2024年山东省禹城市九年级第二次练兵考试数学试题（解析版）

2024年九年级第二次练兵

数学试题

（满分150分时间120分钟）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形

码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里；将非选择题的答案用0.5毫米黑色墨

水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效.

3.考生必须保持答题卡的整洁.

一、选择题：本大题共12小题，共48分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要

求的，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分.

1.在（一2）「2?,—（一2）,—卜2|,（一2）中负数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，化简绝对值和多重符号，负数的定义，先分别求出对应的数

的值，再根据负数是小于0的数求解即可.

【详解】解：（-2）3=-8,-22=-4,-（-2）=2,-|-2|=-2,（-2）=-2,

...在（—2）1—22,—（—2）,―卜2M—2）中负数有4个，

故选：D.

2.下列运算正确的是（）

A.3a.a=3a?B.（q+1）="+1

C.（3a尸=3aD.（-3a2）2=-6a4

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查单项式乘单项式，完全平方公式，负整数指数事以及积的乘方与幕的乘方，运用相

关运算法则逐项计算进行判断即可

【详解】解：A.3a-a=3a2,此选项计算正确，符合题意；

B.（。+1）2="+2。+1,原选项计算错误，不符合题意；

C.（3ar'=—,原选项计算错误，不符合题意；

D.（-3/）2=9/,原选项计算错误，不符合题意；

故选：A

3.今冬，哈尔滨旅游火了冻梨精致摆盘、把交响乐演出搬进火车站、鄂伦春族同胞被请出来表演驯鹿，哈

尔滨的各种花式“宠粉”操作，使众多当地网友直呼：“尔滨，你让我感到陌生”，因为“尔滨”的真情

实意款待，在2024年元旦小长假，哈尔滨3天总游客量达到304.79万人，旅游收入59.14亿元，创历史

新高那么，将数据“59.14亿”用科学记数法表示为（）

A.5.914xl013B.O.5914xlO10C.5.914xlO10D.5.914xl09

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为4X10"的形式，其中"为整

数，确定〃的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同，当

原数绝对值大于等于10时，〃是正数，当原数绝对值小于I时〃是负数；由此进行求解即可得到答案.

【详解】解：59.14亿=5914000000=5.914x1()9,

故选：D.

4.下列是小红借助旋转、平移或轴对称设计的四个图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是

【解析】

【分析】根据图形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答.

【详解】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意;

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意;

C、既是轴对称图形又是对称图形，故此选项符合题意;

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意.

故选：C.

【点睛】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念.在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，

旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.这个旋转点，就叫做中心对称

点.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形.这条直线叫做对称

轴.

5.在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”

（如图）.“阳马”的俯视图是（）

【答案】A

【解析】

【分析】找到从上面看所得到的图形即可.

【详解】解：“阳马”的俯视图是一个矩形，还有一条看得见的棱，即俯视图为:

故选

【点睛】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力与及考查视图的画法，看得到的

棱画实线，看不到的棱画虚线.

6.如图，△NBC的外角//CD的平分线CP与内角N48C的平分线8P交于点P,若/8PC=40°,则

C.50°D.60

【答案】C

【解析】

【分析】根据外角与内角性质得出NA4c的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得

出/。1P=/E4P,即可得出答案.

【详解】解：延长"4,作PNLBD,PFLBA,PMLAC,

设/PCD=x°,

N4CP=NPCD=x°,PM=PN,

；BP平分/ABC,

：.ZABP=ZPBC,PF=PN,

:.PF=PM,

/BPC=40°,

:./ABP=NPBC=/PCD-NBPC=(x-40)0,

ZBAC=ZACD-ZABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°,

：.ZCAF^100°,

在RtAPF4和RtAPMA中，

PA=PA

‘PM=PF'

.♦.RtM以丝RtA/W(HL),

：.ZFAP=ZPAC=5Q°.

故选C.

【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线

的性质得出PM=PN=P尸是解题的关键.

7.如图，依据尺规作图的痕迹，计算/a的度数为（）

A.68°B.56°C.45°D.54°

【答案】B

【解析】

【分析】先根据矩形的性质得出AD〃:BC,故可得出/DAC的度数，由角平分线的定义求出NEAF的度

数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出NAEF的度数，根据三角形内角和定理得出/AFE的度数，进

而可得出结论.

