湖南省衡阳县第四中学2024届高考考前冲刺卷（三）数学试题

衡阳县四中2024届高考考前冲刺卷（三）数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合A=x-1≤x<5，A．-1,2,3,4 B．3,4 C．3,4,5 D．2．复数z满足iz=1（i为虚数单位），则z-A．3 B．4 C．5 D．63．如图，在△ABC中，设AB=a,ACA．1115a-815b B．24．已知函数fx=3x，若A．a<b<c B．c<b5．将一块棱长为1的正方体木料，打磨成两个球体艺术品，则两个球体的体积之和的最大值为（

）A．1+3π2C．93-156．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且3S=aA．725,257 B．725,+7．已知数列an满足an+1=4an-12nA．253 B．506 C．1012 D．20248．甲，乙，丙，丁四位师范生分配到A，B，C三所学校实习，若每所学校至少分到一人，且甲不去A学校实习，则不同的分配方案的种数是（

）A．48 B．36 C．24 D．12二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）9．函数fx=Asinωx+φ（A，ω，φA．f0=1 B．在区间C．将fx的图象向左平移π6个单位，所得到的函数是偶函数 D10．已知函数f(x)满足x2f'(A．x=2为f(x)的极值点 B．C．x=2为x3f'(x)11．已知数列an的通项公式为an=14n-3，其前n项和为Sn，数列1anA．an+1an<C．Sn<43第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知函数f(x)=lnx+x13．已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，焦距为2c，14．球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为R，球冠的高是h，球冠的表面积公式是S=2πRh，与之对应的球缺的体积公式是V=13πh23R-h.如图2，已知C，D

四、解答题（本题共6小题，共70分）15．（13分）在△ABC中，内角A,B,C(1)求角A；(2)若AD是∠CAB的角平分线，AD=43，△ABC的面积为16．（15分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且(1)求数列{a(2)求数列{an}的前n(3)若bn=3n-1，令cn17．（15分）已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为4的菱形，∠DAB=60°，PA=PC，PB=

(1)证明：PC⊥平面BDM(2)点E在直线DM上，求BE与平面ABCD所成角的最大值．18．（17分）入冬以来，东北成为全国旅游和网络话题的“顶流”．南方的小土豆们纷纷北上体验东北最美的冬天，这个冬天火的不只是东北的美食、东北人的热情，还有东北的洗浴中心，拥挤程度堪比春运，南方游客直接拉着行李箱进入．东北某城市洗浴中心花式宠“且”，为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一，并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该洗浴中心在App平台10天销售优惠券情况．日期t12345678910销售量y（千张）1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4经计算可得：y=110i=1(1)因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求y关于t的经验回归方程（结果中的数值用分数表示）；(2)若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为25，选择B套餐的概率为35，并且A套餐可以用一张优惠券，B套餐可以用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为Pn(3)记（2）中所得概率Pn的值构成数列P①求Pn②数列收敛的定义：已知数列an，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数N0，使得当n>N0时，an-a<参考公式：b=i=119．（17分）设函数fx(1)求f((2)求f((3)已知不等式21x+1>(x数学答案1．【答案】B【解析】因为A=x-所以A∩故选：B.2．【答案】B【解析】设z=x所以izi又iz所以x2+y所以z对应的点x,y在以原点为圆心，z-4+3i=x所以z-4+3i故选：B.3．【答案】C【解析】因为BC=所以BD=23又因为AE=4所以DE=所以BE=故选：C.4．【答案】D【解析】依题意，log36=1+log因此log510<32<所以f(log5故选：D5．【答案】B【解析】要使两个球的体积之和最大，则应满足两个球互相外切，并且分别与正方体的面相切，即应有两个球球心连线位于正方体的体对角线上.如图，设两球的圆心分别为O1,O由已知可得，AA1=1，AC所以，sin∠则O1O2=r又O1所以，r1+r因为0<r1≤又两球的体积之和V=V'=4π当2-32≤r1<3-当3-34<r1≤12当r1=2所以，V2-32又V3-所以，函数V=43故选：B.6．【答案】A【解析】在△ABC中，由余弦定理得a2=b2由3S=a2-又A∈0,π2，sin2所以bc△ABC为锐角三角形，有0<C<π2则有tanC>tanπ2故知：A7．【答案】B【解析】因为an+1=4因为a1=4，所以a1所以an=4n.由a故选：B8．【答案】C【解析】①若A学校只有1人去实习，则不同的分配方案的种数是C3②若A学校有2人去实习，则不同的分配方案的种数是C3则不同的分配方案的种数共有18+6=24.故选：C.9．【答案】BD【解析】根据函数图象，易知：A=2，3T4=7π12+π由f7π12=-2⇒2sin7π所以fx=2sin2x因为f0=2sinπ由-π2≤2x+π3≤π因为-π3,0⊆-5π12将fx的图象向左平移π6个单位得：y=2sin2因为fx+π2故学：BD10．【答案】BD【解析】由题意得，x2f'令Fx=x所以F2由x2f'设gx=e所以gx在0,2上递减，在2,+所以gx所以gx≥0，又所以f'x=ex所以fx无极值，故A对于B，Fx=x所以F″x=x-1exx即F'x在0,1上单调递减，在所以x=1为x2f(x对于C，x3由上可知gx在0,2上递减，在2,+所以x=2为x3f'(x故选：BD.11．【答案】ACD【解析】对A，由an=14n-3对B，1a4n所以Tn=13对C，由于n≥3时，4故an=14n对D，记Pn故Pn+1-当且仅当n=1取等号，故Pn+1故Pn>Pn故选：ACD12．【答案】(-【解析】f'因为函数f(x)=所以f'x≥0在x∈[2,+∞分离参数可得a≤x2令gx则gx=1因为x≥2，所以g所以a≤3，所以实数a的取值范围是(-故答案为：(-∞13．【答案】32/【解析】不妨设Ax0,3(2a+所以|AB|=4a，又△F2根据对称性，F2B=根据双曲线定义，F1A-根据勾股定理，F1A2所以3a-2故答案为：314．【答案】16【解析】因为∠AOC=∠BOD设圆的半径为R，又S扇形COD=过点C作CE⊥AB交AB于点E，过点D作DF⊥AB交

