信号与系统第4章 连续信号的频域分析

第4章连续信号的频域分析信号和系统时域分析方法的根本思想是将任意的输入信号分解为单位冲激信号的叠加。对LTI系统，只要知道了其单位冲激响应，即可通过卷积积分求出任意输入信号作用下系统的零状态响应。信号的分解并不是唯一的。例如，信号还可以分解为一系列正交函数的线性组合。14.1周期信号的傅里叶级数所有具有各自不同频率的正弦函数sinnΩt〔n=1，2，…〕和余弦函数cosnΩt〔n=0，1，2，…〕在时间区间〔t0，t0+2π/Ω〕范围内构成一个完备的正交函数集。同样，所有虚指数函数ejnΩt

〔n=±0，±1，±2，…〕在此时间范围内也构成一个正交函数集。傅里叶提出，一个周期信号可以用以上两种正交函数集中相互正交的假设干函数的线性组合来表示。或者说，可以将周期信号分解为这些正交函数的加权和。2图4.1.1周期信号的分解和合成34.1.1三角形式的傅里叶级数用周期函数表示的连续时间周期信号f〔t〕，如果满足狄里赫利条件，那么可表示为傅里叶级数展开式的形式，即式中，Ω=2π/T称为该周期信号的基波角频率，单位为rad/s；T为其周期，单位为s。An〔n≥0〕和φn〔n>0〕的计算公式为45图4.1.3周期矩形脉冲信号的分解和合成64.1.2指数形式的傅里叶级数根据欧拉公式，可以将式〔〕所示三角形式的傅里叶级数展开式改写为74.2.1频谱的概念通过傅里叶级数可以将时域中的周期信号分解为直流分量、基波分量和各次谐波分量之和，傅里叶级数展开式中的An，φn或傅里叶系数Fn分别代表了各分量的幅度和相位随谐波次数n〔角频率nΩ〕的变化关系，称为周期信号的频谱，其中An或|Fn|称为幅度谱，φn称为相位谱。4.2周期信号的频谱84.2.2周期信号频谱的特点观察前面的周期矩形脉冲信号和全波整流余弦信号的频谱，可以发现其中有些共同的特点。实际上，所有周期信号的频谱都具有如下特点：①离散性。周期信号的频谱An，φn或Fn都以整数变量n为自变量，频谱图由离散的谱线和点构成，这样的频谱称为离散谱。所有周期信号的频谱都为离散谱。②谐波性。周期信号的频谱中自变量n的取值对应各分量的频率，n只能取整数，因此各分量的频率只能为原周期信号基波频率的整数倍。9③收敛性。理论上说周期信号中包含无穷多个谐波分量，各谐波分量的幅度〔即幅度谱〕虽然不一定随n的增大而单调减小，但总的趋势都是按照一定规律衰减的。当n→∞时，|Fn|→0，这表达了周期信号频谱的收敛性。104.3.1非周期信号的傅里叶变换非周期信号的时间函数表达式为非周期函数，因此不能进行傅里叶级数展开。但是，可以将非周期信号视为周期T→∞的周期信号，从而得到类似的分解表达式。周期信号的傅里叶系数为4.3非周期信号的频谱密度11当T→∞时，周期信号f〔t〕变为非周期信号。此时，基波角频率Ω=2π/T趋向于无穷小，记为dω，而nΩ趋向于连续变量，记为ω。另外取t0=-T/2，那么由上式得到124.3.2非周期信号的频谱密度

