2024年高考数学一轮复习（新高考版） 空间直线、平面的垂直

§7.5空间直线、平面的垂直

【考试要求】I.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系2掌握直线与平

面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用.

・落实主干知识

【知识梳理】

1.直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义

一般地，如果直线/与平面a内的任意一条直线都垂直,就说直线/与平面a互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

如果一条直线与一个平mUa、

1

nUa

面内的两条相交直线垂

T

判定定理HZG加=尸

直，那么该直线与此平

/_L-

面垂直/_L〃J

ab

垂直于同一个平面的两a-La\

性质定理

条直线平行2742

2.直线和平面所成的角

⑴定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的

角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是塑；一条直线和平面平行，或在平面内，

我们说它们所成的角是

(2)范围：［0,2■

3.二面角

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

(2)二面角的平面角：如图，在二面角a—/一产的棱/上任取一点。，以点。为垂足，在半平

面a和£内分别作垂直于棱/的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的叫做二面角

的平面角.

(3)二面角的范围：［0,兀］.

4.平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

如果一个平面过另一个%

判定定理平面的垂线,那么这两/

a±/3\"

个平面垂直/L

两个平面垂直，如果一

a_L£、

个平面内有一直线垂直

aG6=。

性质定理于这两个平面的交线,/>=/_La

l-La

那么这条直线与另一个L/£7/u£,

平面垂直

【常用结论】

1.三垂线定理

平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这

条斜线垂直.

2.三垂线定理的逆定理

平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射

影垂直.

3.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“或“X”)

(1)若直线/与平面a内的两条直线都垂直，则/_La.(X)

(2)若直线a_La,b_La,则。〃6.(V)

(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.(X)

(4)若a_L£,则a〃a.(X)

【教材改编题】

1.(多选)下列命题中不正确的是()

A.如果直线a不垂直于平面a,那么平面a内一定不存在直线垂直于直线a

B.如果平面a垂直于平面£,那么平面a内一定不存在直线平行于平面£

C.如果直线。垂直于平面a,那么平面a内一定不存在直线平行于直线。

D.如果平面a_L平面£,那么平面a内所有直线都垂直于平面£

答案ABD

解析若直线。垂直于平面a,则直线。垂直于平面a内的所有直线，故C正确，其他选项

均不正确.

2.如图，在正方形SGiG2G3中，E,尸分别是G1G2，G2G3的中点，。是EF的中点，现在沿

SE,SP及EF把这个正方形折成一个四面体，使Gi,G2,G3三点重合，重合后的点记为G,

则在四面体S-EFG中必有()

A.SG_LZ\EPG所在平面

B.Sr>_LZ\E/G所在平面

GP_LZ\SEP所在平面

D.G£)_LZ^SEr所在平面

答案A

解析四面体S—EFG如图所示，由SG_LGE,SG±GF,

GECGF=G且GE,GPU平面EFG得SGLAEFG所在平面.

3.已知尸。垂直于正方形ABCD所在的平面，连接尸8,PC,PA,AC,BD,则一定互相垂

直的平面有对.

答案7

解析如图，由于尸。垂直于正方形A8CD,故平面PD4J_平面ABC。,平面平面A8C7),

平面POC_L平面ABCD,平面PZM_L平面PDC,平面B4C_L平面PDB,平面B48J_平面PAD,

平面PBC1平面PDC,共7对.

・探究核心题型

题型一直线与平面垂直的判定与性质

例1(1)己知/，根是平面a外的两条不同直线.给出下列三个论断：

①/_1_机；②加〃a；③/_La.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题.

答案②③=①(或①③=②)

解析已知/,根是平面a外的两条不同直线，由①/_!_m与②加〃a,不能推出③/_La,因为

/可以与a平行，也可以相交不垂直；由①/J_〃z与③/J_a能推出②机〃a；由②机〃a与③/J_a

可以推出①人机

⑵(2023•娄底模拟汝口图，在三棱柱ABC—ABC中，点所在底面ABC内的射影恰好是点C.

①若点。是AC的中点，S.DA^DB,证明：ABXCCi.

②已知BiG=2,BiC=24,求△8CG的周长.

①证明：点3在底面A8C内的射影是点C,

平面ABC,

平面ABC,：.BiC±AB.

