吉林市2024年高三四模（第四次模拟考试）数学试卷（含答案）

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吉林地区普通高中2023-2024学年度高三年级第四次模拟考试

数学试题

说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码。

2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，用0.5毫米

的黑色签字笔将答案写在答题卡上。字体工整，笔迹清楚。

3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸

上答题无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一个是符合题目要求.

1.已知命题p:Vx>l,|xQ«l,则命题p的否定为

A.3x>l,|x|^lB.三七£尔C.Vx>l,|x|<lD.

2.已知复数z满足|z+2|+|z-2|=6,.则复数z在复平面内所对应的点的轨迹为

A.线段B.圆£.横圆D.双曲线

3.如图，位于江城广场某大厦楼顶的四面钟与摇槽人雕像相映成趣，是吉

林市的重要地标之一.该时钟整体呈正方体造型，在相邻两个时钟正常

运行的过程中，两时针所在直线所成的角的最大值为

A.30°B.45°C.60°D.90°

4.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震

时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为®E=4.8+1.5M.

2024年3月25日，斐济附近海域发生里氏5.1级地震，它所释放的能量是同日我国新疆阿

克苏地区发生里氏3.1级地震的

A.10倍B.100倍C,1000倍D.10000倍

5.已知双曲线C:4一［=1(6>0)的一条渐近线为了=限，则双曲线C的离心率为

3b

cn2石cnC…2石

A.2B.-------C.—D.2或----

323

高三数学试题第1页共6页

6.越来越多的人喜欢参加户外极限运动，据调查数据显示，A,8两个地区分别有3%,8%

的人参加户外极限运动,两个地区的总人口数的比为2:3.若从这两个地区中任意选取一人,

则此人参加户外极限运动的概率为小；若此人参加户外极限运动，则此人来自“地区的概

率为P”那么

u33

=---.=-3

2HpH

Ac.PAI10U0B.530

1D.-

FP1

=2-71=

50

7.已知&45c的三个内角45,C的对边分别为a,A,c,A=DC=2BD,6=3，c=l,

则线段z。的长为

A.立B.叵C.亘0.叵

3333

8.如图所示，曲线C是由半椭圆G：=4<=1()<0)，半圆。2：住—1)2+/2=1(72°)和

43

半圆G：(X+1)2+/=1(JN0)组成，过G的左焦点K作直线。与

曲线c仅交于月，万两点，过G的右焦点月作直线，2与曲线C仅

交于M,N两点，且4〃。，则|48|+|跖V|的最小值为

A.3B.4C.5D.6

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.从含有2件次品的100件产品中，任意抽出3件，则

A.抽出的产品中恰好有1件是次品的抽法有C；C；8种

B.抽出的产品中至多有1件是次品的概率为褰

C.抽出的产品中至少有1件是次品的概率为1-

D.抽出的产品中次品数的数学期望为9

高三数学试题第2页共6页

10.已知在公差不为0的等差数列｛%｝中，6=-5,4是外与心的等比中项，数列｛4｝的前

n项和为S„,且=--—,则

%%+1

A.an=2n-13B.V/ieN*,b„^-l

D.VMGTV,S^S„^S

112«-ll6S

sinlx

11.已知函数/(x)=B-,则

1+coslx

A.函数/(x)一个周期是江

B.函数/(x)递减区间为(而r-q,A;r+9)(A€Z)

C.函数/(x)有无数多个对称中心

D.过点(2,0)作曲线j=/(x)的切线有且只有一条

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题的第一个空填对得2分，

第二个空填对得3分.

12.已知随机变量X,Y,满足Z)(X)=2,y=3-2X,则D(P)=.

13.已知函数/(x)=s加如®>0),将函数/(*)的图象向右平移言个单位得到函数g(x)的

图象，点Z,B,C是函数/(X)与g(x)图象的连续相邻的三个交点，若41BC是钝角三

角形，则0的取值范围是.

14.清初著名数学家孔林宗曾提出一种“羡藜形多面体”，其可由两个正交的全等正四面体组

合而成(每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点).

如图，若正四面体棱长为2,则该组合体的表面积为；该组合体

的外接球体积与两正交四面体公共部分的内切球体积的比值为.

高三数学试题第3页共6页

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)

已知数列｛%｝的前〃项和为S”，且叫=1,2Sn=3an+m.

