2024年高三数学4月模拟考试卷附答案解析

2024年中学高三数学4月模拟考试卷

考生须知：

1.本卷满分150分，考试时间120分钟；

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、试场号、座位号及准考证号。

3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；

4.考试结束后，只需上交答题纸。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

L复数二满足i（二+。=2+，，则目=（）

A.y/28百C.y/5D.M

2.已知,卜q=则£在5上的投影向量为（）

A.正£B.-ac.—b1T

D-b

2222

3.若非空集合力，B,C,O满足：AC\C=C,Br\C=D,则()

AA^CB.DcAC.JCl5=<PD4r1。=①

4.抛物线y2=2px（p>0）上的点P（2,2）到焦点的距离为（）

A-B.2C-D.1

22

5.球缺指的是一个球被平面截卜的一部分，垂直「截面的直径被截后剩下的线段为球缺的高，设球的半径

为R,球缺的高为则球缺的体积/=不力圆锥的高为2,底面半径为1,则以圆锥的高为直

径的球在圆锥外的体积为（）

64万62不

A.——B.-----

7575啜

6.已知某4个数据的平均值为6,方差为3,现加入数据8和10,则这6个数据的方差为（）

1374

42B.—C-

333

7.已知函数/(x)=(sinx-JJcosx)cosx,若/（X）在区间一宗9上是单调函数，则实数9的取值范围是（）

nnItItItn

A.区一若C.D.

6,3r-i2312

8.设点若在圆。"2+产=1上存在点汽，使得NOMN=60,则〃，的取值范围是（）

4-B.（?卜6,6]D[-2,2]

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

1

9.设椭圆（？:三+当=1的左、右焦点分别为耳、亮，尸是C上的动点，则F列结论正确的是（）

4椭圆C的离心率e=|

81呐+附|=5

《△Pg5面积的最大值为12

0|尸4|的最小值为当

10.四棱锥尸-488的底面为正方形，PDJ_底面/5CO,PD=AD=1,方=：丽，PF=^PA

平面4OED平面尸BC=/,PCD平面OEF=G,则（）

4直线/与平面PAD有一个交点

BPCIDE

C.PG=-PC

5

D三棱锥尸-ERG的体积为J；

Ov

H.已知。"=2",b„=3n-l,数列｛4｝和｛4｝的公共项由小到大排列组成数列｛q｝,则（）

4c4=32

B.｛c.｝为等比数列

C数列《*的前”项和S“e[l,5）

D.廊如、加不是任一等差数列的三项

三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（2x-l）S的二项展开式中x4的系数为.

13.已知4件产品中有2件次品，现逐个不放回检测，直至能确定所有次品为止，记检测次数为X,则

/町=—

14.已知aeN*,函数/"）=03'-*">0恒成立，则。的最大值为.

四、解答题，本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.某手机月印公司对一小区居民开展5个月的调查活动，使用这款Xm人数的满意度统计数据如E：

月份X12345

不满意的人数y1201051009580

（1）求不满意人数y与月份x之间的回归直线方程夕=最+6,并预测该小区io月份对这款/叩不满意人数:

（2）工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人，调查是否使用这款加P与性别的关系，得到下表：

2

根据小概率值a=001的独立性检验，能否认为是否使用这款/即与性别有关？

使用力配不使用/印

女性4812

男性2218

^x,^-nxy

附：回归方程$=晟+白中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为5=丹--------a=y~^

/»|

/=,「叱3；n=acd

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)+b++

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

16.已知A/8C中，角4.8.C所对的边分别为a.b,c,且csm—^=asinC.

⑴求才:

(2)若a=3,D为BC边上一点,AD=2,2DB=DC,求的面积.

17.如图，在直三棱柱/BC-44G中，=8。=2,=3,点£),E分别在棱AA^CC.h,AD=2DAX,

ClE=2EC,F为与孰的中点.

(1)求证：川?|〃平面QEF；

(2)当三棱柱ABC-48£的体积最大时，求平面DEF与平面ABC夹角的余弦值.

