总体取值规律的估计（创新设计）学案

9.2用样本估计总体9.2.1总体取值规律的估计课标要求素养要求结合实例，能用样本估计总体的取值规律.在学习绘制频率分布直方图的过程中，掌握应用频率分布直方图等统计图表估计总体的取值规律，发展学生数据分析的素养.教材知识探究下面按时间顺序(从1789年的华盛顿到2017年的特朗普，共45任)给出了历届美国总统就任时的年龄：57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，48，70.问题你能很容易地看出这些数据有什么规律吗？若不能，对这些数据如何处理才可以？提示不能.应对这些数据进行整理，用统计图表表示出来才容易看出其规律.1.画频率分布直方图的步骤画频率分布直方图时，纵坐标表示频率与组距的比值，而不是频率(1)求极差：极差是一组数据中最大值与最小值的差.(2)决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成5～12组，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”.(3)将数据分组.(4)列频率分布表：一般分四列，即分组、频数累计、频数、频率.其中频数合计应是样本容量，频率合计是1.(5)画频率分布直方图：横轴表示样本数据，纵轴表示eq\f(频率,组距).小长方形的面积＝组距×eq\f(频率,组距)＝频率.各小长方形的面积和等于1.)2.其它统计图表统计图表主要应用扇形图直观描述各类数据占总数的比例条形图和直方图直观描述不同类别或分组数据的频数和频率折线图描述数据随时间的变化趋势教材拓展补遗[微判断]1.频率分布直方图中小长方形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值.(√)2.频率分布直方图中小矩形的面积表示该组的个体数.(×)3.扇形统计图表示的是比例，条形统计图不表示比例.(×)提示2.频率分布直方图中小矩形的面积表示该组的频率.3.条形图可以表示频率或频数.[微训练]1.把过期的药品随意丢弃，会造成对土壤和水体的污染，危害人们的健康.如何处理过期药品，有关机构随机对若干家庭进行调查，调查结果如图，其中对过期药品处理不正确的家庭达到()A.79% B.80% C.18% D.82%解析79%＋1%＋2%＝82%.答案D2.如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图中的数据可知，样本落在[15，20]内的频数为()A.20 B.30 C.40 D.50解析样本数据落在[15，20]内的频数为100×[1－5×(0.04＋0.1)]＝30.答案B[微思考]1.为什么要对样本数据进行分组？提示不分组很难看出样本中的数字所包含的信息，分组后，计算出频率，从而估计总体的分布特征.2.频数分布表与频率分布直方图有什么不同？提示频数分布表能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数，而频率分布直方图则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度来表示数据分布的规律.题型一画频率分布直方图【例1】从某校高三学生中抽取50名参加数学竞赛，成绩分组(单位：分)及各组的频数如下：[40，50)，2；[50,60)，3；[60,70),10；[70,80),15；[80，90)，12；[90，100]，8.(1)列出样本的频率分布表(含累积频率)；(2)画出频率分布直方图；(3)估计成绩在[60，90)分的学生比例.解(1)频率分布表如下：成绩分组频数频率累积频率[40，50)20.040.04[50，60)30.060.1[60，70)100.20.3[70，80)150.30.6[80，90)120.240.84[90，100]80.161.00合计501.00(2)频率分布直方图如图所示.(3)学生成绩在[60，90)分的频率为0.2＋0.3＋0.24＝0.74＝74%，所以估计成绩在[60，90)分的学生比例为74%.规律方法绘制频率分布直方图的注意点(1)各组频率的和等于1，因此，各小矩形的面积的和也等于1；(2)频率分布直方图比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律；(3)在xOy坐标平面内画频率分布直方图时，x＝样本数据，y＝eq\f(频率,组距)，这样每一组的频率可以用该组的组距为底、eq\f(频率,组距)为高的小矩形的面积来表示.其中，矩形的高＝eq\f(频率,组距)＝eq\f(1,组距×样本容量)×频数；(4)同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴单位不同，得到的频率分布直方图的形状也会不同；(5)同一个总体，由于抽样的随机性，如果随机抽取另外一个相同容量的样本，所形成的样本频率分布直方图一般会与前一个样本频率分布直方图有所不同，但它们都可以近似地看做总体的分布.【训练1】在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量)共有100个数据，将数据分组如下表：分组频数频率[1.30，1.34)4[1.34，1.38)25[1.38，1.42)30[1.42，1.46)29[1.46，1.50)10[1.50，1.54]2合计100(1)完成频率分布表，并画出频率分布直方图；(2)估计纤度落在[1.38，1.50)内的可能性及纤度小于1.42的可能性各是多少？解(1)频率分布表如下：分组频数频率[1.30，1.34)40.04[1.34，1.38)250.25[1.38，1.42)300.30[1.42，1.46)290.29[1.46，1.50)100.10[1.50，1.54]20.02合计1001.00频率分布直方图如图所示.