通过傅里叶变换可以将信号分解为不同频率的复简谐信号的叠加，而信号的傅里叶变换F〔jω〕反映了信号中各分量的幅度和相位随其频率ω的变化关系，称为信号的频谱密度，又称为频谱密度函数或频谱函数。与周期信号的频谱Fn相同，F〔jω〕也是信号在频域中的一种描述方法，所以也称为信号的频域表达式。134.3.3典型信号的频谱密度这里根据上述傅里叶变换的定义首先求取几个满足绝对可积条件的非周期信号的频谱密度。1415前面介绍了信号的频谱密度，并通过傅里叶变换建立了信号的时域和频域描述之间的对应关系。在信号分析时，经常需要对信号进行某种运算。在时域中对信号进行运算和变换后得到新的信号，在频域中其频谱密度有何变化？与原信号的频谱密度之间又有何关系？反过来，如果信号的频谱密度发生了变化，其在时间波形或时间函数表达式上又有何变化？研究这些问题当然可以通过傅里叶变化的定义进行，但是计算过程比较复杂。4.4傅里叶变换的性质164.4.1线性性质174.4.2时移性质时移性质说明，信号在时域中沿着时间轴的平移，只是使信号的频谱密度在相位谱密度上有附加的相移-ωt0，而幅度谱密度不会发生变化。184.4.3尺度变换性质194.4.4对称性质假设f〔t〕F〔jω〕，那么204.4.5频移性质频移性质说明，在时域中将一个信号乘以频率为ω0的复简谐信号，那么其频谱密度的形状不变，只是沿频率轴向右平移ω0。利用欧拉公式和傅里叶变换的线性性质，还可得到频移性质的另外两种描述，即214.4.6卷积性质图224.4.7时域微积分性质式〔〕称为时域微分性质，式〔〕称为时域积分性质。假设f〔t〕的波形上下两局部面积相等，那么F〔j0〕=0，时域积分性质从而可简化为234.4.8频域微积分性质242526前面通过将周期信号展开为傅里叶级数，得到了周期信号频谱的计算方法。而对非周期信号，通过傅里叶变换得到了其频域描述方法，即频谱密度。频谱和频谱密度虽然都是信号的频域描述，但根据前面的定义，二者是有区别的。对实际系统进行分析时，系统中的信号可能是周期信号，也可能是非周期信号。如果对这两种信号采用不同的频域描述，将对系统的分析造成诸多不便。因此，希望将周期信号也用傅里叶变换或频谱密度来表示。4.5周期信号的傅里叶变换274.5.1根本周期信号的傅里叶变换根本周期信号主要指的是正弦信号和复简谐信号。周期信号都是功率信号，因此一定不满足绝对可积条件，不能用定义求其傅里叶变换。为此，可利用直流信号的傅里叶变换，根据频移性质求得。284.5.2一般周期信号的傅里叶变换对任一周期信号f〔t〕，可以通过傅里叶级数将其首先分解为复简谐信号分量的叠加，即图4.5.1复简谐信号、余弦信号和正弦信号的频谱图29这就是任一周期信号傅里叶变换的计算公式。该式说明，周期信号的傅里叶变换即频谱密度由无穷多个冲激构成，各冲激函数位于基波频率的整数倍位置，强度为周期信号幅度谱|Fn|的2π倍。因此，对一般的周期信号，可以先求出其傅里叶系数，再按上式求得其傅里叶变换。30图4.5.2余弦信号的频谱和频谱密度31图4.5.3周期冲激序列及其频谱密度324.5.3频谱和频谱密度的总结和比较这里再总结一下频谱和频谱密度的联系和区别。①频谱和频谱密度的物理含义都是表示将信号分解为很多不同频率的复简谐分量后，各频率分量的幅度和相位随分量频率的变化关系。因此它们都是信号的频域描述。②频谱是根据傅里叶级数得到的，而频谱密度是傅里叶变换得到的。因此，如果由频域表达式确定信号的时域表达式，应分别用不同的方法。33③非周期信号只有傅里叶变换和频谱密度。而周期信号既有频谱，也有频谱密度，它们之间可以通过式〔〕进行转换。④周期信号的频谱密度都是由冲激函数构成的。此外，许多不满足绝对可积条件的信号，如果存在傅里叶变换，其频谱密度中一般都含有冲激函数，如单位阶跃信号。34根据傅里叶级数和傅里叶变换得到信号的频谱，反映了信号中各频率分量的幅度和相位关系。在系统分析中，还经常需要从能量或功率的角度对信号进行分析和描述。能量和功率是信号在时域中的重要特征，将信号分解为正弦或复简谐信号后，其中的每个分量也都有能量或功率。信号的能量谱和功率谱可反映信号中各分量的能量和功率随着分量频率的变化关系。4.6信号的能量谱和功率谱354.6.1帕塞瓦尔定理对周期功率信号f〔t〕，假设其傅里叶系数为Fn，那么其平均功率为对能量信号f〔t〕，假设其傅里叶变换为F〔jω〕，那么其能量为36这说明，式〔〕右边的每一项代表周期信号中每个复简谐分量的平均功率，而式中右边的积分是根据时域表达式计算信号平均功率的定义式。因此，式〔〕所示周期信号的帕塞瓦尔定理说明，周期信号的平均功率等于各分量的平均功率之和。考虑到|Fn|为偶函数，并且由式〔〕可知|Fn|=An/2，代入式〔〕还可以得到周期功率信号帕塞瓦尔定理的另一种描述，即374.6.2能量谱和功率谱对能量信号，如果能够找到一个频域实函数E〔ω〕，使得信号的能量为那么函数E〔ω〕称为该能量信号的能量谱密度，简称为能量谱。能量谱反映了信号中各分量的能量随其频率的变化关系。根据帕塞瓦尔定理，显然有38这说明，能量信号的能量谱等于其幅度谱密度的平方。因此，知道了信号的频谱或其幅度谱，即可由上式求出信号的能量谱。