3

22

18.已知双曲线氏0-4=1的渐近线为y=±2x,焦距为2«，直线/与E的右支及渐近线的交点自上

a'b"

至下依次为。、4、B、D

(1)求E的方程：

(2)证明：［4。|=忸。|：

(3)求2®的取值范围•

19.已知函数/(x)=sinx+ln(l+x)-ox,aGR.

(1)当a=0时，求/(x)在区间(-1,2〃)内极值点的个数：

(2)若/(x)40恒成立，求。的值；

(1A_.2/J-I..

(3)求证：ysin-T<2,n——r-,n2>n>2,neN.

劣V/-1Jn-\

4

2024年高三三校联考数学模拟卷参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.复数二满足，（二+，）=2+f,则匕|=（）

40B.jC忑D.M

【答案】D

2.已知卜卜恸=1,p+B卜JJ,则£在g上的投影向量为（）

4与1-c,^-b1-

B.—aD；b

2222

【答案】D

3.若非空集合4,8,c,。满足：/nc=c,8nc=。，则（）

A.AQCB.DQAC4n8=中D.AC\D=^

【答案】B

4抛物线好=2"（2>0）上的点尸（2,2）到焦点的距离为（）

A-5.2C-DA

22

【答案】A

5.球缺指的是一个球被平面截卜.的一部分，垂直「截面的直径被截后剩卜•的线段为球缺的高，设球的半径

为R,球缺的高为〃，则球缺的体积/="犷圆锥的高为2,底面半径为1,则以圆锥的高为直

径的球在圆锥外的体积为（）

64乃62乃2E23万

A.——B.——C.——D.——

75752525

【答案】4

【解析】

作圆锥P。的轴截面PAB,轴截面与球。内接圆锥底面交于44

所求体积即为球缺p-4aBi与内接圆锥p。2的体积之差

42r4

轴截面顶角为sina=二，设圆锥尸。）底面半径为小则2=-­，即〃=二

5sina5

则圆锥股的高为g，则噎［吟曾《=罂

Q4481

球缺的高为丁则展缺

"375"

64期

力=喂统-72

"7?

6.已知某4个数据的平均值为6,方差为3,现加入数据8和10,则这6个数据的方差为（)

5

【答案】B

7.已知函数/3=懒工-65卜05孙若/。）在区间上是单调函数，则实数9的取值范围是（）

「五九、八「7Tn[八，冗冗]冗江

43JBr?3j士厂旬°卜『同

【答案】C

【解析】

f（x）=sinxcosx-yJicos'x=-sin2x->/3^+COS^X=-sin2^--cos2^--=sinfzx--l--

''22222（3）2

令，=2x-：,则尸=$而，——

32

因为xe~,0,所以，e-n,20-y

又因为/（x）在区间上是单调函数，则/=疝位-乎在区间-兀,2。-冷上是单调函数

所以-X即-弓<2"-看，解得-}”后

8.设点M（见1）,若在圆。：/+丁=1上存在点2,使得NOMM=60,则机的取值范围是（）

1A-J，；C.[->/3,73]D[-2,2]

【答案】A

【解析】

由圆的性质可知：圆上一点丁，与M，O所组成的角NOW,当A/7与圆相切时，NOMT最大

若圆上存在点N,使得NOMN=60,则NOW260

由M（肛1）和/+炉=1可知，过M且与圆相切的一条直线为y=L切点7（0,1）

则在直角三角形。MT中，3。仍=篙*5从而『A/区乎=>-?«川

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.设椭圆。工+工=1的左、右焦点分别为耳、片，户是C上的动点，则下列结论正确的是（）

2516

4椭圆。的离心率e=g

A附卜附|=5

C.APK6面积的最大值为12

6

。|尸耳|的最小值为与

【答案】AC

—"1—>—-3—-

10.四棱锥尸一力5。)的底面为正方形，PD工底面4BCD,PD=AD=l,PE-PB,PF-PA,

24

平面/lOEn平面P3C=/,PCD平面£>£F=G,则()

