河南省部分重点中学2025届高三上学期开学摸底测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省部分重点中学2025届高三上学期开学摸底测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故选：C.2.若，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意，，则，所以.故选：D.3.已知向量.若，则（）A.-1 B.1 C.2 D.0〖答案〗A〖解析〗由，则，因为，所以，即，解得.故选：A.4.已知，且，则（）A.0 B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，即，因为，则，所以.故选：B.5.将4个不同的小球放入3个不同的盒子中，且每个盒子最多只能装3个球，则不同的放法有（）A.60种 B.64种 C.78种 D.81种〖答案〗C〖解析〗不考虑每个盒子最多只能装3个球，有种放法.若将4个球放入同一个盒子中，有3种放法.故不同的放法有种.故选：C.6.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，，故故选：A.7.已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若，则（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗由图可知，则，解得.因为，所以.因为的图象经过点，所以，所以，解得因为，所以.因为的图象经过点，所以，解得.故.因为，所以..故选：D.8.已知是双曲线的左焦点，过点的直线与交于两点（点在的同一支上），且，则（）A.6 B.8 C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得.根据对称性，不妨设过点的直线为，联立可得.设，则.①由，则，又所以.②由①②可得，所以，解得或（舍），，所以.故选：D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.为了解某新品种玉米的亩产量（单位：千克）情况，从种植区抽取样本，得到该新品种玉米的亩产量的样本均值，样本方差.已知原品种玉米的亩产量服从正态分布，假设新品种玉米的亩产量服从正态分布，则（）（若随机变量服从正态分布，则）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗依题可知，，故C正确，D错误.因为，所以，A正确.因为，所以0.8，B正确.故选：ABC.10.已知函数的定义域为，则（）A. B.C.是偶函数 D.〖答案〗ABD〖解析〗令，得，A正确.令，得，所以.令，得，所以，B正确.令，得，所以是奇函数，C错误.令，得，所以D正确.故选：ABD.11.如图，球被一个距离球心的平面截成了两个部分，这两个部分都叫作球缺，截面叫作球缺的底面，球缺的曲面部分叫作球冠，垂直于截面的直径被截后所得的线段叫作球缺的高.球冠的面积公式为，球缺的体积公式为，其中为球的半径，为球缺的高，记两个球缺的球冠面积分别为，两个球缺的体积分别为，则下列结论正确的是（）A.若，则两个球缺的底面面积均为B.若，则C.若，则D.若，则〖答案〗BCD〖解析〗对于A，设这两个球缺的底面圆半径为，则，因为，，解得，该圆的面积为A错误.对于B，设两个球缺的高分别为，则.由，得，则，所以，解得.，同理得，所以B正确.对于C，.设，由，得，则，C正确.对于D，.由，得.设函数，则在上恒成立，即在上单调递增，所以，即D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把〖答案〗填在答题卡中的横线上.12.已知等比数列的前项乘积为，若，则__________.〖答案〗1〖解析〗因为，即，显然，所以，则，故.13.已知为椭圆的右焦点，为坐标原点，为上一点，若为等边三角形，则的离心率为__________.〖答案〗〖解析〗取椭圆的左焦点，连结，由为等边三角形，则，可知为直角三角形，且，设，则，，可得，则，所以椭圆的离心率是．14.已知函数有4个不同的零点，则的取值范围为__________.〖答案〗〖解析〗由题意可得方程有4个不同的根，方程的2个根为，则方程有2个不同的根，且，即函数与函数的图象有两个交点.当直线与函数的图象相切时，设切点为，因为，所以解得.要使函数与函数的图象有两个交点，只需直线的斜率大于，故的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若为边上一点，且，求的面积.解：（1）因为，所以.因为，所以，解得.（2）.由正弦定理，解得.由余弦定理，得，解得（舍去）.在中，，所以.16.如图，在三棱锥中，为的中点，平面平面是等腰直角三角形，.（1）证明：；（2）求二面角的正弦值.（1）证明：因为是等腰直角三角形，为中点，所以，平面，又因为平面平面，平面平面，所以平面因为平面，所以，又为的中点，所以是等腰三角形，故.（2）解：在平面上，作，垂足为，连接.平面平面，平面平面，又平面，所以平面.由（1），又，则为等边三角形.所以，，所以，所以，，所以,在等腰直角三角形中，，所以与全等，故，即，以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则..设平面的法向量为，则即取，可得.设平面的法向量为，则即取，可得.设二面角的大小为，则.故二面角的正弦值为.17.在抛物线上有一系列点，以点为圆心的圆与轴都相切，且圆与圆彼此外切.已知，点到的焦点的距离为.（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）设，求数列的前项和.解：（1），设抛物线焦点为，根据题意可知，解得.（2）因为圆与圆彼此外切，所以则.因为，所以，即.因为，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即.故.（3），两式相减得.令，则.两式相减得，所以.所以.，即.18.设函数的定义域为，若存在正实数，使得对于任意，有，且，则称是上的“距增函数”.（1）已知函数，证明：对于任意正实数是上的“距增函数”；（2）若是上的“距增函数”，求的取值范围；（3）已知是定义在上的“2距增函数”，求的取值范围.（1）证明：因为，所以，所以在上单调递增.对于任意正实数，所以，所以是上的“距增函数”.（2）解：因为是上的“距增函数”，所以，即，化简得，所以无解，即，解得（舍去）.所以的取值范围为.（3）解：因为是定义在上的“2距增函数”，所以.①若，则.因为在上单调递增，所以恒成立.②若，则.因为，所以.令，则，即.令函数，则.当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以.③若，则.由（2）可得，要使得是定义在上的“2距增函数”，则必须满足.当时，.综上，的取值范围为.19.甲､乙两人各有六张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字，乙的卡片上分别标有数字，两人进行六轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.（1）求甲的总得分为0的概率；（2）求甲的总得分为1的概率；（3）若为随机变量，则.记甲的总得分为，求.解：（1）由于对称性，不妨固定乙六轮选卡的数字依次为，甲六轮选卡的数字有种排序方法.若甲的总得分为0，则甲六轮选卡的数字依次为，所以甲的总得分为0的概率为.（2）若甲的总得分为1，分以下情况讨论.①若甲在第一轮得1分，则第一轮选卡的数字为3或5.若第一轮选卡的数字为3，则第二轮选卡的数字只能为1，第五､六轮选卡的数字只能为5，第三､四轮选卡的数字为3或1，有2种情况.若第一轮选卡的数字为5，则第二轮选卡的数字只能为1，第五､六轮选卡的数字有一个是5，剩下数字随机为其他轮的选卡，有种情况.②若甲在第二轮得1分，类比在第一轮得1分的情况，则有8种情况.③若甲在第三轮得1分，则第一､二轮选卡的数字只能为1，第四轮选卡的数字只能为3，第五､六轮选卡的数字为3或