江苏省宿迁市2025届高一数学下学期期末考试试题（含解析）

江苏省宿迁市2025届高一数学下学期期末考试试题

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

1.一只不透亮的盒子中装有形态、大小相同的4只球，其中有2只白球，2只黑球，若从

中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是

A.-B

3

2.下表是“拽步舞”竞赛中12个班级的得分状况，则80百分位数是

班级得分78910111314

频数2123121

A.13.5B.10.5C.12D.13

3.在aABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若丝/A=包史.，则△ABC的形

a-ccosBsinA

态是

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形

4.在AABC中，AD为BC边上的中线,E为AD的中点，则EB=

31133113

A.-AB+-ACB.-AB——ACC.-AB——ACD.-AB+-AC

44444444

5.已知m,n是两条不相同的直线，a,尸是两个不重合的平面，则下列结论正确的是

A.若mua,nu6，m〃n,则a〃尸B.若m_La,m±f3,nca,则n〃6

C.若a_L£,m±a,m±n,则n〃〃D.若（/〃/?,m±a,n///?,贝！|m〃n

6.已知W=2,b=（也,3）,。在6上的投影向量为:6,则。与6的夹角为

A.一B.—C.一或一D.—

63666

7.在直三棱柱ABC—ABQ中，ZACB=120°,CA=CB=—,AAi=2,则这个直三棱柱的外

接球的表面积为

A.8»B.16nC.32nD.64万

8.祖唯是我国南北朝时期杰出的数学

家和天文学家祖冲之的儿子，他提

出了一条原理：“鼎势既同塞，则积

不容异”.这里的“塞”指水平截面

1

的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在全部等高处的水平截面的

面积相等，则这两个几何体体积相等.如图所示，某帐篷的造型是两个全等圆柱垂直相

交的公共部分的一半（这个公共部分叫做牟合方盖）.设两个圆柱底面半径为R,牟合方

盖与其内切球的体积比为4:71.则此帐篷距底面£处平行于底面的截面面积为

2

222

A.-^-RB.3万R2C.-^-RD.3R

43

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选

项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

9.设i为虚数单位，复数z=（a+i）（l+2i）,aeR,则下列命题正确的是

A.若z为纯虚数，则a的值为2

B.若z在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是（-4，2）

2

C.实数a=-L1是z=z-（一z为z的共轨复数）的充分不必要条件

2

D.若|z|=5,则实数a的值为±2

10.中共中央确定，2024年在全党开展党史学习教化,激励全党不忘初心、牢记使命.某

单位随机抽取了100名职工组织了“党史”学问竞

赛，满分为100分（80分及以上为优良），并将所

得成果分组得到了如图所示的频率分布折线图（组

距为10）.从频率分布折线图中得到的这100名职

工成果的以下信息正确的是

A.成果是49分或100分的职工人数是0

B.成果优良的人数是35人

C.众数是75

D.平均分约为75.5分

11.己知。是4ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是

A.5gOAOB=OBOC=OCOA,则0是AABC的重心

B.若向量OA+OB+OC=0,且|OA|=|OB|=|OC|,则AABC是正三角形

C.若0是AABC的外心，AB=3,AC=5,则OA-BC的值为-8

D.若OA+2OB+40c=0,贝!!SAOAB：SAOBC：SAOAC_4:1:2

2

12.已知边长为a的菱形ABCD中，NADC=60°,将AADC沿AC翻折，下列说法正确的是

A.在翻折的过程中，直线AD,BC所成角的范围是（0,-）

2

3

B.在翻折的过程中，三棱锥D—ABC体积最大值为幺

8

C.在翻折过程中，三棱锥D—ABC表面积最大时，其内切球表面积为（14-86）万/

D.在翻折的过程中，点D在面ABC上的投影为D，,E为棱CD上的一个动点，ED，的最

小值为走a

4

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位

置上）

13.五一假期中，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别是1,--假定三人的选择相互之

345

间没有影响，那么这个假期中至少有1人去北京旅游的概率为.

14.若cos（x一生）=’，贝！|sin（2无+工）=.