在△ABC中，DA=DB=DC,：.BC.LAB,

:BCCBiC=C,BC,BiCu平面3CCM

.•.AB_L平面BCCiBi,

：CC1u平面BCCtBi,AB±CC1.

②解如图，延长8C至点E,使8C=CE,

连接CiE,则SG统CE,四边形&CEG为平行四边形,

则CiE^BiC.

由①知BiC_L平面ABC,；.GE_L平面ABC,

,：CE,BEU平面ABC,

ACrEl.CE,CiELBE,

,；CiE=BiC=2事,CE=BC=BC=2,BE=4,

：.CCi=AJC£2+CIE2=4,BCi=、BE2+CIE2=2s,

/.ABCCi的周长为2+4+2币=6+2巾.

思维升华证明线面垂直的常用方法及关键

(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a〃6,a_Lanb_La);

③面面平行的性质(a_La,a〃gal/J);④面面垂直的性质.

(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.

跟踪训练1如图，在正方体48C。一AiBCQi中，E,尸分别是棱C。，4。的中点.

⑴求证：ABi±BF；

(2)求证：AE±BF；

(3)棱CG上是否存在点P,使8尸，平面AEP?若存在，确定点P的位置，若不存在，说明

理由.

⑴证明如图,连接42,则

因为AiP_L平面ABC平面ABB.,

所以AiFLABi,

又4BCAiP=Ai,

所以AS_L平面AiBR又BPU平面A}BF,所以A&_LBE

(2)证明如图，取棱A。的中点G,连接尸G,BG,则尸GLAE,

因为A8=OA,AG=DE,ZBAG=ZADE,所以△BAGgAAOE,所以/A8G=NZME

所以AEJ_BG.又因为8GnfG=G,所以AEJ_平面BFG

又Bbu平面8FG,所以AE_LBF.

(3)解存在.如图，取棱CG的中点尸，即为所求.连接EP,AP,C\D,因为E尸〃C。，

C1D//AB1,所以E尸〃ABi.

由(1)知A8i_LBF,所以8F_LEP

又由⑵知AE_L8F,且AECEP=E,

所以8口L平面AEP.

题型二平面与平面垂直的判定与性质

例2(2023•桂林模拟)如图所示，已知在四棱锥产一A8CD中，底面ABCD是矩形，平面PAD1.

底面ABCZ)且A8=l,PA=AD=PD=2,E为PC的中点.

(1)求证：平面PC£)_L平面ACE；

(2)求点B到平面ACE的距离.

⑴证明由24=A£)=P。，E为尸。的中点，可得

因为CZ)_LA。，平面B4Z)_L平面ABC。，平面RWA平面A8CD=A。，CZ)u平面ABC。，所

以CZ)_L平面PAD,

而AEU平面以。，所以CD_LAE,

由CDDPD=D,则AE_L平面PCD,

又AEu平面ACE,所以平面PCD_L平面ACE

(2)解如图，连接BO,与AC交于。，则。为8。的中点，

所以点。到平面ACE的距离即为点B到平面ACE的距离.

由平面PCZ)_L平面ACE,过D作。M_LCE,垂足为

则DML平面ACE,则DM为点、D到平面ACE的距离.

由CZ)_L平面PAD,可得CDLPD,

1'历

又CD=DE=1,所以

即点2到平面ACE的距离为坐.

思维升华(1)判定面面垂直的方法

①面面垂直的定义.②面面垂直的判定定理.

(2)面面垂直性质的应用

①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直

线”.②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.

跟踪训练2(2022啷郸模拟)如图，在四棱锥P—ABC。中，AB//CD,ABLAD,CD^2AB,

平面B4O_L平面A3CD,PALAD,E和尸分别是CZ)和PC的中点，求证：

(1)B4_L平面ABCD；

⑵平面2跖〃平面PAD-,

(3)平面平面PCD.

证明(1)：平面B4£>_L平面ABCD,

且PA垂直于这两个平面的交线AD,

...朋_L平面A8CD

(2Y：AB//CD,CD=2AB,E是CD的中点，

C.AB//DE,3.AB^DE,

四边形ABED是平行四边形，：.AD//BE,

；区的平面B4£),AOU平面出£),...BE〃平面E4£),

；E和尸分别是CD和PC的中点，EF//PD,

平面BW,POU平面出。，；.£尸〃平面RW,

；BECEF=E,BE,EFU平面BEF,

平面BEP〃平面PAD.

