河南省新乡市2023-2024学年高二下学期期末测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省新乡市2023-2024学年高二下学期期末测试数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A.3 B.5 C. D.17〖答案〗B〖解析〗.故选：B.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，即，解得，所以，由，解得，所以，又，则，所以.故选：D3.已知为抛物线的焦点，点在上，且点到直线的距离为，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为点到直线的距离为，所以点到抛物线准线的距离为，由抛物线的定义得，.故选：D.4.若曲线在点处的切线与在点处的切线平行，则（）A.3 B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，当时，由，得，曲线在点处的切线与在点处的切线平行，则，得.故选：A.5.已知的内角的对边分别为，且，则为（）A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰三角形〖答案〗C〖解析〗由正弦定理得，，，为的外接圆半径，因为，所以，因为，所以，即，又因为，即，所以为中最大的内角，则，所以为钝角三角形.故选：C.6.函数的图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以是偶函数，排除C，D;因为在上的零点有共三个，排除B.故选:A.7.若函数在上单调递减，则满足条件的的个数为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗若，则，故不满足条件；若或，则对有，或.所以，根据复合函数单调性知在上单调递减，满足条件；若，则，故不满足条件；若，则由可知，存在正整数满足.此时，，从而在上存在极值点，不可能单调递减，不满足条件.综上，满足条件的有和.故选：C.8.在正四棱锥中，，则正四棱锥体积的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗过顶点P向平面ABCD作垂线，垂足为O，则PO为正四棱锥的高，设为h.设底面边长为x，则，则，则.所以正四棱锥的体积为：，则.当时，；当时，.即在上单调递增，在上单调递减，则故选：B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.2019年至2023年河南省社会消费品零售总额及其增长速度如图所示，则（）A.2019年至2023年河南省社会消费品零售总额稳步上升B.2019年至2023年河南省社会消费品零售总额的极差为3501亿元C.2019年至2023年河南省社会消费品零售总额增长速度的平均数为D.2019年至2023年河南省社会消费品零售总额增长速度的分位数为〖答案〗BC〖解析〗对于A，2020年河南省社会消费品零售总额有所下降，A错误.对于B，2019年至2023年河南省社会消费品零售总额的极差为亿元，B正确.对于C，2019年至2023年河南省社会消费品零售总额增长速度的平均数为，C正确.对于D，2019年至2023年河南省社会消费品零售总额增长速度从小到大依次为，，因为，所以该组数据的分位数为，D错误.故选：BC.10.已知正三棱台的体积为，则（）A.B.正三棱台的高为9C.直线与平面所成角的正切值为D.正三棱台的外接球的表面积为〖答案〗ABD〖解析〗设正三棱台的高为，由，得，B正确.如图，设的中点分别为，连接，设的外心分别为，连接，过作，垂足为.易知，，则，所以，直线与平面所成角的正切值为A正确，C错误.设正三棱台的外接球的球心为，半径为，连接，则，得，所以正三棱台的外接球的表面积为，D正确.故选：ABD.11.已知函数的定义域为，且，若，则（）A.B.C.方程有唯一的实数解D.函数有极大值〖答案〗AB〖解析〗对于A，令，得.因为，所以，即，A正确；对于B，令，得，由，得.又，所以.令，得，即，所以，因为为增函数，且，所以，故B正确；对于C，由B项可知，等价于.设，因为，所以在上必至少有一个零点，又，所以的零点不唯一，从而方程的实数解不唯一，故C错误；对于D，因，故函数只有极小值，没有极大值，故D错误.故选：AB.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，且，则__________.〖答案〗2〖解析〗由题意得，则，得.故〖答案〗为：2.13.已知双曲线的离心率分别为和，则的最小值为__________.〖答案〗〖解析〗，，由题意得，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故〖答案〗为：.14.将六个数字填入如图所示的方格中，要求每个方格填个数字，且每个数字不重复，则在这三列数字中，第一列的数字之和最小的概率为__________.〖答案〗〖解析〗设事件表示“存在某两列，使得这两列各自的两个数之和相等且同时为最小”，表示“第一列的数字之和最小”.若事件发生，由于所有数字之和不是的倍数，所以三列的各自两个数之和不可能都相等.这就意味着当事件发生时，存在且仅存在两列各自两个数之和相等且同最小，故根据对称性有.列举即知，这两列各自的两个数只可能是和，和，和三种可能.所以.若事件不发生，则两数之和最小的一列是唯一的，故根据对称性有.所以.故〖答案〗为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在平面四边形中，为的中点，，将沿对折至，使得.（1）证明：平面；（2）求二面角的正切值.解：（1）由题设，易知即.又，即.平面.平面.（2）（方法一）如图，以为原点，所在的直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.设平面的法向量为，则取，则，得.易得平面的一个法向量为，由图可知二面角为钝角，则二面角的余弦值为.故二面角的正切值为.（方法二）如图，过点作，垂足为，连接.由平面，面，则，又平面，则平面，又平面，则，则为二面角的平面角.由由勾股定理可得，.二面角与二面角互补，二面角的正切值为.16.已知函数.（1）求的单调区间；（2）当时，求在上的最小值与最大值.解：（1）.令，得；令，得；令，得.所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）当时，.由（1）知，在处取得极大值，且极大值为.当时，在上单调递增，.当时，，若，则，因为，所以.17.在某张试卷的多项选择题中，每道题有4个选项，其中仅有2个或3个选项正确.（1）已知多项选择题第9题仅有2个选项正确，甲从4个选项中随机选2个，求甲第9题得满分的概率；（2）在有3个选项正确的多项选择题中，选1个选项且选对得2分，选2个选项且都选对得4分，选3个选项且都选对得6分，有选错的得0分.已知多项选择题第10题仅有3个选项正确，以第10题得分的期望值为决策依据，甲应随机选多少个选项？解：（1）甲第9题得满分的概率为.（2）若甲随机选1个选项，则甲得2分的概率为，得0分的概率为，甲随机选1个选项的得分的期望为；若甲随机选2个选项，则甲得4分的概率为，得0分的概率为，甲随机选2个选项的得分的期望为；若甲随机选3个选项，则甲得6分的概率为，得0分的概率为，甲随机选3个选项的得分的期望为；甲选4个选项必定得0分.因为甲随机选2个选项的得分的期望最大，所以甲应随机选2个选项.18.最大公因数，也称最大公约数，指两个或多个正整数公有约数中最大的一个，a，b的最大公约数记为，a，b，c的最大公约数记为.与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，几个自然数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个自然数叫做这几个数的最小公倍数，a，b的最小公倍数记为，a，b，c的最小公倍数记为.例如，.（1）求的值；（2）若数列满足，，求数列的前n项和；（3）若公差为整数的等差数列满足，，证明：.解：（1）.（2）因为，，且2与3互质，所以，所以，，两式相减得，所以.（3）设的公差为d.因为，，所以，则，因为公差d为整数，所以，.当时，因与互质，所以，所以，所以.19.在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足，平面内一动点满足，记的轨迹为曲线.（1）求的方程；（