实际应用中，能量谱还可以定义为能够满足39与能量信号的能量谱类似，对功率信号，如果能够找到一个频域实函数P〔ω〕使信号的平均功率为那么函数P〔ω〕称为该功率信号的功率谱密度，简称为功率谱。功率谱反映了信号中各分量的平均功率随其频率的变化关系。

根据式〔〕所示的帕塞瓦尔定理，利用单位冲激函数的筛选性质可以得到周期功率信号的平均功率为40比照式〔〕和式〔〕，显然有这就是周期功率信号功率谱的计算公式。由此可知，周期信号的功率谱由无穷多个冲激函数构成，每个冲激的强度为2π|Fn|2，代表频率为nΩ的复简谐分量的功率。由式〔〕求得的功率谱称为信号的双边功率谱。由于周期信号的幅度谱是n或者nΩ的偶函数，因此也可以定义单边功率谱，也就是将满足41对周期信号，An和Fn分别为其单边频谱和双边频谱，并且有Fn=An/2，同时考虑到Fn为n的偶函数，那么式〔〕所示周期信号的帕塞瓦尔定理可以改写为4243〔1〕互相关函数两个能量信号f1〔t〕和f2〔t〕之间的互相关函数定义为

两个功率信号f1〔t〕和f2〔t〕之间的互相关函数定义为44〔2〕自相关函数在互相关函数的定义中，如果设f1〔t〕=f2〔t〕=f〔t〕，那么R12〔t〕=R21〔t〕=R〔t〕，称为信号f〔t〕的自相关函数。对能量信号，自相关函数定义为自相关函数实际上反映了信号经时移t后得到的新的信号与原来信号之间的相似程度。45式中，T为周期信号的周期。根据周期信号的定义及其波形特点，如果t=kT，显然自相关函数

到达最大值。根据定义还可以证明，R〔0〕表示能量信号的能量，即46〔3〕相关函数与谱密度之间的关系相关函数虽然根据信号的时间波形或时间函数表达式定义，但是它们与信号的能量谱和功率谱之间有着确定的关系。假设能量信号f〔t〕的傅里叶变换为F〔jω〕，能量谱为E〔ω〕，那么根据定义得到其自相关函数为474.6.4信号的带宽信号通过傅里叶级数或傅里叶变换可分解为很多不同频率分量的叠加，信号的频带宽度〔简称