一元二次方程和一元二次不等式讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

一元二次方程和一元二次不等式模块一一元二次方程一．一元二次方程根的判别式知识梳理一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac.定理1：方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＞0，方程有两个不相等的实数根.定理2：方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，△=0，方程有两个相等的实数根.定理3：方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＜0，方程没有实数根.定理4：方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不相等的实数根，△＞0.定理5：方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等的实数根，△=0.定理6：方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根，△＜0.题型精练例1、已知关于x的方程x2-x+k=0有两个不相等的实数根，化简∣-k-2|+|∣变式训练1、关于x的方程：k（k+1）（k-2）x2-2（k+1）（k+2）x+k+2=0只有一个实数解（两个相同的也只算一个），则实数k可取不同值的个数为（）A.2B.3C.4D.52、若方程∣x2+ax∣=4，有3个不相等的实数根，求a的值和相应的3个根.秋季延伸探究1．已知函数，若关于的方程恰有三个实数根，则的取值范围为．二．一元二次方程根与系数的关系知识梳理若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，则x1=，x2=++=，··==定理：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为，，那么：+，· 说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为“韦达定理”．上述定理成立的前提是△≥0．题型精练例1、若x1、x2是方程x2+2x-2012=0的两个根，试求下列各式的值.（1）；（2）；（3）（x1-5）（x2-5）；（4）∣x1-x2∣变式训练1、若实数a≠b，且a、b满足a2-8a+5=0,b2-8b+5=0，则代数式+的值为（）A.-20B.2C.2或-20D.2或202、设x1、x2是方程x2+px+p=0的两实根，x1+1，x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两实根，则p=_____，q=_____．秋季延伸探究1、设m是不小于-1的实数，关于x的方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2.求的最大值.三．根的判别式及根与系数的关系的应用例1、（1）判断直线y=2x+1与抛物线y=x2-3x+1的交点的个数；（2）若直线y=2x+b与抛物线y=x2有两个不同的交点，求b的取值范围.变式训练1、已知m、n是关于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（）A.7B.11C.12D.162、若x1、x2是关于x的方程x2-（2k+1）x+k2+1=0的两个实数根，且x1、x2都大于1．（1）求实数k的取值范围；（2）若，求k的值．模块二二次函数最值知识梳理二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当a＞0时，函数在x=处取得最小值，无最大值；当a＜0时，函数在x=处取得最大值，无最小值．本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：题型精练例1、当-2≤x≤2时，求函数y=x2-2x-3的最大值和最小值．变式训练1、函数y=x2+2x+3在m≤x≤0上的最大值为3，最小值为2，求m的取值范围．秋季延伸探究1、已知关于x的函数y=x2+2ax+2在-5≤x≤5上，当a为实数时，求函数的最大值．2、已知函数y=x2+2ax+1在-1≤x≤2上的最大值为4，求a的值．模块三不等式一．一元二次不等式知识梳理初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法．高中阶段将进一步学习一元二次不等式和分式不等式等知识．本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知识．一元二次不等式ax2+bx+c＞0（或＜0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）及一元二次方程ax2+bx+c=0的关系（简称：三个二次）．以二次函数y=x2+x-6为例：（1）作出图象；（2）根据图象容易看到，图象与x轴的交点是（-3，0），（2，0），即当x=-3或x=2时，y=0．就是说对应的一元二次方程x2+x-6=0的两实根是x=-3或x=2．（3）当x＜-3或x＞2时，y＞0，对应图像位于x轴的上方．就是说x2+x-6＞0的解是x＜-3或x＞2．（4）当-3＜x＜2时，y＜0，对应图像位于x轴的下方．就是说x2+x-6＜0的解是3＜x＜2．一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：（1）将二次项系数先化为正数；（2）观测相应的二次函数图象．①如果图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2（也可由根的判别式△＞0来判断）．那么（图1）：ax2+bx+c＞0（a＞0）x＜x1或x＞x2ax2+bx+c＜0（a＞0）x1＜x＜x2②如果图象与x轴只有一个交点（，0），此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根x1=x2=（也可由根的判别式△=0来判断）．那么（图2）：ax2+bx+c＞0（a＞0）x≠ax2+bx+c＜0（a＞0）无解③如果图象与x轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根（也可由根的判别式△＜0来判断）．那么（图3）：ax2+bx+c＞0（a＞0）x取一切实数ax2+bx+c＜0（a＞0）无解如果单纯的解一个一元二次不等式的话，可以按照一下步骤处理：（1）化二次项系数为正；（2）若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根x1，x2．那么“＞0”型的解为x＜x1或x＞x2（俗称两根之外）；“＜0”型的解为x1＜x＜x2（俗称两根之间）；也就是通常所说的因式分解法.否则，对二次三项式进行配方，变成ax2+bx+c=a（x+）2+，结合完全平方式为非负数的性质求解．1.列表总结二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）与一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0），不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解的对应关系判别式△=b2-4ac△＞0△＝0△＜0二次函数的图像方程的根有两个相异的实数根x1，x2（x1＜x2）有两个相等的实数根x1＝x2＝没有实数根不等式的解集{x|x＜x1，或x＞x2}{x≠}R2．分式不等式与整式不等式(1)eq\f(fx,gx)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；(2)eq\f(fx,gx)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.3．简单的绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)．例1、解下列不等式：（1） x2+4x-12＞0. （2）（x+2）（x-3）＜6变式训练1、若2x2-5x+2＜0，则+2∣x-2∣=.2、解下列不等式：（1）x2-2x-8＜0（2）x2-4x+4≤0（3）x2-x+2＜0二．含参数的一元二次不等式知识梳理前一节我们一起探讨了一元二次不等式的解法，本节我们学解含参数的一元二次不等式.通常情况下，均需对字母系数的取值分类进行讨论，这是一元二次不等式的难点.那么如何讨论呢？对含参数的一元二次不等式常用的分类方法有三种：（1）按二次项的系数a的符号分类，即a＞0，a=0，a＜0；（2）按判别式△的符号分类，即△＞0，△=0，△＜0；（3）按方程ax2+bx+c=0的根x1、x2的大小分类，即x1＞x2，x1=x2，x1＜x2.题型1、讨论二次项系数例1、解不等式ax2+（a+2）x+1＞0.题型2、讨论对应的一元二次方程根的判别式例2、解不等式（m2+1）x2-4x+1≥0.题型3、讨论对应方程两个解的大小例3、解关于x的不等式：＜1-a.变式训练1.已知函数f(x)＝ax2＋(2－4a)x－8.(1)若不等式f(x)<0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)<x<4))))，求a的值；(2)当a<0时，求关于x的不等式f(x)>0的解集．总结归纳对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有：根据二次项系数为正、负及零进行分类；根据判别式△与0的关系判断根的个数有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论题型4、根据不等式的解集求参数例5、已知对于任意实数x，kx2-2x+k恒为正数，求实数k的取值范围．例6、已知不等式2x2+px+q＜0的解是-2＜x＜1，求不等式px2+qx+2＞0的解．秋季延伸探究一．一元二次不等式恒成立问题题型一在R上恒成立问题例1(多选)对任意实数x，不等式2kx2＋kx－3<0恒成立，则实数k可以是()A．0B．－24C．－20D．－2题型二在给定区间上上恒成立问题例2已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为________．题型三在给定参数范围内的恒成立问题例3(2023·宿迁模拟)若不等式x2＋px