2024届四川省成都市蓉城联盟高三三模文数试题及答案

2024届高三第三次模拟考试

文科数学

考试时间120分钟，满分150分

注意事项：

1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号和考籍号用0.5毫米的黑色签

字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。

2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦

擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答,

超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.设全集。={1,2,3,4,5},若集合M满足贝U

A.B.\^MC.2GMD.3eM

2.若复数z满足z（l+i)=2-i,则2=

1in1i「13.c13.

A.——i——B.-------C.-+-iD.一一—i

22222222

i.3।1

3.2-,2§,sin—，log?］四个数中最大的数是

2

2

八・3

A.2-B.VC.sin—D.log二）~

2’3

ABcD

5.地球生命来自外星吗？一篇发布在《生物学快讯》上的文章《基因库的增长是生命起

10

源和演化的时钟》可能给出了一种答案.该论文哺乳动物。

鱼类o>.

的作者根据生物功能性基因组里的碱基排列数j

的大小定义了基因库的复杂度V（单位：1）,&Io真核生物

W

通过研究各个年代的古代生物化石里基因库的

-K原核生物

家

复杂度，提出了一个有趣的观点生物基因库的因

端

复杂度近似是随时间呈指数增长的，只要知道生照。全基因组

女•功能性非冗余基因组

物基因库的复杂度就可以推测该生物体出现的—回归线

年代.如图是该论文作者根据生物化石（原核生-III

O2345

物，真核生物，蠕虫，鱼类，哺乳动物）X/十亿年

高三文科数学试题第1页（共5页）

中的基因复杂度的常用对数Igy与时间x(单位：十亿年)的散点图及回归拟合情况

(其中回归方程为：lgy=0.89x+8.64,相关指数尺？=0.97).根据题干与图中的信

息，下列说法错误的是

A.根据信息生物基因库的复杂度近似是随时间呈指数增长的情况，不同于作者采取

y取常用对数的做法，我们也可采用函数模型y=另x10&+k来拟合

B.根据回归方程可以得到，每过10亿年，生物基因库的复杂度一定增加到原来的

10%7.76倍

C.虽然拟合相关指数为0.97,但是样本点只有5个，不能很好地阐释其统计规律，

所以增加可靠的样本点可以更好地完善回归方程

D.根据物理界主流观点：地球的形成始于45亿年前，及拟合信息：地球在诞生之初

时生物的复杂度大约为IO'”，可以推断地球生命可能并非诞生于地球

6.若6是平面上两个非零的向量,则“芦+/=5|+|"”是“|必|=|叫回"的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

一3

7.在平面直角坐标系xQy中，角尸的始边均为Ox,终边相互垂直，若cosa=y，

则cos2/7二

9977

A.——B.——C.——D.——

25252525

8.已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，且当x〉0时，/(x)=x(l-lnx),贝!!当x<0时,

/(x)的单调递增区间为

A.(-00,-e)B.(-e,0)C.(-00,0)D.(-1,0)

9.已知公比不为1的等比数列｛4｝的前〃项和为S〃，若数歹U｛S〃+a〃｝是首项为1的等差

数列，则—

A.-12B.-C.-11D.上

2348

10.已知点尸，0分别是抛物线C:，=4x和直线=g上的动点，若抛物线。的焦点为

F,贝/P0I+I。尸|的最小值为

A.3B.2+V3C.2^/3D.4

11.已知正方体以某直线为旋转轴旋转a角后与自身重合，则a不可能为

7i—2兀一3兀一

AA.—B.—C.—D.71

234

r-4

12.若实数石，々是方程Gsin2x-cos2x=-§在区间(0,兀)上不同的两根，则

cos(x2一七)二

高三文科数学试题第2页(共5页)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若双曲线C的渐近线方程为岳±y=0,则C的标准方程可以是（写出一个

你认为正确的答案即可）.

14.若圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为.

15.若正实数a,6满足/+6?=加，则a+6的最大值为（用加表示）.

16.若函数/。）=/-履2大于0的零点有且只有一个，则实数后的值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考

题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（-）必考题：共60分。

17.（12分）

在8c中，BC=5,AC=6,cosB=~.

（1）求N8的长；

（2）求△4BC的面积.

18.（12分）

为了更好地培养国家需要的人才，某校拟开展一项名为“书香致远，阅读润心”的读

书活动，为了更好地服务全校学生，需要对全校学生tf|

的周平均阅读时间进行调查，现从该校学生中随机抽o』*二二5A

取200名学生，将他们的周平均阅读时间（单位：小O.iof----------------

0.05

时)数据分成5组：[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),0.02

4681012时间（单位：小时）

[10,12],根据分组数据制成了如图所示的频率分布直口」回，午皿：，」口〃

方图.

