常用逻辑用语讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第5讲常用逻辑用语模块一命题、定理、定义知识梳理一：命题1、命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，我们将可判断真假的陈述句叫作命题．2、命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”，我们学习过的定理、推论都是命题．3、分类真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句命题的结构：（1）命题的一般形式为“若p，则q”其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．（2）确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．二：定理、定义在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理．在数学中，我们经常遇到定义．定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．例如“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”．定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别，如“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述的．题型精练考点一：命题的概念【典例1-1】下列语句中，命题的个数是（）①空集是任何集合的真子集；②请起立；③的绝对值为1；④你是高一的学生吗?A．0 B．1 C．2 D．3【变式1-2】有下列语句，其中是命题的个数为（

）．（1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好．A．3 B．4 C．5 D．6考点二：命题真假的判断【典例2-1】已知，则下列判断中，正确的是（

）A．p为真，q为假 B．p为假，q为真C．p为真，q为真 D．p为假，q为假【变式2-1】下列命题为假命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则考点三：命题的结构形式【典例3-1】指出下列命题中的条件p和结论q．(1)若，则x，y互为相反数．(2)如果，则．(3)当时，【变式3-1】把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)偶数不能被2整除；(2)当时，；(3)两个相似三角形是全等三角形．考点四：根据命题的真假求参数【典例4-1】命题存在实数，使得能成为三角形的三边长.若命题为假命题，则的取值范围是.【变式4-1】若“方程有两个不相等的实数根”是真命题，则的取值范围是.模块二充分条件、必要条件、充要条件知识梳理一：充分条件、必要条件1、在“如果p，那么q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论，若“如果p，那么q”是一个真命题，则称由p能推出q，记作，读作“p推出q”；否则，称为由p推不出q，记作peq\a\vs4\al()q，读作“p推不出q”．2、当时我们称p是q的充分条件，q是p的必要条件．二：充要条件一般地，如果，，则称p是q的充分不必要条件；如果peq\a\vs4\al()q且，则称p是q的必要不充分条件；如果且，则称p是q的充分必要条件（简称充要条件），记作，也读作“p与q等价”，“p当且仅当q”．三：充分条件、必要条件和充要条件与数学判定定理、性质定理及数学定义的关系1、判定定理实际上给出了一个充分条件．2、性质定理实际上给出了一个必要条件．3、一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的充要条件．4、判定定理和性质定理与充分条件、必要条件的关系（1）数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．（2）数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．题型精练考点一：充分条件、必要条件的判断【典例1-1】已知集合，，则“”是“”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【典例1-2】“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点二：根据充分条件求参数的范围【典例2-1】已知命题，命题或，其中．若是成立的充分不必要条件，求的取值范围．【变式2-1】已知集合，或．(1)当时，求；(2)若，且“”是“x∈CRB”的充分不必要条件，求实数的取值范围．考点三：根据必要条件求参数的范围【典例3-1】已知集合.(1)若，求；(2)若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围.【变式3-1】已知全集为R，集合，．(1)求；(2)若，且“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围．考点四：根据充要条件求参数的范围【典例4-1】命题p：一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是．【变式4-3】若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是．考点五：充要条件的证明【典例5-1】求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）.【变式5-1】设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为.模块三全称量词命题与存在量题命题知识梳理一：全称量词与全称量词命题1、全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示.2、全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题.3、全称量词命题的形式：对集合M中的所有元素x，，简记为：对.二：存在量词与存在量词命题1、全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示.2、存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题.3、存在量词命题的形式：存在集合M中的元素x，，简记为：对.三：命题的否定1、一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定.

2、如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然.四：全称量词命题的否定一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题：.五：存在量词命题的否定一般地，存在量词命题“”的否定是全称量词命题：.六：命题与命题的否定的真假判断一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.七：常见正面词语的否定举例如下：正面词语等于大于(>)小于(<)是都是否定不等于不大于(≤)不小于(≥)不是不都是正面词语至少有一个至多有一个任意的所有的至多有n个否定一个也没有至少有两个某个某些至少有n＋1个题型精讲考点一：全称量词命题与存在量词命题的识别【典例1-1】下列命题是全称量词命题的是（

）A．存在一个实数的平方是负数 B．至少有一个整数x，使得是质数C．每个四边形的内角和都是360° D．，【变式1-1】下列命题中是存在量词命题的是（

）A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数考点二：全称量词命题与存在量词命题的真假的判断【典例2-1】下列命题中为真命题的是（

）A．，B．，C．，D．，【变式2-1】下列命题中的假命题是（

）A．， B．，C．， D．，考点三：由全称量词命题的真假确定参数取值范围【典例3-1】写出一个使得命题“恒成立”是假命题的实数的值：．【变式3-1】已知命题是真命题，则的取值范围是.考点四：由存在量词命题的真假确定参数取值范围【典例4-1】已知命题：“，”是假命题，则实数a的取值范围是.【变式4-1】已知命题“：，”，若是假命题，则实数的取值范围是.考点五：全称量词命题的否定【典例5-1】命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【变式5-1】命题“”的否定为（）A． B．C． D．考点六：存在量词命题的否定【典例6-1】命题“”的否定是（

）A． B．C． D．【变式6-1】命题“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．，考点七：根据全称量词命题的否定求参数【典例7-1】若命题“”