4直线/与平面PAD有一个交点

B.PCLDE

C.PG=-PC

5

D三棱锥P-EFG的体积为烹

【答案】BD

【解析】

4取棱PC中点。，连接EQ,DQ

因为£是棱P8的中点，则BC//EQ

因为AD/IBC,则即A,D,E,。四点共面，贝h为直线

因为/Du平面尸X。，七平面H4。，则E。〃平面尸40,即〃/平面尸40.4错误

8因为尸。，底面43C。，4£>u平面⑷3c。，则

因为底面是正方形，ADLCD,PDcCD=D,则4£)_L平面尸DC,则加)_LPC

因为尸。=4。，则△PQC为等腰直角三角形，PC1DQ

因为《£>小。。=。，且£>Qu平面/QQE,则PC_L平面/。。万，则PCJ.DE,8正确

C设"=4,7b=PA+AD=PA+BC=PA+PC-PB=-PF+-PG-2PE

PC3A

415—•3—•

因为O,£E,G四点共面，则§+^-2=1,2=-.即PG=§PC,C错误

〃〃1〃133〃93

D"p-EFG='E-PFG=2H-PFG=Q'g【B-P4c=而*P-ABC二丽，。正确

11.已知=2",bn=3n-\,数列｛q｝和他｝的公共项由小到大排列组成数列匕｝,则()

4c4=32

8｛%｝为等比数列

C数列，.，的前〃项和S“e[l,5)

、°n,

D.廊M、框不是任一等差数列的三项

【答案】BCD

【解析】

4c3=32,c4=128,A错误

8设1H=4,即。=2"=3左一1

m

am+1=2-2=2(3A-l)=3(2A-l)+l,不是他,｝中的项,即不是匕｝的项

7

。」尸用的最小值为日

【答案】AC

*1*—,3*

10.四棱锥产一45。的底面为正方形，PD工底面4BCD,PD=AD=l,PE=-PB.PF—PA,

24

平面ZOEf]平面尸8C=/,尸CCI平面。£F=G,则()

4直线/与平面PAD有一个交点

B.PCVDE

C.PG=-PC

5

D三棱锥P-EFG的体积为之

t答案】BD

【解析】

4取棱PC中点。，连接EQ,DQ

因为£是棱M的中点，则BC7/EQ

因为4V/8C,则仞〃E0,即A,D,E,。四点共面，贝股为直线EQ

因为u平面PAD,召。匕平面PAD,则EQ/I平面PAD,即III平面PAD,A错误

8因为P£)_L底面WCO,4£>u平面488,则尸

因为底面48C。是正方形，ADLCD,PDcCD=D,则/£)_L平面P0C,则仞，/3c

因为产。=/。，则为等腰直角三角形，PCLDQ

因为4。八£)。=。，且/。，£>Qu平面/小£,则PC_L平面/小〃，则尸CJ.DE,8正确

C设”=义，PD=PA+AD=PA+BC=PA+PC-PB=-PF+-PG-2PE

PC32

415--3

因为G四点共面，则一+——2=1,2=-,即尸6=不「。，C错误

323

.〃1〃133〃93

Dlp_£FG=IE-PFG=5'B-PFG=2X4X5XB"PAC=4QP-ABC=丽，。正确

IL已知4=2",bn=3n-\,数列｛凡｝和他｝的公共项由小到大排列组成数列｛q｝,则()

4c4=32

8.｛%｝为等比数列

c数列,4忸前〃项和5,«1.5)

、anJ

D.瓜、如、框不是任一等差数列的三项

【答案】BCD

【解析】

4c3=32,04=128,4错误

8设仇=4桁=4,即。,=2析=3%_]

%=22=2(31)=3(2无-1)+1,不是他｝中的项,即不是匕｝的项

8

m

(m+2=4-2=4(3A-l)=3(4A-l)-l,是｛〃｝中的项，即是｛c“｝的项

..号=手=4,则2=2W，即｛6｝为等比数列，8正确

C.

