贵州省六盘水市2023-2024学年高二下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1贵州省六盘水市2023-2024学年高二下学期期末数学试题注意事项：1．答题前，务必在答题卡上填写姓名和准考证号等相关信息并贴好条形码.2．回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上，写在本试题卷上无效.3．考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以.故选：B2.若复数，则（）A. B. C. D.4〖答案〗B〖解析〗，则，故选：B3.记等差数列的前项和为，若，则（）A.13 B.45 C.65 D.130〖答案〗C〖解析〗，故选：C.4.甲、乙两位学生的5次化学考试成绩如下表：学生第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908999乙8990918892下列结论正确的是（）A.甲的极差小于乙的极差 B.乙的平均数大于甲的平均数C.乙的成绩比甲的成绩更稳定 D.甲的中位数小于乙的中位数〖答案〗C〖解析〗对于A项，甲的极差为：，乙的极差为：，则A项错误；对于B项，甲的平均数为：，乙的平均数为：，则B项错误；对于C项，根据极差，易知乙的成绩比甲的成绩更稳定，故C项正确；对于D项，甲的成绩从小到大排成一列为：，其中位数为：，乙的成绩从小到大排成一列为：，其中位数为：，故D项错误，故选：C5.已知为锐角，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为为锐角，，所以，联立，解得，因为，所以，所以.故选：A6.关于的方程对应的曲线不可能是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗当时，方程为：，对应的图象为选项A，当时，方程为：，对应的图象为选项B，当时，方程为：，得，对应的图象为选项C，选项D图形是四条线段，没有方程与之对应，故选：D7.已知线段的长度为4，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则面积的最大值为（）A. B.8 C. D.〖答案〗A〖解析〗以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，设，且，由，得，化简得的轨迹方程为圆，半径，如下图，有．故选：A8.如图，从一个半径为的圆形纸板中剪出一块最大的正三角形纸板，并将此正三角形纸板折叠成一个正四面体，则该正四面体外接球的表面积为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗圆内最大正三角形即圆内接正三角形.设该圆内接正三角形的半径为，边长为，则，解得，如图，设折叠后正四面体的棱长为，高为，则，过点作平面，为底面正三角形的中心，连接，则在中，由正弦定理得，则，所以高，设正四面体外接球球心，于是外接球的半径，在中，，则，所以，解得，则其外接球的表面积为．故选：B.二，选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.函数的图象关于点对称B.函数的最小正周期为C.函数在区间上有且仅有一个零点D.将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象〖答案〗AD〖解析〗对于A，因为，所以的图象关于点对称，A正确；对于B，因为，所以是函数的周期，B错误；对于C，因为，所以在区间至少有两个零点，C错误；对于D，将函数的图象向左平移个单位长度后得，即，D正确.故选：AD10.已知函数，则（）A.与互为反函数B.若是函数的极值点，则C.若，则D.点在曲线上，点在曲线上，则〖答案〗ACD〖解析〗对于A，由对数定义可知，所以与互为反函数，A正确；对于B，，则，若是函数的极值点，则必有，即，两边取对数得，B错误；对于C，作出的图象如图：因为与的图象关于直线对称，直线与直线垂直，所以直线与和的交点关于直线与的交点对称，联立求解可得，所以，C正确；对于D，由上图和对称性可知，的最小值等于点到直线的最小距离的2倍，当过点的切线平行于直线时，点到直线的距离最小，令解得，所以此时点坐标为，所以的最小值为，所以，D正确.故选：ACD11.圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（）A.双曲线的方程为B.过点且垂直于的直线平分C.若，则D.若，则〖答案〗ABD〖解析〗对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为，所以，解得，得到双曲线的方程为，正确，对于B，如图，由题知，，所以，若，所以，正确，对于C，记，所以，又，得到，又，所以，又，由，得，错误，对于D，因为，，由，得，又，得到，得到，从而有，得到，由，得到，从而有，解得，正确，故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，若，则______．〖答案〗-2〖解析〗因为，所以，得，解得，故〖答案〗为：-213.现有3名男同学和2名女同学，从中抽取3名同学去两个不同的地方参加志愿者服务活动，且每个地方至少要有1名男同学，则不同的分配方式共有______种．〖答案〗30〖解析〗抽取3名同学可以分为两类：当抽取2名男生，1名女生时，分配方法数为：，当抽取3名男生时，分配方法数为：，则总的方法数为：，故〖答案〗为：3014.已知函数的定义域为，且．若，则______．〖答案〗2024〖解析〗几何法：由得的图象关于直线对称；由，得的图象关于点对称；再根据可作出的一个符合要求的函数图象如下，从而．代数法：由得；结合得；于是，从而；于是，所以函数是周期为4的周期函数．由，得，所以；由，得，所以；由，得，从而；从而，所以．故〖答案〗为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.记的内角所对的边分别为，已知，且．（1）求的值；（2）若点满足，求的长度．解：（1）由，得，从而，将代入得．（2）方法1：，将代入得，解得．因为，所以，由余弦定理得．方法2：将代入得，解得．因为，所以，两边平方得，所以．16.某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿脾胃虚弱．采用有放回的简单随机抽样方法对治疗情况进行检查，得到如下数据：抽到接受甲种疗法的患儿55名，其中未治愈10名；抽到接受乙种疗法的患儿45名，其中治愈30名．（1）请补全如下列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好；疗法疗效合计未治愈治愈甲乙合计（2）从接受乙种疗法的患儿中，按照疗效采用比例分配的分层随机抽样法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求这3人中未治愈人数的分布列及期望；附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828（1）列联表如下：疗法疗效合计未治愈治愈甲104555乙153045合计2575100零假设为：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异．根据列联表中的数据，经计算得到根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为两种疗法效果没有差异．（2）抽样比为，未治愈人数为2人，治愈人数为4人随机变量的所有可能取值为．所以随机变量的分布列为012从而，所以随机变量的期望为1．17.已知长方体中，．（1）在长方体中，过点作与平面平行的平面，并说明理由；（2）求直线与平面所成角的正弦值．解：（1）如图，所作平面为平面．理由如下：因为为平行四边形，所以，而平面平面，得平面，同理得平面，而平面，所以平面平面．（2）方法1：以点坐标原点建系如图，则，．，设平面的法向量为，则，即令，则，所以，设与平面所成的角为，则．方法2：设点到平面的距离为，依题，因为，所以，从而，解得，设与平面所成的角为，则．18.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）在数列中，是曲线在点处的切线与轴交点的横坐标．证明：数列是等比数列，并求数列的前项和．解：（1）因为，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为．（2），曲线在点处的切线方程为，令得，于是（为常数），所以是首项为1，公比为的等比数列．由得，于是，所以．19.定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”．如图，为椭圆的“共轭点对”，已知，且点在直线上，直线过原点．（1）求直线的方程；（2）已知是椭圆上的两点，为坐标原点，且．（i）求证：线段被直线平分；（ii）若点在第二象限，直线与相交于点，点为的中点，求面积的最大值．解：（1）由已知，点在