646

15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地

球留给人类保留宇宙隐私的最终遗产”，我国拥有

世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞小■

的口径A、B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点

D

C、D,测得CD=45m,ZADB=135°,ZBDC=ZDCA

=15°,ZACB=120°,则A、B两点的距离为m.

16.某几何体由圆锥挖去一个正三棱柱而得，且正三棱柱的上底面与圆锥内接，下底面在圆

锥的底面上，已知该圆锥的底面半径R=3,正三棱柱的底面棱长a=括，且圆锥的侧

面绽开图的圆心角为如，则该几何体的体积为.

5

四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）

已知向量〃=（3,1）,b=（2,4）.

（1）求向量Q与b夹角；

（2）若（"-Z?），（a+2b）,求实数4的值.

3

18.(本小题满分12分)

已知复数z满意囱=后，z?的虚部为2,在复平面内，z所对应的点A在第一象限.

(1)求复数I;

(2)设向量OZ表示复数z对应的向量，(cosE+isind)•z(夕＞0)的几何意义是将

向量OZ绕原点逆时针旋转。后得到新的向量对应的复数.利用该几何意义，若△0AB是等

边三角形，求向量OB对应的复数.

19.(本小题满分12分)

已知函数/z(x)=sin(x+。)，g(x)=cos(x-。)，再从条件①、条件②、条件③这三个条

件中选择一个作为已知，其中条件①“外二打九幻+8?。)；条件②：y(x)=/7(x)-g(x)；条

件③：/(x)=h(x)-g(x).求：

(1)/(x)的单调递减区间；

(2)/(x)在区间［0,彳］的取值范围.

(注：假如选择不同条件分别解答，按第一个解答计分.)

20.(本小题满分12分)

某校高一年级为了了解某爱好小组近期的学习效果，随机抽取40位同学进行质量检测，

每位同学随机抽取100个单选题进行作答，答对了得1分，答错或不选不得分，且每位同学

检测结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)若从该爱好小组随机抽取一位同学进行检测，试估计得分不小于70分的概率；

(2)利用该频率分布直方图的组中值，估计这40同学考试成果的方差1；

(3)为了驾驭该小组学问的薄弱点，现采纳分层抽样的方法，在50到80分之间，抽

取一个容量为15的样本，在这15个成果中，随机抽取2次(每次抽取一个且不放回)，求

在第一次抽到成果在70-80分的状况下，其次次成果在60到70分之间的概率.

4

21.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P—ABCD中，PA_L底面ABCD,AD/7BC,ADXCD,且AD=CD=4,BC=8,

PA=2A/2.

(1)求证：AB±PC；

(2)在线段PD上，是否存在一点M,使得二面角M—AC—D的大小为45°,假如存在,

求BM与平面ABCD所成的角的正切值，假如不存在，请说明理由.

22.(本小题满分12分)

CP

已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,ca=6,P,Q为边BC上两点，—

BP

BQ=ABjr

=2,ZCAQ=-

QCAC3

(1)求AQ的长;

(2)过线段AP中点E作一条直线1,分别交边AB,AC于M,N两点，设AM=xAB,

AN=jAC(xyWO),求x+y的最小值.

5

高一数学参考答案

(考试时间，120分钟：,总分1150分)

一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.请将答案填涂到答JS卡相应区域.

1.Bt2.D：3.Ai4.C,5.B«6.D।7.B»8.D

二、多项选择趣：本尊共4小卷,每小鹿5分，共20分.在每小里给出的选项中有多项符

合咫目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分.有选错的得。分，请将答案填涂

到答尊长相应区域.

9.ADt10.ABD।11.BCD：12.BC

三、填空限：本题共4小区,每小尊5分,共20分.请将答案填写到答题仪上相应区域.

37

13.—«14.——।15.45^5»16.12"-2/

四、解答腮(本大题共6小尊，共70分.其中第171810分,其余每尊12分.解答应q出

文字说明、演算步骤或推理过程)

17.已知向量々=(3,1),3=(24).

(i)求向量G与B夹角；

(2)若(“一山(£+孙求实数2的值.