仁错位相减法计算得S0=5-24F-4-S，且b才>aS,单调递增，所以s.w[l,5)

2n

D设点、&■、通是等差数列｛〃｝的第八八P项，｛4｝的首项为4,公差为d

"=4+(1)d

小T=(jfd=曰=晒_2

•••,有=4+(j-l)d=.

42=(p-i)d>12p-i

y/s=4+(p-i)d

•,•芳是有理数，M-2是无理数

原假设不成立，即廊弧、如不是任一等差数列的三项

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.(2x-1)，的二项展开式中x4的系数为

【答案】-80

13.己知4件产品中有2件次品，现逐个不放回检测，直至能确定所有次品为止，记检测次数为X,则

£(')=

8

【答案】-

【解析】

X=2,3

X=2,检测的两件产品均为正品或均为次品，则2('=2)=且*^=；

X=3,只需前两件产品中正品和次品各一件，第三件无论是正品还是次品，都能确定所有次品，则

14.已知aeM,函数/(》)=产一/>0恒成立，则。的最大值为.

【答案】7

【解析】

9

先考虑xe(0,+oo)的情况，则e">xa=>3jr>alnx=>->—

ax

令g(x)=，,则g'(x)=号竺,则g(x)在(O,e)单调递增,(e,+oo)单调递减，则g(x)max=g(e)=g

因此之>1,即a<3e=8154

ae

当a=8,xf-«时，显然/(x)>0不成立

ixa

当a=7时，Vxe(^o,0].e>0>x,即/(、)>。恒成立，则4^=7

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.某手机4卬公司对一小区居民开展5个月的调查活动，使用这款/印人数的满意度统计数据如K：

月份X12345

不满意的人数y1201051009580

(1)求不满意人数)'与月份x之间的回归直线方程»=良+3并预测该小区10月份对这款力卬不满意人数:

(2)工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人，调查是否使用这款/即与性别的关系，得到下表：

根据小概率值a=0。的独立性检验，能否认为是否使用这款[即与性别有关？

使用力印不使用』即

女性4812

男性2218

附：回归方程/=公+&中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为'=号-------a=y~bx

2n(ad-bc)'

,(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)"=4+b+c+d

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

【解析】

,।,33--s-1+2+3+4+5,―120+105+100+95+80

(1)由表中的数据可知：X=-------------------=3,y=--------------------------------=100

5___

1410-1500

:工=丹...-==-9G=歹一后■=100-(-9)x3=127

55-45

/-1

二所求得回归直线方程为了=一以+127............................................................................................................5分

当x=10时，j=-9x10+127=37

・，该小区10月份的对这款沏，不满意人数预估为37A................................................................................9分

10

(2)零假设为“°：是否使用这款4勿与性别无关10分

由表中的数据可得.鹏普篁号—>6635-，........................12分

根据小概率值a=0.01的独立性检验，我们推断从不成立，即认为是否使用这款力即与性别有关，此推断

的错误概率不大于0.01....................................................................13分

16.已知ANBC中，角48c所对的边分别为a,b.c,l.rsin^|^=asinC.

⑴求Z：

(2)若a=3,。为8c边上一点，AD=2,2DB=DC,求AHBC的面积.

【解析】

月+1'/?+「*

(1)因为csin---=asinC,由正弦定理得sinCsin--—=sinJsinC

因为Ce(0,7t),可得sinC>0,又因为空？=可得sm"J=cos!

22222

同亍以sin-----=cos—=sinJ=2sin—cos-,g|Jcos—=2sin—cos—

2222222

又因为（£（0；）,可得8s〈>0,所以sinq=g,所以<=?，可得N=1.....................6分

22222263

（2）由2D3=DC知而=g.正+：砺

贝”而+^|JB|2+^|78|-|JC|COSZSJC,即4=++

化简得护+4<?+26c=36①.................................................................8分

224-I2_025—。2

在△45。中，由余弦定理得cos4QB=m-^==-

2x2x14

72%）2_L2O_L2

在中，由余弦定理得cos40C=一二匚？-

2x2x28

S-/?2«-A2

而/ADB+NADC=TI,所以COS4£>B+8SZ/1QC=0,则±_^+U-=O,即2?十〃=唱②....埼分

48

由®®得F+4c2+2儿=2（2/+/）

由于6x0,得b=2c,代入②得c?=3......................................................13分

所以小3C的面积为』icsmZ8/C=c2sinN8/C=迈.........................................15分

22

17.如图，在直三棱柱48C-481G中，48=8C=2,44=3,点£>,£分别在棱44“Cq上，，4。=2皿，

CtE=2EC,尸为4a的中点.

