辽宁省沈阳市五校协作体2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省沈阳市五校协作体2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合中至少有2个元素，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为集合中至少有2个元素，所以，解得，故选：D2.已知命题，，则的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗命题，，等价于恒成立；又在单调递减，在单调递增，，故在上的最大值为；故恒成立，即，也即命题的充要条件为；结合选项，的一个充分不必要条件是.故选：B.3.此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确〖答案〗的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确〖答案〗的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（）A.0.625 B.0.75 C.0.5 D.0〖答案〗A〖解析〗设“考生答对题目”为事件，“考生知道正确〖答案〗”为事件，则，所以，故选：A.4.已知数列{an}的通项公式为，则此数列的最大项为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗方法一：－＝·，当时，，即；当时，，即；当时，，即，所以，所以数列有最大项，为第8项和第9项，且.方法二：设数列的第n项最大，则，即，解得，又，则或，故数列{an}有最大项，为第8项和第9项，且.故选：D5.函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗∵f（﹣x）f（x），∴f（x）是偶函数，故f（x）图形关于y轴对称，排除C，D；又x=1时，<0，∴排除B，故选A．6.已知是数列的前项和，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗数列的前项和，由，，得，解得，因此数列是首项为1，公比为4的等比数列，，所以.故选：A7.已知，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗不等式，即，设，则，，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增.故只需，所以，即.设，则在上单调递增，又，所以，设，则，所以在上单调递增，所以值域为，即的取值范围为.故选：C8.设，函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，当时，，此时，由得，即，解得或，所以在上有2个零点；时，若，对称轴为，函数的大致图象如图：此时，即，则，所以无解，则无零点，无零点，综上，此时只有两个零点，不符合题意，若，此时的大致图象如下：令，解得（舍去），显然在上存在唯一负解，所以要使恰有5个零点，需，即，解得，所以．故选：D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题正确的是（）A.若样本数据的方差为2，则数据的方差为7B.若，则．C.在一组样本数据，（，，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为D.以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则值分别是和4〖答案〗BD〖解析〗对于选项A：若样本数据的方差为2，则数据的方差为，故A不正确；对于选项B：若，则，故B正确；对于选项C：在一组样本数据，（，，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，其中是线性回归方程的一次项系数，不是相关系数，相关系数是刻画一组数据线性相关程度一个量，范围是[−1，1]，当相关系数为正时呈正相关关系，为负时呈负相关关系，故C不正确；对于选项D：以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，则，由题线性回归方程为，则，故的值分别是和4，故D正确.故选：BD.10.数列满足，下列说法正确的是（）A.可能为常数列 B.数列可能为公差不为0的等差数列C.若，则 D.若，则的最大项为〖答案〗AD〖解析〗对于A，令，由，可得，解得，A正确；对于B，若数列为公差不为0的等差数列，由，得，则不会是非零常数，B错误；对于C，，因此数列是首项为1，公差为的等差数列，则，C错误；对于D，，则，即，当时，；当时，，且数列递减，因此数列的最大项为，D正确.故选：AD11.已知函数的定义域为R，且为偶函数，则（）A. B.为偶函数C. D.〖答案〗ACD〖解析〗对于A，因为，令，则，故，则，故A正确；对于B，因为的定义域为，关于原点对称，令，则，又不恒为0，故，所以奇函数，故B错误；对于C，因为为偶函数，所以，令，则，故，令，则，故，又为奇函数，故，所以，即，故C正确；对于D，由选项C可知，所以，故的一个周期为6，因为，所以，对于，令，得，则，令，得，则，令，得，令，得，令，得，所以，又，所以由的周期性可得：，故D正确.故选：ACD.第Ⅱ卷（选择题共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.若是与的等差中项，2是与的等比中项，则_________．〖答案〗17〖解析〗因为是与的等差中项，所以，因为2是与的等比中项，所以，而.故〖答案〗为：1713.若函数在上有最小值（、为常数），则函数在上最大值为__________.〖答案〗〖解析〗考虑函数，定义域为R，又，所以是奇函数，则，设的最大值为，最小值为，则，又，所以，，所以，则，所以，故〖答案〗为：9.14.已知对任意，且当时，都有，则的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗由，且，所以.设，，则原问题转化为在上单调递减.所以在上恒成立，即，恒成立.因为（当且仅当即时取“”）所以.故〖答案〗为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列的前项和，数列满足，且．（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和．解：（1）当时，；当时，，，，由题可得，得，是首项为，公比为2的等比数列，；（2），①，②，①-②得：，.16.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.解：（1）函数的定义域为，当时，，所以，当时，，在上为减函数，当时，，在上为增函数，综上所述：在上为减函数，在上为增函数；（2）若，不等式恒成立，则对均成立，所以令，则，令，显然为上的减函数，又，所以，，则在上为增函数，当时，，则在上为减函数，所以，所以，所以，所以实数的取值范围为.17.“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动.（1）若数学组的7名学员中恰有3人来自A中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自A中学的人数，求的分布列和数学期望；（2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值.解：（1）由题意知，的可能取值有0，1，2，3，，，，，所以的分布列为：0123P.（2）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则，设乙答对题数为，则，设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”,则由，又，所以，则，又，所以，设，所以，由二次函数可知当时取最大值，所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为.18.已知，，是自然对数的底数.（1）当时，求函数的极值；（2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；（3）当时，若满足，求证：.解：（1）当时，，定义域为，求导可得，令，得，当时，，函数在区间上单调递减，当时，，函数在区间上单调递增，所以在处取到极小值为0，无极大值.（2）方程，当时，显然方程不成立，所以，则，方程有两个不等实根，即与的图象有2个交点，，当或时，，在区间和上单调递减，并且时，，当时，，当时，，在区间上单调递增，时，当时，取得最小值，，作出函数的图象，如图所示：因此与有2个交点时，，故的取值范围为.（3），由，得，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增.由题意，且，则，.要证，只需证，而，且函数在上单调递减，故只需证，又，所以只需证，即证，令，即，，由均值不等式可得，当且仅当，即时，等号成立.所以函数在上单调递增.由，可得，即，所以，又函数在上单调递减，所以，即得证.19.定义:如果数列从第三项开始，每一项都介于前两项之间，那么称数列为“跳动数列"．（1）若数列的前项和满足，且，求的通项公式，并判断是否为“跳动数列”(直接写出判断结果，不必写出过程)；（2）若公比为的等比数列是“跳动数列”，求的取值范围；