(I)求实数，”的值和数列｛%｝的通项公式；

(II)若%=%〃喈3%+1，求数列｛4｝的前〃项和筹.

16.(本小题满分15分)

已知函数/(x)=(x2-<ix-ff)ev.

(I)当a=0时，求函数/(*)的极值；

(U)求证：当0<。<1,x>0时，/(x)>—

a-\

高三数学试题第4页共6页

17.(本小题满分15分)

某商场为庆祝开业40周年，开展了为期一个月的有奖促销活动，消费者一次性消费满200

元，即可参加抽奖活动.抽奖盒子中装有大小相同的2个黄球和2个白球，规则如下：每

次从盒子中任取两个球，若取到的两个球均为黄球，则中奖并获得奖品一份，活动结束；

否则将取出的两个球放回盒中，并再放入一个大小相同的红球，按上述规则，重复抽奖，

参加抽奖的消费者最多进行三次，即使第三次没有中奖，抽奖也会结束.

(I)现某消费者一次性消费200元，记其参加抽奖的次数为随机变量求J的分布列

和数学期望；

(U)随着抽奖活动的有效开展，参加抽奖活动的人数越来越多，J表示第x天参加抽奖

活动的人数，该商场对活动前5天参加抽奖活动的人数进行统计，得到数据如下：

第X天12345

人数J

必y3y4ys

经过进一步统计分析，发现少与文具有线性相关关系.

(1)计算相关系数「，并说明J与x的线性相关程度的强弱；(结果精确到0.01)

(u)请用最小二乘法求出J关于x的经验回归方程y=bx+a,并据此估计第10天

参加抽奖的消费者人数.

附：①相关系数:

X(巧一初弘一力£-V,-nxy

最小二乘估计分别为：b=四r------------=丹----------，a=y-bx

2（巧-可沅2

1=11=1

555

②参考数据：2（巧一初切一刃=160,£（以一刃z=2890,£=4890.

1=1/=1/=]

高三数学试题第5页共6页

18.(本小题满分17分)

如图所示，半圆柱与四棱锥Z-SCDE拼接而成的组合体中，尸是半圆弧5c上(不

含笈，C)的动点，FG为圆柱的一条母线，点力在半圆柱下底面所在平面内，

OB=2OOl=2,AB=AC=2y[l.

(I)求证：CG工BF；

(n)若nr〃平面ABE,求平面FOD与平面GOD夹角的余弦值；

G

(m)求点G到直线0D距离的最大值.

19.(本小题满分17分)

直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如〃(x-2)-(>-1)=0表示过点(2,1)且

斜率存在的直线族，y=x+，表示斜率为1的直线族,直线族的包络曲线定义为：直线族

中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族

中的某条直线.

(I)若直线族++l=”G©的包络曲线是圆。：X?+『2=16,求叫“满足

的关系式；

(n)若点不在直线族0:2〃-町-1=0GGR)的任意一条直线上，对于给

定的实数X。，求为的取值范围和直线族S的包络曲线E；

(卬)在(ED的条件下，过直线x-4j-8=0上一个动点P作曲线E的两条切线，切点

分别为Z,B,求原点。到直线Z5距离的最大值.

命题、校对：高三数学核心组

高三数学试题第6页共6页

吉林地区普通高中2023-2024学年度高三年级第四次模拟考试根据函数j，=Vis/"(2x-生)与函数j，=2x-3图象的公共点个数即可判断(*)式的根的个数.

4

教学延伸：思考过点(1,0)能作几条与函数/(x)=x-S，，x图象相切的直线？

数学试题参考答案

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题的第一个空填对得2分，第二个

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.空填对得3分.

12345678(。亨

12.813.

ACDCBDBC

(注：表示成0VOV巫产也可以)

二、多项选择题，本大题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分3

分，有选错的得0分.14.________6、曰:27_______

9101114题教学提示：

ACDABDBCD可以将该组合体嵌入到正方体内进行研究(如图所示).

该组合体外接球半径为正方体的外接球半径.

11题C选项教学提示।

两正交四面体公共部分内切球半径为正八面体的内切球半径,

f(x)=^-tanx也是正四面体的内切球半径.

法一：因为j，=S〃x的对称中心为(竺,0)(AeZ),且(竺，")(AeZ)是j，=：的对称中心,四、解答题

2242

15.【解析】

故/(X)的对称中心为(竺，竺)(AeZ).