(3Y：AB1.AD,；.平行四边形ABED是矩形，：.BE±CD,ADLCD,

由①知B4_L平面ABCD,：.PA±CD,

,：PAHAD=A,

，CZ)_L平面外。，：.CD±PD,

和尸分别是CO和PC的中点，：.PD//EF,

J.CDLEF,又；BECEF=E,:.CD_L平面BEF,

：COu平面PCD,；.平面BEF1平面PCD.

题型三垂直关系的综合应用

例3如图，已知ABC。-421cbDi是底面为正方形的长方体，ZADiAi=60°,Ad=4,点

产是Ad上的动点.

(1)试判断不论点P在ADi上的任何位置，是否都有平面平面AAiDiD,并证明你的结

论；

(2)当尸为A。的中点时，求异面直线AAi与a尸所成的角的余弦值；

⑶求PBi与平面AAiDiD所成的角的正切值的最大值.

解⑴是...•&41,平面441。。，8AU平面

二平面BB4J_平面AAiDiD,

无论点尸在AOi上的任何位置，都有平面BB4_L平面AAQiD

⑵过点P作PELAiOi,垂足为E,连接SE,如图，

B

BI

则PE//AAi,

/SPE(或其补角)是异面直线A4i与BiP所成的角.

在RtAAAiD,中，

ZAJDIAI=60°,

ZAiADi=30°,

•*.AiBi=AiZ)i=1-ADi=2,

/.Ai£=^AiDi=1,AAi=y[3AiDi=2\[3,

.,.PE—^AAi-yl3,BiE—yjAiB^+AiE2—y15,

：.在RtABiP£中,

BIP=NBIE?+PE2=2小,

XPE小乖

cos/ZRBrPE-^p-^-4.

...异面直线A4i与SP所成的角的余弦值为坐.

(3)由⑴知,23」平面441AD,

ZBiPAi是PBt与平面AAxDrD所成的角，

tan/8iM=亦"=病

.•.当4P最小时,tan/田抬1最大，

这时AiP_LAZ)i,

4DA1D1AA1r-

A1P-AD,

得tanZBi/Mi=

即PBi与平面A41D1Z)所成的角的正切值的最大值为芈.

思维升华(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.

(2)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相

关定理、性质进行推理论证.

跟踪训练3(2023•柳州模拟)如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2,PA=PB=PC=AC

=2嫄，。为AC的中点.

(1)证明：POJ_平面ABC；

(2)若点M在棱BC上，且PM与平面ABC所成角的正切值为《，求二面角M—B4—C的平

面角的余弦值.

⑴证明方法一如图，连接0A

P

：AB=BC=2,AC=2币,

：.AB2+BC2^AC2,

即△ABC是直角三角形，

又。为AC的中点，

；.OA=OB=OC,

又,：FA=PB=PC,

：.APOAgAPOB安△尸OC,

ZPOA=ZPOB=ZPOC=90°.

：.PO±AC,POA,OB,

'：OBC\AC^O,OB,ACU平面ABC,

平面ABC.

方法二如图，连接。8,

VB4=PC,。为AC的中点，Bi=PB=PC=AC=2®

：.PO±AC,PO=y[6,

又•；AB=BC=2,

：.AB±BC,BO=yf2,

:.PU+OB2=PB2,

J.POLOB,

'：OBC\AC^O,OB,ACU平面ABC,

；.PO_L平面ABC.

(2)解由(1)知，尸。,平面ABC,

：.0M为PM在平面ABC上的射影，

ZPMO为PM与平面ABC所成角，

,：tanZPM0=-^=^=y[6,

：.0M=1,

在△ABC和△OMC中，由正弦定理可得MC=1,

:.M为BC的中点.