监⑴•・•。=(3,1),6=(2,4)

-75%0八

・♦cosva,b>=­—―=--------------2分

HMI2

v<a,5>e[0,^]

所以向量G与3夹角为---------s分

4

(2)•・,(尤0—否)_1(1+25卜

•••(2"一否)・而+4)=0-------------7分

,/Aa-b=(3A-2,A-4\a+2办=(7,9)

・・・7(3,2)+9a-4)=0,

所以力=：---------10分

18.己知复数二满足三的虚部为2.在复平面内,二所对应的点/在第一象限.

(1)求复数三t

(2)设向量表示复数;对应的向量,(cos6+isin6)•二(^>0)的几何意义是将向

6

量应绕原点逆时针旋转g后得到新的向量对应的复数.利用该几何意义,若

AO.48是等边三角形.求向量对应的复数.

解：⑴设:=a+6i(abc&)则.:1=a2-b:+2abi,+南

因为|:|=0./的虚部为2.所以卜一+'=2得、。「I--------------2分

lab=2p*=1

因为二所对应的点4在第一象限，所以。>0,b>0得。=Lb=l.==l+i-------4分

所以二=l-i--------------6分

(2)等边三角形皿S可以看成而向量用统旋转工•设向量丽对复数二，

3

2=(cosysiny1M1♦+♦i)=!十]十^^1-----------9分

或I+i=(cosg♦ising)，'，所以父=1十.341)3j------------H分

所以向量而对应的复数匕叵+L甚i或L芭+匕叵i------------12分

2222

19.己知函数人(x)=sin1r+W)g(x)=cos[x-gj.再从条件①.条件②.条件③这三个

条件中选择一个作为已知.其中条件①।八幻=川(幻+屋(幻；条件②,

/(x)=A(.r)-g(x):条件③：/(x)=/r(x)g(x)

(注r如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分.)

求।(1)”外的单调递减区间r

(2)/(外在区间0,[的取值苑用.

19.解1选①：/(x)=h'(x)+g:(x)=sin:(x+y)+cos*(x-y)

l-cos(2x+争+l+cos(2xT)=2+"sin2x

2+2=24分

(I)令2A“+[42X424;T+T一5分

7

所以/(x)单调递减区间为++'必—)---------6分

44

(2)当*€[0,斗]时.则2xw[0,3”]

所以sin2rw[-l,l]-------------8分

〃小话四呼学“今

所以/(外在区间10,包]的取值葩懵是

12分

2

1-V3

选②，/(x)=h(x)-g(x)=sin(x+y)-cos(x-j)=(sinx-cosx)

2

(I)令Ikn-^Mx-三工2kn+三AkwZ),-------------S分

242

解得”“一+主，(AsZ).

44

所以/(幻的单调递族区间为[2k^--,2k^+—l(,keZ)---------6分

44

(2)当xw[0.如]时.-Lx-L运.

2444

-------------8分

中八।门\^2-^6./^2—^6^3-I-114

所以f(x)=--------sin(x-----)e|r-----------,--------]--------------11分

2422

所以〃幻在区间0，半的取值范用是[0：而-------------12分

选③X/(x)=A(x)•g(x)=sin[x+?•cosX-斗sinxcosx+

3)4

=—sin2x+-*4分

24

(1)令24万+£42工42女尸+芷

・5分

22

8

所以f（X）单调递减区间为世产+2,A”+—e:）---------6分

44

<2）当xw[O,争时.则2xw[0,3司

所以sin2xe[-l,l]-------------8分

所以/"(x)-isin2x+^-e[^^—

------------11分

所以八幻在区间O.y的取值范用是4•12分

20.某校高年级为了了解洪兴46小组近期的学习效果,随机抽取■»位问学送行顺星技

测,用位同学随机抽取100个单选想进行作答,答对了得1分.答错或不选不得分,且

掠位同学检测结果相互独立.得到如图所示的频率分布直方图.

'1>若从该兴理小组随机抽取一位同学进行检测,试估计得分不小于70分的概率1

12）若同一组数据用该区间的中点值作代表.求这40同学考拭成绩的样本方差S,

'3）为了掌握该小组知识的薄弱点,现采用分层抽样的方法在50到80分之间,抽取

一个容量为15的样本.在这15次成绩中,随机抽取2次（每次抽取一个且不放

回）.求在第一次抽到成绩在70-80分的情况下，第二次成绩在60到70分之间的

微率.