则CE=OCsin所以AE=R-OE=将扇形COD绕直线AB旋转一周形成的几何体为一个半径R=2其中球缺的高h=3，圆锥的高h1则其中一个球缺的体积V1圆锥的体积V2=13π故答案为：16315．【解析】（1）由条件cos21-sin此即sinBsinC再由余弦定理知cosA且A∈0,π（2）由∠BAD=∠CAD结合正弦定理得BDCD而BD+CD=a，故由于183=S所以c=AB=而183=S所以a2故a=616．【解析】（1）设等差数列{an}4a1+6所以an（2）由（1）知，a1=1，所以Sn（3）因为bn=3n-Tn=13T①-②得23所以Tn17．【解析】（1）连结AC，BD交于点O，连PO，由PA=PC知PO⊥又AC∩BD又底面ABCD为菱形，所以AC以O为坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示∠DAB=60°，边长为4，则OD在直角三角形BOP中，PB=210所以点OPC=4MC所以PC=(0,2所以PC⋅PC⋅所以PC⊥所以PC⊥又DM∩BM=M，所以PC⊥平面BDM（2）设DE=所以DE=故E2所以BE平面ABCD的一个法向量是n=(0,0,1)设BE与平面ABCD所成角为θ，则sin当λ=0时，BE⊂平面ABCD，当λ≠0sinθ当且仅当λ=又θ∈0,π故BE与平面ABCD所成角的最大值为π

18．【解析】（1）剔除第10天数据的(y(ti=19t所以b=故a=2.4-6736000（2）由题意可知Pn其中P1所以Pn又P2所以Pn+35P所以Pn-5所以Pn-58是以首项为故Pn-5（3）①当n为偶数时，Pn=5当n为奇数时，Pn=5综上：数列Pn的最大值为1925，最小值为②证明：对任意ε>0总存在正整数N0=当n>log3所以数列Pn收敛19．【解析】（1）因为函数fx则f'当f'x>0时，即lnx+1当f'x<0时，即lnx+1+1>0且x≠0