(2)利用样本估计总体，则纤度落在[1.38，1.50)的可能性即为纤度落在[1.38，1.50)的频率，即为0.30＋0.29＋0.10＝0.69＝69%.纤度小于1.42的可能性即为纤度小于1.42的频率，即为0.04＋0.25＋0.30＝0.59＝59%.题型二频率分布直方图的综合应用【例2】为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？eq\a\vs4\al(各小矩形的面积等于样本数据落在该组内的频率)(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率约是多少？解(1)频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的，因此第二小组的频率为eq\f(4,2＋4＋17＋15＋9＋3)＝0.08.因为第二小组的频率＝eq\f(第二小组的频数,样本容量)，所以样本容量＝eq\f(第二小组的频数,第二小组的频率)＝eq\f(12,0.08)＝150.(2)由直方图可估计该校全体高一年级学生的达标率约为eq\f(17＋15＋9＋3,2＋4＋17＋15＋9＋3)×100%＝88%.【迁移1】(变结论)在例2条件下，试求样本中不达标的学生人数.解样本的达标率为88%，样本容量为150，不达标的学生频率为1－0.88＝0.12.所以样本中不达标的学生人数为150×0.12＝18(人).【迁移2】(变结论)在例2条件下，试求次数在130以上(含130次)的学生人数.解次数在130以上(含130次)的学生人数为：eq\f(9＋3,2＋4＋17＋15＋9＋3)×150＝36.规律方法解决与频率分布直方图有关问题的关系式由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式：(1)eq\f(频率,组距)×组距＝频率.(2)eq\f(频数,样本容量)＝频率，此关系式的变形为：样本容量×频率＝频数.【训练2】某校100名学生期中考试语文成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100].(1)求图中a的值；(2)若这100名学生的语文成绩在某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50，90)之外的人数.分数段[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)x∶y1∶12∶13∶44∶5解(1)依题意得，10×(2a＋0.02＋0.03＋0.04)＝1，解得a＝0.005.(2)数学成绩在[50，60)之间的人数为100×0.05＝5，数学成绩在[60，70)之间的人数为100×0.4×eq\f(1,2)＝20，数学成绩在[70，80)之间的人数为100×0.3×eq\f(4,3)＝40，数学成绩在[80，90)之间的人数为100×0.2×eq\f(5,4)＝25，所以数学成绩在[50，90)之外的人数为100－5－20－40－25＝10.题型三折线图、条形图、扇形图及应用eq\a\vs4\al(准确识图，正确读图是解题的关键)【例3】如图是根据某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线统计图，试根据折线统计图反映的信息，绘制该市3月1日到10日最低气温(单位：℃)的扇形统计图和条形统计图.解该城市3月1日至10日的最低气温(单位：℃)情况如下表：日期12345678910最低气温(℃)－3－20－1120－122其中最低气温为－3℃的有1天，占10%，最低气温为－2℃的有1天，占10%，最低气温为－1℃的有2天，占20%，最低气温为0℃的有2天，占20%，最低气温为1℃的有1天，占10%，最低气温为2℃的有3天，占30%，扇形统计图如图所示.条形统计图如下图所示：规律方法1.条形图是用一个单位长度表示一定的数量或频率，根据数量的多少或频率的大小画成长短不同的矩形条，条形图能清楚地表示出每个项目的具体数目或频率.2.扇形图是用整个圆面积表示总数(100%)，用圆内的扇形面积表示各个部分所占总数的百分数.3.在画折线图时，要注意明确横轴、纵轴的实际含义.【训练3】如图是甲、乙、丙、丁四组人数的扇形统计图的部分结果，根据扇形统计图的情况可以知道丙、丁两组人数和为()A.250 B.150 C.400 D.300解析甲组人数是120，占30%，则总人数是eq\f(120,30%)＝400.则乙组人数是400×7.5%＝30，则丙、丁两组人数和为400－120－30＝250.答案A一、素养落地1.通过学习频率分布直方图、条形图、扇形图、折线图及其应用，重点培养数据分析素养.2.由于总体取值不易知道，因此我们用样本取值的规律去估计总体取值的规律，并且常借助于如下统计图表：频率分布直方图、条形图、折线图、扇形图等.二、素养训练1.200辆汽车经过某一雷达地区，时速的频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h(含60km/h)的汽车数量为()A.65辆 B.76辆 C.88辆 D.95辆解析由频率分布直方图可得数据落在[60，80)内的频率是(0.028＋0.010)×10＝0.38，故时速超过60km/h(含60km/h)的汽车数量为200×0.38＝76(辆).答案B2.甲、乙两个城市2018年4月中旬每天的最高气温统计图如图所示，则这9天里，气温比较稳定的是________城市(填“甲”“乙”).解析从折线统计图可以很清楚的看到乙城市的气温变化较大，而甲城市气温相对来说较稳定，变化基本不大.答案甲3.将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n＝________.解析设第一组至第六组数据的频率分别为2x，3x，4x，6x，4x，x，则2x＋3x＋4x＋6x＋4x＋x＝1，解得x＝eq\f(1,20)，所以前三组数据的频率分别是e