广西壮族自治区贵港市2024届高考模拟预测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西壮族自治区贵港市2024届高考模拟预测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，解得，所以，由，得或，所以，所以，所以．故选：B．2.已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆上，且椭圆的两个焦点分别为边AD和BC的中点，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设正方形的边长为2，边AD和BC的中点分别为，椭圆的长半轴长为a（），半焦距为c（），连接，则，，所以离心率．故选：C．3.下列说法中错误的是（）A.独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异B.两个变量x，y的相关系数为r，若越接近1，则x与y之间的线性相关程度越强C.若一组样本数据（）的样本点都在直线上，则这组数据的相关系数r为0.98D.由一组样本数据（）求得的回归直线方程为，设，则〖答案〗C〖解析〗A，独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异，从而确定研究对象是否有关联，A正确；B，两个变量x，y的相关系数为r，若越接近1，则x与y之间的线性相关程度越强，B正确；C，若一组样本数据（）的样本点都在直线上，则这组数据的相关系数r为1，C错误；D，由残差分析可知，介于0与1之间，D正确.故选：C．4.在四棱锥P-ABCD中，底面，四边形是矩形，且，点是棱上的动点（包括端点），则满足的点有（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个〖答案〗B〖解析〗如图，连接．由已知可得，，又，所以底面，所以，所以点在以为直径的圆上，又由几何关系可知，以为直径的圆与直线相切，故满足条件的点只有1个．故选：B．5.已知等差数列的公差不为0，，给定正整数m，使得对任意的（且）都有成立，则m的值为（）A.4047 B.4046 C.2024 D.4048〖答案〗A〖解析〗若，由题意知，由等差数列的性质知，若，则有，所以，因为公差，且，所以，所以，所以．若，可得，由等差数列性质知，若，则有，所以，因为公差，且，所以，所以，所以．故选：A．6.已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，所以，即为偶函数，对函数，，则，因为，所以，，所以，故在上恒成立.所以函数在上单调递增，所以在上单调递增.所以，所以，解得或．故选：B．7.2024年4月6号岳阳马拉松暨全国半程马拉松锦标赛（第三站）开赛，比赛结束后，其中5男3女共8位运动员相约在赛道旁站成前后两排合影，每排各4人，若男运动员中恰有2人左右相邻，则不同的排列方法共有（）A.732种 B.2260种 C.4320种 D.8640种〖答案〗D〖解析〗根据题意，只能一排3男1女，另一排2男2女，且相邻的2位男运动员在“3男1女”这一排中．先确定“3男1女”这一排，5男选3人，3女选1人，所选3男选2人相邻，与余下1男安排在1女的两侧，排列方法有种，再确定“2男2女”这一排，2男先排好有，2女相邻并放在2男之间有种，或2女放在2男成排的两空有种方式，排列方法有种，因此，不同的排列方法总数为．故选：D．8.已知圆C：，直线l：，若l与圆C交于A，B两点，设坐标原点为O，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗圆C：的圆心为，半径为2，直线l的方程可化为，于是l过定点，且，显然，即，又，因此，设，，显然，则，其中，当时等号成立，此时，，符合条件，所以的最大值为．故选：D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，在正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点（不包括端点），则（）A.存在点Q，使得 B.存在点Q，使得平面C.三棱锥的体积是定值 D.二面角的余弦值为〖答案〗BD〖解析〗对于A，若，因为平面，平面，所以平面，矛盾，故A错误．对于B，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，因为，，故，，故，，因为，平面，故平面，当Q为的中点时，，此时平面，故B正确．对于C，Q在线段上运动，若三棱锥的体积为定值，则平面，，，设平面的法向量为，则，解得，令得，故，故，故与不垂直，故平面不成立，故C错误；对于D，二面角即二面角，连接BP，DP，BD，由于为等边三角形，则，，所以为所求二面角的平面角，不妨设正方体的棱长为2，则的棱长为，故，，由余弦定理可得，二面角的余弦值为，故D正确．故选：BD．10.