如图，作ME_LAC交AC于E,

p

则E为。C的中点，作EF_LE4交P4于足连接MF,

：.MFLPA,

二/M在1即为所求二面角M—B4—C的平面角，ME=V，

功=当£=9％2吸=乎，

MF=7M^+EF2=^,

：.cosZMFE=j^=^-,

故二面角M—E4—C的平面角的余弦值为呼之

课时精练

应基础保分练

1.（多选）若平面a,4满足aC.=l,PGa,Pil,则下列命题中是真命题的为（）

A.过点P垂直于平面a的直线平行于平面”

B.过点P垂直于直线/的直线在平面a内

C.过点P垂直于平面£的直线在平面a内

D.过点P且在平面a内垂直于/的直线必垂直于平面£

答案ACD

解析由于过点尸垂直于平面a的直线必平行于平面乃内垂直于交线的直线，则直线平行于

平面£,因此A正确；过点尸垂直于直线/的直线有可能垂直于平面a,不一定在平面a内，

因此B不正确；根据面面垂直的性质定理知，选项C,D正确.

2.如图，在四棱锥P-ABCD中,与&BC是正三角形,平面以B_L平面PBC,AC±BD,

则下列结论不一定成立的是（）

A.BP±ACB.PO_L平面ABC。

C.ACLPDD.平面平面ABC。

答案B

解析如图，取线段BP的中点。，连接。4,0C,易得BPLOA,BP±OC,又。4noe=

0,所以BP_L平面O4C,所以BP_LAC,故选项A正确；又AC_LB。，BP<T\BD=B,所以

AC_L平面PBD,所以AC_LPD,故选项C正确；又ACU平面ABC。，所以平面尸8。_L平面

ABCD,故选项D正确.

A

;

3.如图，在斜三棱柱ABC—A由1G中，N8AC=90。，BQ1AC,则Ci在底面ABC上的射影

H必在（）

A.直线上

B.直线8c上

C.直线AC上

D.△ABC内部

答案A

角翠析连接AG（图略），由AC_LAB,ACIBCi,ABDBC^B,得ACJ_平面ABCi.：ACU平

面ABC,；.平面A3G_L平面ABC.：.Ci在平面ABC上的射影H必在平面ABCi与平面ABC

的交线AB上.

4.（多选）如图，在以下四个正方体中，直线A8与平面CDE垂直的是（）

答案BD

解析对于A,显然与CE不垂直，则直线与平面CDE不垂直；对于B,因为A8LCE,

AB±ED,且CECED=E,所以AB_L平面CDE；对于C,显然A8与CE不垂直，所以直线

AB与平面CDE不垂直；对于D,因为即_L平面ABC,则ED±AB,同理CE1.AB,因为

EDHCE=E,所以A8J_平面CUE.

5.（多选X2022・齐齐哈尔模拟）若利，〃是两条不同的直线，a,p,y是三个不同的平面，则下

列命题错误的是（）

A.若mU0,a邛,则7“J_a

B.若〃z〃a,n//a,贝!|

C.若m邛,m//a,则a_l_£

D.若a_l_y,a.L/3,则尸J_y

答案ABD

解析由机，w是两条不同的直线，a,p,y是三个不同的平面，

在A中，若mU£,al./3,则机与a相交、平行或mUa,故A错误；

在B中，若机〃a,n//a,则机与“相交、平行或异面，故B错误；

在C中，若m邛,m//a,则由面面垂直的判定定理得故C正确；

在D中，若a_Ly,al.,则//与y相交或平行，故D错误.

6.（多选）在长方体ABCO-AIiGDi中，已知BQ与平面42C。和平面44出8所成的角均

为30。，则下列说法正确的是（）

A.AB=y/2AD

B.AB与平面ABC。所成的角为30。

C.AC=CBi

D.8。与平面3B1GC所成的角为45°

答案AD

解析如图，连接BD,易知NBDBi是直线8。与平面A8CO所成的角，

所以在RtABDBi中，ZBDBi=30°,

设881=1,MilBiD=2BBi=2,

BD=NBID2—BBM=4

易知N48。是直线BiD与平面AAiBiB所成的角，

所以在RtAADBi中，ZABiD=30°.

因为囱。=2,所以暴1。=1,

ABi=邓1。2一人。2=事,

所以在RtZ\ABBi中，AB=7AB1—BBq=p=巾AD,所以A项正确;

易知NBAS是直线AB与平面ABC。所成的角，

因为在RtAABBi中，

AD\JZ

所以NA4B1W30。，所以B项错误;

在RtACBBi中，CBi=y]BC2+BB^=y[2,

而AC=、AB2+BC2=V§,所以C项错误；

易知NDBiC是直线B1D与平面BB1C1C所成的角，

因为在RtZkDBC中，CB尸CD=®所以NZ56C=45。，所以D项正确.