20.解…0.45+0.2+0.05=0.7-2分

<2)55x0.1+65x0.2+75x0.45+85x0.2+95x0.05=74-------------4分

s2=(55-74)2xO.l+(65-74fxO.2+(75-74)2xO.45+(85-74fxO.2+(95-74fx0.05

=99------------6分

(3)—x15=2,—xl5=4.—xl5=9-------------8分

0.750.750.75

设抽到成绩在70-80分的个体为小,…,4

9

抽到成绩在60—70分的个体为4也.…也

第一次抽到成绩在70-«0分之间的情况下，第二次分数在60-70分之间为有।

<•’,优）.（a”心卜（"］向卜<%出卜</向卜（%，4）»（%,包）

（《，幻/为也口出也Ma,也）

共4x9-36个

总的基本事件数为9x14个---------10分

记在第一次抽到成绩在70—80分之间的情况下,第二次分数在60-70分之间为事件A

山）=鹄］

14x97

所以在第一次抽到成绩在70-80分的情况下,第二次成绩在60到70分之间的概率;

--------------12分

2L如图,在四棱锥中尸_/灰7）._L底面d8CO,AD!IBC,ADLCD,且

（2）在线段尸。匕是否存在一点A1,使得二面角的大小为45。.如

果存在，求8M与平面.43CO所成的角的正切值，如果不存在.请说明理由.

解析（1）证明：四边形.48C0中，.4。〃8c..4Z）_LCD..4。=。。=4,BC=8*

所以四边形X8C。是直角梯形,且/。=4先.

AB=^（BC-.dDf+CD2=4忘.

所以4夕+4仁2=64=5^,即..............2分

又7M_L平面.48（"W8C平面/BCD，所以a4J.45.

又2（0.4。=/,且尸4/Cw面4c,所以.48_L平面/MC.

又PCu平面P/C.：.ABlPCt...........................4分

（2）假设存在符合条件的点，过点A/作于'・如图，

10

因为P4J_平面4?C£）,且Rfu面Rd。.所以平面RID_L平面.48CD,

又平面/MDD平面d8C0=.40,“小匚面尸.40,AA'±AD,所以AWJ.平面

ABCD.

所以MNJ.dC.

过煎N作NG工AC于G.连接MG,则dCJ_A/G,

所吸4/G"是二面角Af-.4（'一。的平面角...............6分

若ZA/GN=45。，则NG=AW,又4V=£\G=QMV.

设.MN=x,嘱AN=g,ND=A-42X-

而MN//PA,△P4ZJ中,...-....

ADPA

4-衣x

即丁二迈

8分

所以MN=、万,即M是线段PD的中点.

所以存在点A/使得二面角A1-/C-O的大小为450............................10分

连接BN,因为AfN±平面ABCD

所以AMBN为BM与平面ABCD所成的角.

且NB=yl（BC-ND）2+CD2=2而

在MfBN中，lan川BN=冶=/:理

BM2V1326

所以与平面.4所成的角的正切值为叵..............12分

22.A48c的内角.4,8,C的对边分别为a.b.c,a=6.P,Q为边BC上两点

CPBQAB

-lc2,ZC40=y.

（I）求/0的长t

（2）过线段/P中点E任作一条直线分别交边.45,/C于M.N两点.设

11

Ahl=xAB,AN=yAC（xy,*0）.求x+p的fit小值.

«：ID在AJ50与A4。。中分别使用正弦定理有：

BQABCQ/C

sinNB/QsinZJQB和sinNC/10sinZ.4pC

BQABsinZBAQ

两式相除得：奈=“，〃，二

QCACsinZCAQ

因为要=空，所以sin/O0=sinNA10,

AC^

因为上小。三9.NA40w（（U）,所以N84Q=q,Z5.4C=Y...............2分

CPIB

因为上=3=2,所以CP=28PJ5=2.4C