24解：(I)当”=1时，2S,=3a,+m,

法二：/(x)+/(2«-x)=y-tanx+X-tan(2a-x)=a-\tanx+tan(2a—x)|

丁Si=.,2a\=3a,+m,

当2。=«乃(4€2)即。=W(*€2)时，f(x)+f(2a-x)=a

m=-flj=-1..........................................................................................................................................2分

故/(x)的对称中心为(吟，即与年)(AeZ).,；心一3

当〃时，

D选项教学提示，-J吟/N22%=2S“-2s=3%-1-(3%_1-1),

设过点(2,0)的直线与曲线y=/(x)相切于点>=42叫Z\/

整理得(in=3%_］，/0：•——=3,

P(x,^—tanx),则切线方程为-----

00\J/A;

，数列｛册｝是以1为首项，3为公比的等比数列,

尸仔一皿。)=(；—羲心-与)，y/

・・・%=3〃T.5分

代人(2,0)得拒S/MQXL与=2Xo-3(*)

(H)法一，

高三数学试题答案1页(共7页)

/o3-1当时，，

,­,*»=«.•^3«»+i="•log#"=n-3"''7分(I)a=0/(x)=x*(xwR)

.*.T„=lx3°+2x3,+3x32+-+(rt-l)-3"-2+/i-3"-1①f(x)=(x1+2x)ex=x(x+2)ex2分

1X3,+2X32+3X33+-+(/I-1)-3"-,+«-3"②9分令/'(x)=0得x=0或x=-2,当x变化时，/'(X)与/住)变化如下表:

①-②得

XS,-2)-2(-2,0)0(0,4co)

-2T„=3°+3'+32+…+3"T+3”T_“.3”

/'(X)+0-0+

lx(l-3")

=-----------------M«3

1-34

/(X)单调递增单调递减0单调递增

1(1-2/0-3"7

=——+--------------

24分

1(2w-l)-3"4

13分故当x=-2时，/(x)取得极大值/；当x=0时，/(*)取得极小值0.6分

44

法二，

(H)f(x)=|x2+(2-<i)x-2«]ex=(x+2)(x-a)ex,x>0

,・也=册./%叫+1=3"、/呜3"=小3"-’7分

,/x>0x+2>0

_,

设4=(Z〃+6)・3”T4〃-1)+5]・3"T=(2/1//+/1+2B).3"令/'(x)=0,则x=。，当x变化时，/'(x)与/(x)变化如下表：

・・・2Z=1且4+25=0,解得力=」,5=-白.

Xa(a,+co)

24(0,。)

f,(x)-0+

(注：此处没有过程，直接写出4形式不扣分)fW;单调递减—aea单调递增

即4=C““-C.，其中呢=|1(«-1)-1].3-

24

故/(*).=/(a)=-ae"............................................................................................................10分

:…+b“

要证当x>0时，/(、)>含.

=(q-c1)+(c3-c2)+.-+(c„+1-c„)

法一।

只需证当0<“<1时，即(l-a)e"<l(*).........................................................12分

a-i

(2〃-1)・3〃£

4+4令g(a)=(l-a)e"，0<«<1,则g'⑷=-ae-<0,；.g(a)在(0,1)上单调递减

“卜丁...........................................................

•故g(a)<g(0)=l,即(*)式成立，原不等式成立..................................15分

(注：利用错位相减法求数列的和，若直接套用公式没有过程给2分法二：

16.【解析】

高三数学试题答案2页(共7页)

只需证当0＜。＜1时，-祝“＞」一即。"+」一＜0(*)

12分(注：r计算得出但未得出0.94或其它数值，扣1分.)

(1-1fl-1

令/,(a)=e"+-L^,0</»<1,则//(a)=e"--二=二”〈二】

(ff-1)(fl-1)16()

(u)b=-^—z-------------------=——=16

10

令皿〃)=(0-1)%。-1,0<«7<1,则，〃'(〃)=(/-1"<0/-I

・・・皿〃)在(0,1)上单调递减.