7.如图所示，在四棱锥尸一ABC。中，PA±^ABCD,且底面各边都相等，M是PC上的

一动点，当点M满足条件：①②DM1PC,③中的时，平面

M2。，平面PC£>（只要填写一个你认为是正确的条件序号即可）.

答案②（或③）

解析连接AC（图略）：E4_L底面ABCD,；底面各边都相等，：.AC±BD.

VB4nAC=A,，台。，平面B4C,：.BD±PC.

当。M_LPC（或BALLPC）时，即有PC_L平面

而PCU平面PCD,平面平面PCD

8.在矩形ABC。中，AB<BC,现将△A8。沿矩形的对角线8。所在的直线进行翻折，在翻

折的过程中，给出下列结论：

①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；

②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；

③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直.

其中正确结论的序号是.

答案②

AE1BD]

解析①假设AC与垂直，过点A作于点E,连接CE,如图所示.贝（）,

BD±AC]

=2。，平面AEC,则而在平面BC。中，CE与2。不垂直，故假设不成立，①不

正确；

②假设AB_LC£»,CDCA£）=。，，人台，平面AC。，由AB<BC可知,

存在这样的直角三角形，使ABLAC,故假设成立，②正确；

③假设AO_LBC,'：CD±BC,ADHCD=D,.♦.BC，平面AC。，：.BC±AC,即△ABC为直

角三角形，且AB为斜边，而A8<BC,故矛盾，假设不成立，③不正确.

9.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是NZM3=60。且边长为a的菱形，侧面PAD

为正三角形，其所在平面垂直于底面A8C。，若G为的中点.

(1)求证：3G_L平面B4。；

(2)求证：ADLPB；

(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点尸，使平面。平面ABC。？并证明你

的结论.

⑴证明在菱形ABC。中，ZDAB=60°,G为的中点，

所以BGLAD.

又平面B4Z)_L平面ABC。，平面B4OC平面A8CO=A。，8GU平面ABC。，所以BGJ_平面

PAD.

(2)证明如图，连接PG,因为△以。为正三角形，G为线段的中点，

所以PGLAD.

由(1)知BG_LA。，又PGCBG=G,所以AO_L平面PGB.

因为PBU平面尸GB,所以AO_LP8.

(3)解能，当尸为线段PC的中点时，平面。平面ABCD证明如下：

如图，取线段PC的中点居连接。E,EF,DF.

在△PBC中，FE//PB,在菱形42c。中，GB//DE.

而FEU平面。£/，DEU平面DEF,EFCDE=E,PBU平面PGB,GBU平面PG2,PBCGB

=B,所以平面。EP〃平面PGA

因为平面B4O_L平面ABC。，平面E4£>n平面A2Cr)=AD,PGu平面力。，PG±AD,所以

PG_L平面ABCD

又尸GU平面PG8,所以平面PG8J_平面ABCD,

所以平面平面ABCD.

10.(2023•广州模拟)如图，在三棱锥尸一A8C中，平面胆CJ_平面PBC,必，平面ABC.

C

(1)求证：8C_L平面E4C；

(2)若AC=BC=E4,求二面角A-PB-C的平面角的大小.

⑴证明如图，作AOLPC交PC于点。，

因为平面B4C_L平面尸3C,平面mCCI平面P8C=PC,ADU平面B4C,

所以AO_L平面PBC,

又BCU平面PBC,所以AO_L8C,

又因为B4_L平面ABC,8CU平面ABC,

所以PA1.BC,

又B4,AZJU平面出C,B4AA£)=A,

所以BC_L平面PAC.

(2)解如图，作AOLPC交尸C于点。，DE工PB交PB于点E,连接AE,

由⑴知AO_L平面PBC,

因为尸8<=平面PBC,则ADA.PB,

又A。，OEU平面AOE,ADC\DE=D,

所以PB_L平面ADE,

因为AEU平面ADE,

所以尸8_LAE,

则即为二面角A—PB—C的平面角.