（1）求。的值，并估计全校学生周平均阅读时间的平均数；

（2）用分层抽样的方法从周平均阅读时间不小于8小时的学生中抽出6人，再随机选

出2人作为该活动的形象大使，求这2人都来自[8,10）这组的概率.

19.（12分）

高三文科数学试题第3页（共5页）

已知在四棱锥P-N8C。中，P/_L平面/BCD,四边形/BCD是直角梯形，满足

AD//BC,AD±DC,若PA=AD=DC=2,BC=3,点、M为

的中点，点N为PC的三等分点(靠近点尸).

(1)求证：平面尸C。；

(2)求三棱锥尸-/脑V的体积.

20.(12分)

22

已知椭圆£:=+4=1(。>6>0)上的点河(2,1)到焦点月，F,的距离之和为4亚.

ab

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点N(4,0)的直线交椭圆E于4,8两点，直线/M,2M分别交直线尤=4于

P(xp,yp),两点，求证：yP+ye=0-

21.(12分)

己知函数/(x)=lnx,若数列｛%｝的各项由以下算法得到：

①任取q=a(其中0>0),并令正整数，=1；

②求函数/(%)图象在QJQ))处的切线在y轴上的截距％+1；

③判断°加>0是否成立，若成立，执行第④步；若不成立，跳至第⑤步；

④令，=i+l,返回第②步；

⑤结束算法，确定数列｛%｝的项依次为4,a2,■■■,aM.

根据以上信息回答下列问题：

(1)求证：aM=Inq.-1；

(2)是否存在实数。使得｛%｝为等差数列，若存在，求出数列｛%｝的项数〃；若不存

-i-+i

在，请说明理由.参考数据：ee273.11.

(-)选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第

一题计分。

22.［选修4一4：坐标系与参数方程］(10分)

x=—t,

la为参数)，曲线的参

)y=Y3t

数方程为尸="+c°s”'为参数)，以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极

［y=sina

坐标系.

(1)求G与G的极坐标方程；

高三文科数学试题第4页(共5页)

(2)若G与G的两不同交点4，5满足方=2砺，求。的值.

23.［选修4—5：不等式选讲］(10分)

已知函数f{x}=x-m,g(x)=x+2.

(1)当加=1时,解不等式|/(x)|+|g(x)|”5；

(2)若xw(-l,+8),|/(x)|g(x-2)+/(x)|g(x)|>0成立，求加的取值范围.

高三文科数学试题第5页(共5页)

2024届高三第三次模拟考试

文科数学参考答案及评分标准

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

123456789101112

BDBABACDDCCA

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2____2

13./一匕=i(或其它合理答案)14.V315.屈16.—

24

三、解答题:本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）

解：（1）设角4,B,。所对的边分别为a,b,c,

由余弦定理，将”=5,6=6代入〃=/+M—2QCCOS5,........................2分

得36=25+C2_2X5CX—,化简得4c?—5c—44=0,

8

解得。=4或。=一口（舍）；............6分

4

（2）因为sin8=Jl-cos?B,........................9分

8

rrpjQ_1•p_14/3A/7_15-V7........................10八

JTT以,/SABc=—acsinB——x5x4x------=-------.........................12刀

2284

18.(12分)

解:(1)由题易知组距为2,

所以(0.02+0.05+0.1+a+0.18)x2=l,解得。=0.15,........................2分

设平均数为亍，贝I元=(3x0.02+5x0.18+7x0.15+9x0.1+11x0.05)x2=6.92,

估计全校学生周平均阅读时间的平均数为6.92小时；............6分

(2)由频率分布直方图可知不小于8小时的分为［8,为)和［10,12］两组,频数之比为0.1:0.05=2:1,

这两组被抽取的人数分别为4,2,

记［8,10)中的4人为4,a2,a3,%，［10,12］中的2人为4,b2,........................8分

从这6人中随机选出2人，则样本空间

{a］a2,aia3,n〔a4,a2a3,a,a4,a3a4,a)b1，ci12,a26］,a2^^2,3b］,3^^2，4,a4,b1^^2}，

共15个基本事件，............10分

设事件/为这2人都来自［8,10),N={%出,4%，,%&，%%}，共6个样本点，

所以/>(/)=［=［.............12分

1

19.（12分）

解：（1）由题易知尸/_LCD,又4D_LCD,

又因为P/n4D=/，

PA,4Du平面尸4D,所以CD_L平面P4D,........................2分

又因为/Mu平面尸所以NMJ_CO,

又因为4P=/。，点M为中点，所以NM_LP£>,........................4分

又因为C£>nPD=。，CD,PDu平面PCD,

所以/ML平面PCD；........................6分

（2）由（1）知CD_L平面尸40,又PZ）u平面P4D,所以CD_LPZ）,

所以SgcD=：PD-CD=；x2母乂2=2垃，........................8分

所以=；x2及x收=；........................9分

因为PAf=Lp。，PN=-PC,

23

所以S*=-PM-PN-sinZCPD--x-P£>x-PC-sinZCPD=-S.,........................11分

LxrjvLi'i22236drpirun

i?