已知复数，，，则下列说法中正确的有（）A.若，则或 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗ABD〖解析〗对于A，或，故A正确．对于B，方法：，，，所以以3为周期，所以，故B正确．方法二（复数三角表示）：，所以的模为1，辐角为，则的模为1，辐角为，所以．故B正确．对于C，取，，则，此时，故C错误．对于D，，，所以，故D正确．故选：ABD．11.设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则（）A. B.的图象关于直线对称C.在区间上为增函数 D.方程仅有4个实数解〖答案〗ACD〖解析〗因为为奇函数，所以的图象关于点中心对称，因为为偶函数，所以的图象关于直线对称．可画出的部分图象大致如下（图中x轴上相邻刻度间距离均为）：对于A，由图可知的最小正周期为，所以，故A正确．对于B，的图象关于点中心对称，故B错误．对于C，由图可知在区间上单调递增，故C正确．对于D，，，，，由图可知，曲线与的图象有4个交点，所以方程仅有4个实数解，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，，若，则______．〖答案〗〖解析〗由题意知，，由于，则，则，解得．13.若直线是函数的图象的切线，则的最小值为________．〖答案〗〖解析〗因为，则，设切点为，则，则切线方程为，即，可得，，所以，令，则，当时，；当时，；可知在内单调递减，在内单调递增，可得，所以的最小值为．14.已知点P是双曲线C：（，）上一点，，分别是C的左、右焦点，设，若的重心和内心的连线垂直于x轴，则的取值范围为________．〖答案〗〖解析〗设C的半焦距为c（），离心率为e．如图，设重心为Q，内心为I，则O，Q，P共线．设内切圆与轴的切点为，与内切圆的切点分别为，由双曲线的定义可得，由圆的切线长定理得，所以，设内切圆的圆心横坐标为，则点的横坐标为，所以，得，所以，因为轴，不妨设点P在第一象限，则，再由重心的性质知，由，可得．所以，所以，所以．所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为边CD的中点，沿AE把折起，使点D到达点P的位置，且．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的表面积（1）证明：由题可知，，，，，为等边三角形，，，．，平面，平面．（2）解：由（1）得，，，，由三角形面积公式得，，三棱锥的表面积．16.如图，四边形ABCD内接于圆O，圆O的半径，，．（1）求的大小以及线段AB的长；（2）求四边形ABCD面积的取值范围.解：（1）由题易知由正弦定理得，，，，.（2）方法一：延长AD，BC，交于点E.，.设，则.四边形ABCD内接于圆O，，，，，，，即四边形ABCD面积的取值范围是.方法二：连接OA，OB，OC，OD，由已知可得，是等边三角形.设，则，，又，，，，，即四边形ABCD面积的取值范围是.方法三：设，，则.由正弦定理得，，，则，，，，即四边形ABCD面积的取值范围为.17.某射击运动员进行射击训练，已知其每次命中目标的概率均为．（1）若该运动员共射击6次，求其在恰好命中3次的条件下，第3次没有命中的概率；（2）该运动员射击训练不超过n（）次，当他命中两次时停止射击（射击n次后，若命中的次数不足两次也不再继续），设随机变量X为该运动员的射击次数，试写出随机变量X的分布列，并证明．解：（1）设第i次射击时命中目标为事件，该运动员射击6次恰好命中3次为事件B．，，．（2）随机变量X的所有可能取值为2，3，4，5，…，n．若射击次停止，则第k次命中，前次射击中有一次命中，故，，，若射击n次停止，有两种结果：前次有一次命中或一次都没命中，故．随机变量X的分布列为．法一、易知，，易知时，，即，∴，．法二、令，①则，②，得，令，则，得，，．．18.已知函数．（1）当时，请判断的极值点的个数并说明理由；（2）若恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）当时，，，所以，令，则，当时，，在上单调递增，又，，存在唯一零点，且，当时，，在上单调递减，当时，，在单调递增．有一个极小值点，无极大值点．（2）恒成立，恒成立，恒成立．令，则，恒成立．设，由（1）可知的最小值为．又，．（﹡）设，当时，，在上单调递增，，，，由（﹡）知，，即．，，，又，a的取值范围为．19.已知两条抛物线，．（1）求与在第一象限的交点的坐标．（2）已知点A，B，C都在曲线上，直线AB和AC均与相切．（ⅰ）求证：直线BC也与相切．（ⅱ）设直线AB，AC，BC分别与曲线相切于D，E，F三点，记的面积为，的面积为．试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解：（1）联立方程，且，可得，故有，从而，代入得，所以两抛物线在第一象限的交点的坐标为．（2）（ⅰ）设，，，由题可知，，均不为0且不相等，直线AB，AC的