(1)求证：4B"/平面DEF：

(2)当三棱柱43C-/4G的体积最大时，求平面DEF与平面N8C夹角的余弦值.

【解析】

试卷第6页，共11页

11

(1)连接4G交。E于点M,连接MF、AE.DC^ABt

2

因为NQ=2£>4，ClE=2EC,所以4。=。/=3/4=2

因为4D//CE,所以四边形为平行四边形，所以4M=A/q

因为8尸=尸6，所以MF〃AB、

因为A/Fu平面。EF,/4&平面。所，所以力用〃平面。EF..................................6分

(2)因为【必、4跖=\ABCBB、35uABC

又因为£的=gN8.8CsinN/18C=2sin443c

所以当4BC=W时5»而取最大值2

即当HB_LBC时直三棱柱ABC-44G的体积最大...........................徉.............9分

又叫，平面.，/凤比^平面”。，所以明L48,BBJBC叩——

34.

如图建立空间直角坐标系，则。(20,2),£(0,2,1),

所以诙=(一2,2,-1),酝=(0,-1,2)

/*

设平面DEF的法向量为万=(xJ,二)

n-DE=-2x+2y-:=0_(3)

则(一'，取"=不2」.................................................12分

n-EF=-y+2:=0V2)

又平面Z8C的一个法向量为而=(0,0,1)......................................................13分

\m-n\12牺

cos。=।।

设平面与平面,夹角为9,则-H-H'二L二R

所以平面。EF与平面48c夹角的余弦值为档黑••

..........................................15分

12

18.已知双曲线E：r-4v=1的渐近线为y=±2x,焦距为2",直线/与E的右支及渐近线的交点自上

ab-

至下依次为C、/、B、D

(1)求E的方程：

(2)证明:\AC\=\BD\,

(3)求Sr*的取值范围.

12

【解析】

c=有

二

2

(1)由题意知:-=2则<b=2,则氏x-^-=4分

a

222=75

c=a+b

(2)易知/的斜率为0时不成立

设/:x=my+，，/>0

X=叩+/

-1)y2+^mty+4/2-4=0

-8ml4r-4

・・(W22

•AI=164+/-1)>0,"+以=不？=中T6分

x=my+1

<,y2=>(4/w2-1)J2+8/W^+4/2=0

女一了一

z八一8M4/

A=16’>0,y+y=-,yy=—-................................................................8分

cD4/w2-IcD4/w-1

.•.%+%—_A1W

22

•••线段.48、CO的中点重合

，|/。|=忸必..............................................................................10分

⑶|/C|=£^M=；x后..........

22|4/W-1|

。到直线1C的距离d

14分

一^AAOC=豹"=能产x，=小岛】―[+舟

/>0

A〕=16(4〃/+/2-1)>0

-2/

X」+-=---；--->0

AB荷-1

-4/n2-t1人

X.Xft=------;------>0

ABW-l

13

19.已知函数/(x)=sinx+ln(l+x)-ox,awR.

(1)当。=。时，求/(x)在区间(-L2”)内极值点的个数；

(2)若/(x)40恒成立，求。的值；

-3rlic,2n-l,、.

(3)求证：Xsin；-<2In-------ln2,n>2,n&N.

/〃T

【解析】

⑴o=0时，/(x)=sinx+ln(l+x)

・'•/(x)在x©(-I,,)单调递增，在xe(万"二次)内单调递增

v/'(jf)=cosx+—

1+X

二当xe仔,，时，/'(X)单调递减，/(5卜7^>°,/'(^)=-1+—^-<0

V2)1+—