四川省大数据学考大联盟2023-2024学年高一下学期期末模拟质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省大数据学考大联盟2023-2024学年高一下学期期末模拟质量检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由题意得，所以，所以复数对应的点的坐标为，位于第四象限．故选：D．2.已知，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以，，所以向量在向量上的投影向量的坐标为.故选：C.3.已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗，，所以当时，成立，即充分性成立；当时，不一定成立，可能是异面直线，故必要性不成立；所以是的充分不必要条件.故选：A.4.点满足向量，则点与的位置关系是（）A.点为线段的中点 B.点在线段延长线上C.点在线段的延长线上 D.点不在直线上〖答案〗C〖解析〗因为，即，可得，所以点在线段的延长线上.故选：C.5.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度〖答案〗D〖解析〗因为，，所以将向右平移个单位长度得到，故D正确；若将向左平移个单位长度得到，故A错误；若将向右平移个单位长度得到，故B错误；若将向左平移个单位长度得到，故C错误.故选：D.6.柳编技艺在我国已有上千年的历史，如今柳编产品已经选入国家非物质文化遗产名录．如图，若柳条编织的米斗可近似看作上底面圆半径为2，下底面圆半径为1，体积为的圆台，则该圆台的侧面积为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗设圆台的高为，又圆台的上底面圆半径，下底面圆半径，则圆台的体积，解得，所以圆台的母线，所以圆台的侧面积.故选：A7.已知，则（）A. B.0 C. D.1〖答案〗B〖解析〗因为，即，即，所以，又，所以，解得或（舍去），所以，即，所以.故选：B.8.中，，点为平面内一点，且分别为的外心和内心，当的值最大时，的长度为（）A. B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗由，所以，所以在的垂直平分线上，设为的中点，可得，，所以，从而，由正弦定理可得，所以，当，，又要使的值最大时，则为锐角，所以，从而为等腰直角三角形，所以，所以均在斜边的垂直平分线上，即为内切圆的半径，设内切圆半径为，所以，所以，解得，所以.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题.每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在中，的对边分别是，，，若有两个解，则的值可以为（）A.2 B.3 C.4 D.〖答案〗BD〖解析〗法一：因为，，当时有两个解，即，解得，故符合题意的有B、D.法二：由正弦定理，所以且，所以，即，作出正弦函数图象如图，因为该三角形有两个解，所以，即，故符合题意的有B、D．故选：BD.10.已知是复数，则下列说法正确的是（）A.若，则或B.若，则C.若，则D.若，则的最大值为〖答案〗AD〖解析〗对于选项A，若，则，可得或，所以或，故A正确；对于选项B：例如，则，符合题意，但为虚数，不能比较大小，故B错误；对于选项C：例如，，则，符合题意，但均不为0，故C错误；对于选项D：因为，则复数在复平面内所对应的点为，可知点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，又因为表示点与点之间的距离，即，且，由圆的性质可得，所以的最大值为，故D正确.故选；AD．11.如图，正方体的棱长为1，下列说法正确的是（）A.直线与平面所成角的正切值为B.若点在正方体表面上运动且满足，则点的轨迹的长度为C.四棱锥与四棱锥公共部分的体积为D.设直线与平面交于点，则三棱锥外接球的表面积为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，连接，如图①所示，因为平面，所以直线与平面所成角即为直线与直线所成角，设直线与直线所成角为，所以，故A正确；对于B，在线段取点，在线段取点，连接，使得，即，因为点在正方体表面上运动，且，所以点在平面上运动时，则弧长即为点在平面的运动轨迹，同理弧长为点在平面的运动轨迹，如图①所示，所以点在正方体表面的运动弧长为，其中弧长分别以为圆心，半径为的圆弧，弧长都是以为圆心，半径为的圆弧，又因为，所以，故B错误；对于C，如图②所示，设直线与交于点，直线与交于点，分别取中点，连接，四棱锥与四棱锥的公共部分为多边形，且多边形可分为三棱柱与四棱锥，故，，所以公共部分的体积为，故C正确；对于D，如图③所示，直线与平面的交点为的三等分点（靠近点），过作平面，则点为的三等分点（靠近点），直线与直线相交于点，所以与相似，即，即，因为为等腰直角三角形，所以点为的外心，过点作平面，则，设三棱锥的外接球球心为，半径为，，如图④所示，且，所以在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，解得，所以三棱锥外接球的表面积为，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．12.按斜二测画法得到，如图所示，其中，那么的面积为______．〖答案〗〖解析〗由直观图可得平面图形如下所示：则，，，所以.故〖答案〗为：.13.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到达处时测得公路右侧一山底在西偏北的方向上；行驶后到达处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度______．〖答案〗〖解析〗由题意得，故，故中，由正弦定理得，即，解得，又在点测得山顶的仰角为，故，故故〖答案〗为：.14.若存在实数，使得对于任意的，不等式恒成立，则的最大值为______．〖答案〗〖解析〗因为，即，若存在实数使得上式成立，则，且，即，可得，则，解得，由题意可知：，所以的最大值为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知．（1）求的值；（2）若，求的值．解：（1）由题意可得：，解得或，且，则，可得，则，所以.（2）由题意可得，解得或，且，则，可得，所以.16.如图，在三棱锥中，．（1）求证：平面平面；（2）当时，求二面角的正弦值．解：（1）在中，，由余弦定理，即，解得，所以，即，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）因为平面，又平面，所以，又，所以为二面角的平面角，取的中点，连接，因为，所以，又，所以，所以，所以二面角的正弦值为.17.在中，角的对边分别是，且．（1）求角的大小；（2）若的周长为8，外接圆的面积为，求的面积．解：（1）因为，可得，由正弦定理可得，且，则，可得，且，则，可得，即，所以.（2）设外接圆的半径为，因为的外接圆的面积为，则，由正弦定理可得，又因为的周长为，则，由余弦定理可得，即，可得，所以的面积.18.如图，在锐角中，，.（1）用表示；（2）若，求的长度；（3）当取最小值时，求．解：（1），所以，所以，所以.（2）又，所以，所以，，所以，又三点共线，所以，若，可得，所以，又，所以，又因为，所以，所以，因为是锐角三角形，所以，在中，由余弦定理可得，所以.（3）由（2）可知，则，当且仅当，即取最小值时，所以，所以，所以.19.在三角函数领域，为了三角计算的简便并且追求计算的精确性，曾经出现过以下两种少见的三角函数：定义为角的正矢（或），记作；定义为角的余矢（Coversed或coversedsine），记作．（1）设函数，求函数的单调递减区间；（2）当时，设函数，若关于的方程的有三个实根，则：①求实数取值范围；②求的取值范围．解：（1）因为，令，解得