又。EU平面PBC,则ADLDE,

不妨设AC=BC=B4=1,

贝1PC="AD=,=号

又由(1)知BC_L平面PAC,

因为ACU平面PAC,

所以BC±AC,

所以AB=啦，平面ABC,

又ABU平面ABC,

贝IIPALAB,贝IPB=4AE=1=坐

近

则sin/AED=^=巫=当,

3

由图知二面角A—PB—C的平面角为锐角,

TT

所以NAED巧,

rr

即二面角A—PB—C的平面角的大小为I.

合提升练

11.如图，正三角形B4。所在平面与正方形ABC。所在平面互相垂直，。为正方形A8CD的

中心，〃为正方形ABC。内一点，且满足MP=MC,则点M的轨迹为()

A

答案A

解析如图，取A。的中点E,连接PE,PC,CE.

因为△B4。为正三角形，

所以PELAD,

又平面R1£)_L平面ABCD,平面E4OCI平面ABCZ)=AD,

所以PE_L平面43CD,

从而平面PEC_L平面A2CZ）,分别取PC,A3的中点尸，G,连接DG,FG,

由PD=DC知DFLPC,易得DG±EC,

则DG_L平面PEC,

又PCU平面PEC,

所以DGLPC,

又DFCDG=D,

所以PC_L平面DFG,

又点尸是PC的中点，

因此，线段。G上的点满足MP=MC.

12.（多选）如图所示，一张A4纸的长、宽分别为2吸a,2a,A,B,C,D分别是其四条边的

中点.现将其沿图中虚线折起，使得尸1,P2,P3,尸4四点重合为一点H从而得到一个多面

体.下列关于该多面体的命题正确的是（）

「'I~

八

/、

/\

/\

代----------）c

X、/

\/

p,y1%

A.该多面体是四棱锥

B.平面8AO_L平面

C.平面8AC_L平面ACD

D.该多面体外接球的表面积为汕

答案BC

解析由题意得该多面体是一个三棱锥，故A错误；

平面BCD.

又：APU平面R4。，.•.平面R4Z5_L平面BCD,故B正确；同理可证平面A4C_L平面AC£）,

故C正确；通过构造长方体可得该多面体的外接球半径R=晋0,所以该多面体外接球的表

面积为5m2,故D错误.

13.（多选）如图，在正方体ABC。一AiBiCiOi中，点尸在线段SC上运动，则下列说法正确

的是（）

A.直线BA_L平面AiG。

B.三棱锥尸一AiG。的体积为定值

jrjr

C.异面直线”与AQ所成角的取值范围是由f

D.直线CiP与平面AiCiD所成角的正弦值的最大值为由

答案ABD

解析A项，如图，连接Bid,

由正方体可得AiCi±BiDi,

且班」平面AiBiCQi,

又4GU平面AiBCQi,

则BBi±AiCi,

因为8。1口281=21,

所以AiG，平面BDB,

又BAU平面BDiBi,

所以4Ci_LBG.

同理，连接AOi,易证得AbD_LBOi,

因为4。口4(71=4,AiD,A1QU平面AC。，

所以8口，平面AiCi。，故A正确；

B项，匕棱黜_46。=上棱锥G-A?。'

因为点尸在线段BiC上运动，

所以=51DAB，为定值，

且G到平面A1P。的距离即为G到平面AiBiC。的距离，也为定值，

故三棱锥尸一4G。的体积为定值，故B正确；

C项，当点P与线段31c的端点重合时，AP与4。所成角取得最小值，最小值为全故C错

误；

D项，因为直线2d，平面AC。，

所以若直线CP与平面AiG。所成角的正弦值最大，

则直线GP与直线2。所成角的余弦值最大，

即点P运动到中点处，直线GP与直线所成角为/GBA,

设正方体棱长为1,在Rt^DC山中，

“nnCiB仍加捞「下油

cosz.CiBZ)i—BD]—^2—3'故D正确.

2

14.如图，在矩形ABC。中，点E,尸分别在线段AB,AD±,AE=EB=AF=qFD=4,沿

直线EF将翻折成△?!'EF,使平面A'EB_L平面8ER则二面角A'一尸。一C的平

面角的余弦值为.

答案坐

解析如图，取线段EF的中点H,AF的中点G,连接A'G,A'H,GH.

由题意，知A'E=A'尸及X是EP的中点，

所以A'H±EF.

又因为平面A'EF_L平面平面A'EPC平面A'»u平面A'EF,

所以A'H_L平面B