所以三棱锥P-AMN的体积V_=V_=-V-=--........................12分

PAMNAPMN6APCD9

20.（12分）

解：（1）由椭圆的定义知2a=4A伤，所以/=8,

所以加=2,

22

所以椭圆E的方程为±+乙=1；4分

82

（2）①当直线与x轴重合时，可设/（-2艰,0）,3（2四,0）,

由相似三角形的性质得外=让空1=也，4-272r-

为=匚运=-巧

2V2+2

所以为,+歹。=0;7分

②当直线45不与％轴重合时，设45的方程为％="-4,

同时设点Z,B的坐标分别为（项,必），（x2,y2）,

由题意，直线不过点M（2,l）和（2,-1）,所以％w±6,

联立\“一8得（*+4）必+附+8=0,

[x=ty+4

QfQ

由题意知A>0,所以44,且必+%=不，必％=77r............❷分

由题意知直线2”的斜率存在，贝-1=西二0-2），

石—2

当％=4时，y=2（y1）।]=2%2+/2=«+2）为二（%+2）。।

项一2X]-2再一2tyy+2

2

同理可得用=(,?:

11分

如出+9^=(2/+旬必％+⑵+4)(“+%)

所以%+坨=

纵+2优+2(%+2)(仇+2)

又因为必+%=一彷%，

所以…广”=。,

综上所述，外+%=0.12分

21.(12分)

解：(1)由题得r(x)=L,曲线y=/(x)在点(a,,/(a,))处的切线方程为

X

1V

y_/(4)=—(x-QJ,即y—lnq.=---],............2分

4生

令％=0得y=lnq-1,此切线交y轴于点(O,lnq-1),

所以4+i=Inq-1；............4分

(2)若｛%｝为等差数列，设其公差为d,

贝!Jd=aM-q=Inat-at-1,1„i„n,

11—y

令g(x)=Inx-x-1则g'(x)=——1=----，

?xx

当(0,1)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

当X£(L+8)时，g\x)<0,g(x)单调递减，

所以g(X)max=g(D=—2，

因此d=g(X)最多有两不同的根，即最多3项成等差数列，............8分

若q,a2,生成等差数列，即q+。3=2〃2，

由(1)知出=山%-1,所以%=e"2+i,X=Ina2-1,

记函数h(x)=ex+l+Inx-1-2x,贝！]h'(x)=ex+1+--2,

所以当x£(0,+oo)时，h,(x)>0,所以〃(x)在(0,+oo)上单调递增，..........10分

1[+19-4+12-4+1

X/z(—)=ee-2-1-=ee-3—--<ee-3.2<0,

eee

XA(l)=e2-3>0,

所以存在使得/z(x0)=0,

所以存在出e(2,l),使得q+%=24,即｛%｝为等差数列

此时a=%=e"N,数列｛%,｝的项数为3.............12分

3

22.（10分）

解：（1）将X=QCOS。，y=/7sin。代入G的参数方程得"sin6=-G/?cose,

2

即G的极坐标方程为兀，QER,............2分

,,八.八八、、上公公电心、□「夕cos6=a+cosa

将x=/?cos。，y=psm6代入。2的参数方程得1，

[夕sin6=sina

化简得曲线C2的极坐标方程为夕2一2。2cos6+/_1=o；............5分

（2）设，（8,日），8（2,日），联立直线G与曲线C2的极坐标方程，

忙-2QQCOS6+Q2-1=0

得<2，化简为夕2+qp+/_]=0,

6=—71

I3

因为判别式A=/一4伍2-1）=4一3/>0,即3/<4,............8分

又因为方=2幅，所以8夕2=/-1〉0，解得/>1,

同时夕1=2夕2，所以夕1+夕2=3P2=-。，解得月=一~"，夕2=—|，

所以夕10=得-=/一1,结合解得。=±_Z_.............10分

23.（10分）

解：（1）加=1时，即解不等式|X-1|+|%+2]”5,............1分

当X”-2时，不等式为-工+1-2-X”5,解得x…-3,............2分

当-2Vx<1时，不等式为-x+l+x+2”5,不等式恒成立，............3分

当X...1时，不等式为x-l+x+2”5,解得x”2,............4分

综上所述：不等式|/（x）|+|g（x）|”5的解集为“|-3"X”2｝；............5分

（2）|/（x）|g（x-2）+/（x）|g（x）|〉0即为冽|+（x_冽）|%+2]〉0,

①当加”一1时，不等式为x（x-加）+（%—加）（x+2）>0,

即（x-加）（x+l）〉0,不等式恒成立，............7分

②当冽>一1时，对一l<x<冽时，不等式为2（%-冽）>0,

此时不等式对工£（-1,+8）不恒成立，............9分

综上所述：加的取值范围为冽,，-1.............10分

4

解析：

1.【命题意图】涉及集合的表示方法，集合间的基本关系与基本运算，考查学生的逻辑推理能力。

【解析】因为所以M[{2,3,5},选B.