•••t(M-刃2=乞只-5V=4890-5V=2890

/.m(«)<m(0)=0,h\a)<0/■I/■1

・・・力(。)在(0,1)上单调递减，//(«)<7/(0)=0:.j=20

即(*)式成立，原不等式成立....................................................15分.*.«=J-*x=20-16x3=-28

17.【解析】

经验回归方程为y=16x-2813分

(I)4的所有可能取值为1,2,3

当x=10时，,=16x10-28=132

m哈4

故估计第10天有132名消费者参与抽奖...........................................15分

尸(>2)=。-3噌$(教学建议：本次考试r,£均给出两个公式，但教学中要求学生会由公式一推导得出公式二)

18.【解析】

(I)法—

•取弧5C中点//,则CWJ_5C.以。为坐标原点,

.•*的分布列;

g123以。8,0",。。,所在直线

£13

p分别为x轴，/轴，z轴

6n4

建立如图所示空间直角坐标系.

:.E(4)=1x—+2x—+3x—=—.6分

612412

连接。4,在A48c中，8c=4,

zTTx/.\-1+2+3+4+5

(II)(1)x=---------------------=3

AB=AC=142,OB=OC,

区(注：也可由£巧2-5工得出)

£-a=4+1+0+1+4=10则/1O_L8C,AO=2,

/■I/aI

易得0(0,0,0),4(0,-2,0),5(2,0,0),C(-2,0,0),0(-2,0,1)

火(巧-幻(必-7)

2分

16016…

，・1_________________=.——1---=—«0.94

j£(X—)2V10xV289017设尸(x,y,0),则G(x,y,l),其中/+_)产=4,j，>0,

V/"!I/-I

CG=(x+2,j,l)»BF=(x-2,^,0)»

.•」与x线性相关程度很强............10分

高三数学述题答案3页(共7页)

法二：

有江海=*2-4+/=0，：.CG±BF，

(I)取弧5c中点〃，则OH1BC.以。为坐标原点，以O8,OH,OO1所在直线

所以CG1BF........................................................................................................................5分

分别为x轴，J，轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系.

(H)因为5EJ.平面X8C,4Cu平面4BC,所以5EJ.4C,

连接04,在A4BC中，BC=4,AB=AC=141,OB=OC,则40J.8C,AO=2,

X--AB1+AC1BC1:.AB1AC,­.AB[｝BE=B,

则0(0,0,0),5(2,0,0),C(-2,0,0),0(-2,0,1),4(0,-2,0),

所以4CJ.平面45E,所以就=(-2,2,0)为平面45E的一个法向量.TSLZBOF=0,O<0<n,

有F(2cos0,2sin0,O),G(Icos0,2sin0,

OF=(X+2,J>,-1),•.•DF〃平面4BE:.DFAC=-2x-4+2y=0,

CG=(lcos0+2,lsinG,\),

,,(x=0

又一+/=4,)>0,解得｛BF=(2cos0-2,2sin0,O),

=2

此时尸(0,2,0),(7(0,2,1)......................................................................................................9分^CGBF=4cos20-4+4sin10=O,：.CG±BF

设7=(a,b,c)是平面FOD的法向景.

所以CGJ.5F...........................................................................................................................5分

n•OF=2^=0

则｛_____,取。=1,则b=0,c=2,(II)OD=(-2,0,l)>OG=(2cose,2sinO,\),

n•OD=-2。+c=0

因为BE_L平面45c,4Cu平面X5C,

则7=(1,0,2)是平面FOD的一个法向量.所以5EJ.4C,

又因为45J.XC,AB[yBE=B,

设/w=(e,/,g)是平面GOD的法向■:.所以4c1平面X8E,

所以就=(-2,2,0)为平面ABE的一个法向量.

则也西=2/+g=0,取e=],则/=_i,g=2,

ni・OD=-2e+g=0

DF=(2i;os0+2,2sin0,-1))DF-AC=-4cos0—4+4sin0=0

则G=(l,-1,2)是平面GOD的一个法向量..........................................................................11分

^sin0-cosO-=41sin(0--)=\,由得9=四，

42

则平面FOD与平面GOD夹角的余弦值为丝旦二袋...................................................13分

此时尸(0,2,0),G(0,2,l).......................................................................................................9分

1«11««16

可得G=(1,0,2)是平面FOD的一个法向量.

(ID)OD=(-2,0,1),OG=(x,j，,l),

是平面的一个法向量(注：此处法向量的求解过程参照法一)分

。-2»=(1,