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高中数学

人教A版

选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程复习小结（第2课时）

直线与圆锥曲线的位置关系题1：已知直线

y=ax+1与双曲线3:2-y2=1

.（1）若直线与双曲线有且只有一个公共点，求a

的值；（2）若直线与双曲线有两个公共点，求a

的取值范围.

(3-a2)2-2ax-2=0

当相交于一点时，

3-a2=0,a=±529

当相切于一点时，CO（2）当相交于两点时，解：（1）yx直线与圆锥曲线的位置关系变式练习:已知：直线y=ax+1与抛物线2=4.（1）若直线与抛物线有且只有一个公共点，求a

的值；（2）若直线与抛物线有两个公共点，求a

的取值范围.解：（1）直线//x轴，与抛物线交于点

2。（2）yy2=4x(1,2)

直线切抛物线于点(1,2)O

x（1）当p=0时，即得到一个一元一次方程，则l与C相交，有且只有一个交点.此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行.（2）当时，,直线l与曲线C有两个不同的交点；,直线l与曲线C相切，即有唯一的公共点(切点)；,直线l与曲线C相离，无公共点.总结:判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，

.

xOF（也可消去x）F2.xF1.o联立直线lyy

A(

y1)

B(x2,y2)

x=、.=、OMx1,题2：已知直线长度.解：

圆锥曲线中弦长问题交于A

、B两点.求弦AB的

y与x轴交于M点，与双曲线若直线的值.解：

交于A

、B两点，求

与双曲线3x2-(x+1)2=1变式练习:弦长公式也可以写成关于y的形式特别直线上任意两点间的距离

x

总结弦长公式：联立方程组消去y（也可消去x

）得y=kx+m.

B(x2,y2).

A(x1,y1)Oy（1）求过点P(2,1)且被点P平分的双曲线的弦AB所在直线的方程；（2）是否存在过点Q(1,1)，且被点Q平分的双曲线的弦是否存在？若不存在，请说明理由.解：（1）设AB方程消y得解得：

此时

弦AB所在直线方程为：

圆锥曲线中点弦问题题3：已知双曲线两式相减：点差法：题3：已知双曲线（1）求过点P(2,1)且被点P平分的双曲线的弦AB所在直线的方程；（2）是否存在过点Q(1,1)，且被点Q平分的双曲线的弦是否存在？若不存在，请说明理由.此时

消x得：

不存在总结：凡以后遇到中点弦问题，采用点差法，

椭圆、抛物线的中点弦所在直线方程，求出之后无需验证，但双曲线的中点弦有时需要验证。圆锥曲线中点弦问题解：

（2）仍用点差法：(1,1)

.B(x2,y2).

.

A

(x1,y1)

O

yx圆锥曲线中定值问题的右焦点为F，过点F的任意一条直线l与C交于A

，B两点，点M的坐标为题4：设椭圆C：(2,0)

，O为坐标原点.解：当l与x轴重合时，

当l与x轴不重合时，

F(1,0)

M(2,0)

O

.

（x1,y1）求证：

（x2,y2）

BAylx另法（用第二定义）：：准线x=2，过M点作直线l1

:x=2∽小结通过坐标法对直线和圆锥曲线位置关系

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