）六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？（3）上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？【答案】解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°．因此六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于6×180°．这个总和就是六边形的外角和加上内角和．所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于6×180°－(6－2)×180°＝2×180°＝360°．【问题】如果将六边形换为n边形（n是不小于3的任意整数），可以得到同样结果吗？【答案】解：可以，因为n边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，它们的和是180°，所以n边形内角和加外角和等于n·180°，所以n边形的外角和为n·180°－(n－2)·180°＝360°．【新知】多边形的外角和等于360°．【问题】观察下面的动图，试着从另一种角度理解多边形的外角和等于360°．【答案】如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向．在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和．由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°．【设计意图】通过理论证明和动画演示相结合的形式，让学生分别从静态与动态两个角度理解多边形外角和等于360°．二、典例精讲【例1】若一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形是正____边形，它的对角线的总条数是____．【师生活动】学生独立完成，然后全班交流．【答案】五5【解析】设此正多边形为正n边形．根据题意，得(n－2)×180°＝540°，解得n＝5．故这个正多边形对角线条数为．【归纳】利用多边形的内角和列方程求边数：已知多边形的内角和，确定多边形边数的问题，一般都是利用方程进行解决的，列方程的依据很简单，就是多边形内角和公式，所以牢记公式是关键．【设计意图】考查学生运用多边形的内角和公式解决有关问题．【例2】如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数．【师生活动】学生独立思考，然后回答问题．【分析】先将待求式中∠C，∠D，∠E转化到同一个多边形中，再将剩余的∠A，∠B，∠F，∠G转化为该多边形的内角，最后利用多边形的内角和公式求解．【答案】解：如图，连接BF．设GF与AB的交点为H，则∠A＋∠G＋∠AHG＝∠BHF＋∠ABF＋∠GFB．因为∠AHG＝∠BHF，所以∠A＋∠G＝∠ABF＋∠GFB．所以∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＝∠D＋∠C＋∠CBF＋∠BFE＋∠E＝(5－2)×180°＝540°．【归纳】求不规则多边形内角和的常用方法：（1）连线：连接两点或连对角线化成三角形或四边形问题来解决；（2）化凸：非凸多边形的计算问题要将其转化为凸多边形的问题来解决．【设计意图】让学生掌握求不规则多边形内角和的常用方法．【例3】一个多边形的每个外角都是45°，这个多边形是_____边形，它的内角和是_____．【师生活动】学生独立完成解题过程，并相互批改．【答案】八1080°【解析】方法1：因为每个外角都是45°，且多边形外角和为360°，所以360°÷45°＝8，所以是八边形．根据内角和公式计算出内角和为(n－2)×180°＝(8－2)×180°＝1080°．方法2：因为多边形的外角与相邻的内角互补，且该多边形的每个外角均为45°，所以此多边形的内角均为135°．设此多边形的边数为n．由内角和公式可得(n－2)×180°＝n×135°，解得n＝8．其内角和为(8－2)×180°＝1080°．【归纳】巧用多边形的外角方便计算：（1）多边形的外角和是一个定值，无论多边形的边数是多少，它的外角和总是360°；（2）涉及正多边形的外角时，通常应用（为正多边形的1个外角的度数）求得多边形的边数，再进行其他