2.【命题意图】涉及复数的表示，四则运算，考查学生的符号意识与运算能力。

【解析】•=二")(1-)选口.

1+i(l+i)(l-i)222

3.【命题意图】考查学生对数的直观感知能力，及对基本初等函数的性质的理解。

131

【解析】log-<0,2-3<1,sin-<l,23>1,选B.

232

4.【命题意图】考查学生阅读能力，快速获取信息能力，要求学生有直观感知图象，数学抽象的核心素

养。

【解析】因为函数/(%)的定义域为{x|xwO},故排除D,又因为/(x)是奇函数，故排除B,令

x=-,得尸一^—<0,排除C,选A.

2-ln(7i2+l)

5.【命题意图】涉及函数的图象与性质考查学生对基本知识，基本方法，基本技能的考查。

【解析】因为y与x是相关关系，故B选项中的“一定”用词不当，选B.

6.【命题意图】考查学生对向量的四则运算，模，数量积的理解，培养学生知识迁移能力，同时提高学

生数学思考水平。

【解析】设|a+b|=|a|+S|,两边平方得ab=|俄||b|,又ab=|a||b|cos<>=|a||b|,即

cos<a,b>=1,<a,b>=兀；|«/)|=|a||61|cos<a,b>|=|a||61,HPcos<a,b>=±1,故<a,b>=0或兀，

故前者是后者的充分不必要条件，选A.

7.【命题意图】涉及三角函数的定义，垂直的两角的三角函数值的数量关系，二倍角公式；培养学生良

好的数感、量感。

【解析】因为尸=a±]+2桁(左eZ),所以sin%=sin1a士曰+2E)=cos2a,所以cos2〃=l-2sin7

7

=l-2cos2a=—,选C.

25

8.【命题意图】涉及函数与导数的关系，同时和奇偶性结合起来，考查学生对函数的基本性质的理解,

同时又需要学生函数的研究方法有深刻认识。

【解析】当x>0时,/(无)的导函数/,(x)=l-lnx-l=-lnx,令f'(x)>0,解得0<x<1,又因为/(x)

为奇函数，在对称区间的单调性相同，所以x<0时，/(x)单调递增区间为(-1,0),选D.

9.【命题意图】对数列必备知识有一定要求，对等差、等比数列性质的综合性应用较高，考查学生数学

运算的核心素养。

【解析】因为数列{S.+%}是等差数列，所以S“+a“+S“+2+a“+2=2S“M+2a“M，化简得

%+2a”+2=3a“+],由等比数列的性质得1+2q2=3q,解得q=g(舍去1),又S]+%=1,所以

at=—,所以a,,==(1)"，所以%=L选D.

228

10.【命题意图】本题涉及抛物线、直线的几何性质，借用垂直平分线的思想将系数将目标转化为两线段

的和，再利用三角形的基本知识求得结果，有一定的创新性和综合性，考查数学建模、数学运算、直

观想象的核心素养。

【解析】设尸的坐标为(%,打)，厂(1,0)关于/的对称点是7(4,0),容易知道10用=|。7],所以

\PQ\+\QF\=\PQ\+\QT\...\PT\,|PT|=J(¥-4)2+y：,(%eR),由二次函数的性质得

\PT\...273,选C.

5

11.【命题意图】涉及空间几何体的结构特点，点线面之间的关系，需要学生有一定空间观念，空间想象

能力，考查学生直观想象，数学建模，数学运算核心素养。

【解析】当直线经过正方体对面中心时，正方体绕直线旋转段/eZ）时，与自身重合；当直线经过

正方体的体对角线时，正方体绕直线旋转手/eZ）时，与自身重合当直线穿过正方体对棱中点时,

正方体绕直线旋转船（左eZ）时，与自身重合；其他情况，正方体绕直线旋转2包（左eZ）时，与自身

重合，选C.

12.【命题意图】本题涉及三角函数的图象与性质，辅助角公式，诱导公式的综合应用，对学生能力要求

较高，兼顾数学知识的综合性与应用性。

【解析】方程百sin2x-cos2x=」可化为sin（