导数的四则运算法则教学设计 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.2.2 导数的四则运算法则一、教学内容导数的四则运算法则.二、教学目标理解并掌握导数的四则运算法则；用导数的四则运算法则求简单函数的导数.三、教学重难点教学重点：体会四则运算法则的探究过程，能灵活运用导数的四则运算法则求函数导数.教学难点：函数积、商的求导法则.四、教学过程设计【温故知新】复习 我们学习了哪些基本初等函数的导数？1.若f(x)=c（c为常数），则f¢(x)=0；2.若f(x)=xa（aÎQ，且a¹0），则f¢(x)=axa-1；3.若f(x)=sinx，则f¢(x)=cosx；4.若f(x)=cosx，则f¢(x)=-sinx；5.若f(x)=ax（a>0，且a¹1），则f¢(x)=axlna；特别地，若f(x)=ex，则¢(x)=ex；6.若f(x)=logax（a>0且a¹1），则f¢(x)=xln1a；特别地，若f(x)=lnx，则¢(x)=1x.【设计意图】复习基本初等函数导数的公式，引入本节课题.【探究新知】探究一 如何求函数h(x)=x2+x的导数？设y=h(x)=x2+x，由导数的定义，Vy(x+Vx)2+(x+Vx)-(x2+x)Vx2+2x×Vx+Vx===Vx+2x+1,VxVxVx\h¢(x)=limVy=2x+1.Vx®0Vx思考 观察f(x)=x2,g(x)=x,h(x)=x2+x与导数¢(x)=2x,g¢(x)=1,h¢(x)=2x+1你有什么发现和猜想？(x)=f(x)+g(x);h¢(x)=f¢(x)+g¢(x).éf(x)+g(x)ù¢=f¢(x)+g¢(x).ë û同样地，éf(x)-g(x)ù¢=f¢(x)-g¢(x).ë û【设计意图】帮助学生回忆定义法求导数以及基本初等函数的求导公式.结论 函数和、差的求导运算法则：éf(x)±g(x)ù¢=f¢(x)±g¢(x).ë û两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）.【典例分析】例1 求下列函数的导数：（1）f(x)=x3-x+3；（2）g(x)=2x+cosx.解：（1）f¢(x)=(x3-x+3)¢=(x3)¢-(x)¢+(3)¢=3x2-1；（2）g¢(x)=(2x+cosx)¢=(2x)¢+(cosx)¢=2xlnx-sinx.【设计意图】以课本实例演示求导过程，利用导数运算法则求导数比用定义法要简便.探究二 两个函数积的导数呢？也等于这两个函数导数的积吗？f(x)=x2,g(x)=x为例，计算éf(x)g(x)ù¢与f¢(x)g¢(x)是否相等？ûéf(x)g(x)ù¢=(x3)¢=3x2，f¢(x)g¢(x)=2x×=12x，ë û\éf(x)g(x)ù¢¹f¢(x)g¢(x).ë û思考 f(x)=x2,g(x)=x的商的导数是否等于它们导数的商？éf(x)¢2¢f¢(x)2xéf(x)¢f¢(x)ù=æxö=x¢=1,==2x.\ù¹.g¢(x)1g¢(x)ëg(x)ûèxøëg(x)û结论 对于两个函数f(x),g(x)的乘积（或商）的导数，我们有如下法则：éf(x)g(x)ù¢=f¢(x)g(x)+f(x)g¢(x);ë ûf(x)ù¢=f¢(x)g(x)-f(x)g¢(x)(g(x)¹0).êg(x)úég(x)ù2ëûë【设计意图】类比加减法的方式去尝试一下积和商的导数，这对学生要求较高，学生不易得出结论，用定义证明时，也需要极限的运算，这一部分可以建议同学们课下探究.两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数.两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母减去分母的导数乘分子，再除以分母的平方.écf(x)ù¢=cf(x)+cf(x)=cf(x).结论 一般地，由函数乘积的导数法则可以得出ë û ¢ ¢ ¢é()ù¢ ()也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即ëcfxû=cf¢x.【典例分析】例2 求下列函数的导数：（1）f(x)=x3ex；（2）g(x)=2sinx.x2解：（1）f¢(x)=(x3ex)¢=(x3)¢ex+x3(ex)¢=3x2ex+x3ex；¢2sinx¢2-2sinxx2¢2æ)=×-()ç2sinx÷2cosxx4x2x4x（2）èø

2sinx×2x 2xcosx-4sinx= x3【设计意图】以课本实例演示求导过程，掌握函数积或商的导数运算法则.例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为c(x)=1005284-x(80<x<100).求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90%；（2）98%.思考 怎样求纯净度为90%和98%时，所需净化费用的瞬时变化率？分析 通过求净化费用函数的导数来解决.æö(-x)-5284()(-x)-5284´()52845284¢5284¢´100´100-x¢0´100-1c¢(x)=ç÷===.(2(22è100-xø-x100-x100100-x所以c¢90=5284=52.84,c¢98=5284=1321.))()(-90()(-9810021002净化到纯净度为98%时净化费用的瞬时变化率是净化到纯净度为90%时的25倍.即净化到纯净度为98%时净化费用变化的快慢是净化到纯净度为90%时净化费用变化快慢的25倍.这说明，水的纯度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快.【设计意图】函数求导在实际生活中有着非常重要的应用，是考察事物变化快慢的重要参考.通过导数可以简化运算，从而解决生活中的实际问题，【课堂练习】1、课本P78页练习题；2.求曲线y=x2+3x在（1,4）处的切线程；3.已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________．【课堂小结】1、对于两个函数f(x)和g(x)，有如下导数的运算法则：[f(x)±g(x)]¢=f¢(x)±g¢(x)；[f(x)g(x)]¢=f¢(x)g(x)+f(x)g¢(x)；[cf(x)]¢=cf¢(x)；éf(x)ù¢f¢(x)g(x)-f(x)g¢(x)êú=(g(x)¹0).2ëg(x)û[g(x)]2、利用导数运算法则的策略(1)利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时，要分清函数的结构，再利用相应的法则进行求导．(2)遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式，有时先将函数表达式展开或化简，然后再求导．【布置作业】1.课本81页1、2、3、4、5.2.求y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)的导数.3.求出下列函数的导数．(1)y＝ln(2x-1)；(2)y＝esinx；(3)y＝cos(x＋1)．【目标检测设计】一、选择题1．已知函数f(x)=x2+2x-xex，则f¢(0)=（）A．1B．0C．-1D．22．函数y=2x(lnx+1)在x=1处的切线方程为（）A．y=4x+2()B．y=2x-4C．y=4x-2D．y=2x+43．已知函数f()()=（x=lnx-3x+f¢1x2，则f1）A．2B．1C．0D．-14．（多选题）下列求导运算错误的是（）3)¢=131A．(x++B．(log2x)¢=xx2xln2C．(3x)¢=3xD．(x2cosx)¢=-2xsinx二、填空题15．函数y=x+的导数是___________.x6．已知函数f(x)=x2ex，f'(x)为f(x)的导函数，则f¢(1)的值为___________.7．设函数f(x)在(0,+¥)内可导，其导函数为f¢(x)，且f