【详解】解：•••四边形ABCD是矩形，

；.AD〃BC,

.•.ZDAC=ZACB=68°.

:由作法可知，AF是NDAC的平分线，

.•.ZEAF=yZDAC=34°.

•••由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，

.\ZAEF=90o,

.•.ZAFE=90o-34°=56°,

Na=560.

故选：B.

【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键.

8.某工程需要在规定时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成；如果乙工程队单独做，则多用3

天，现在甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队单独做，恰好如期完成，求规定时间.如果设规定日期为X

天，下面所列方程中错误的是（）

.2x23c/ll'cx-211x,

A.—I--------=1B.一=----C.Ix2-I—1D.—I----------=1

xx+3xx+31xx+3Jx+3xx+3

【答案】D

【解析】

【分析】设总工程量为1,因为甲工程队单独去做，恰好能如期完成，所以甲的工作效率为工；因为乙工

X

程队单独去做，要超过规定日期3天，所以乙的工作效率为,，根据甲、乙两队合做2天，剩下的由

x+3

乙队独做，恰好在规定日期完成，列方程即可.

【详解】解：设规定日期为x天，

由题意可得，（工+—二］x2+23=1,

Ixx+3/x+3

..„2x„2x„23

整理mz倚—।-----=I1,或一=I---------或一=-----.

xx+3xx+3xx+3

则ABC选项均正确，

故选：D.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的

等量关系，列方程.

9.二次函数y=a/+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+6和反比例函数>=£在同一直角坐标

x

【答案】B

【解析】

【分析】根据二次函数图象推出a>0,b<Q,c<0,再根据一次函数，反比例函数图象与系数的关系即

可得到答案.

【详解】解：由二次函数图象可知，二次函数开口向上，对称轴在了轴右侧，且与y轴交于负半轴,

a>0,----->0,c<0,

2a

：.b<Q,

...一次函数y=ax+6经过第一、三、四象限，反比例函数>=£经过第二、四象限，

四个选项中只有B选项符合题意，

故选B.

【点睛】本题主要考查了一次函数，二次函数和反比例函数图象的综合判断，熟知三个函数图象与其对应

的系数关系是解题的关键.

10.关于x的方程f—2根x+=4的两个根X],4满足再=2/+3，且七〉》2，则加的值为（）

A.-3B.1C.3D.9

【答案】C

【解析】

bc

【分析】本题考查根与系数的关系，根据再+/=-一，再々=一代入求解即可得到答案；

aa

【详解】解：•・•方程12―2加工+加2=4的两个根毛，巧，

「・西+%2=2掰，=加2—4,

X]=2X2+3,

22

再+%=2m=3X2+3,再入2-2X2+3x2=m-49

2m—34m+3

■,,

313

2m—3、？o.

2x(-——-——)2+(2m-3)=m2-4,

解得：加i=3,m2=-9,

西〉/，

4m+32m-3

------>-------，

33

解得：m>-3,故相=3,

故选：C.

11.如图，点/为的内心，连接力并延长交OBC的外接圆于点。，交BC于点E,若

AI=2CD,则——的值为（）

/r^-L^c

I)

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【解析】

r~x77，z-ti1

【分析】根据三角形的内心性质，证明得至I］一=一=_,则£>£=—。，进而

CDAD33

oAJ7

得到4E=—CD,代入——即可得到答案.

3ED

【详解】解：连接/C,如图所示：

A■

1

//|\

t/I\\

I)

•.,/为A48C的内心，，

NL4C=ZIAB,ZICA=ZICB,

ZDIC=ZIAC+ZICA,NDCI=/BCD+NICB,

/.ZDIC=ZDCI,

：.DI=DC,

AI=2CD,

：.AI=2DI,AD=3CD,

4BCD=/BAD=ACAI,ND=ND,

：.LCDEsA4DC,

•DEC。1

"CD~AD~3f

：.DE=-CD,

3

1Q

AE=AD-DE=3CD——CD=-CD

33

・・------------O，

EDlCD

3

故选：D.

【点睛】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会

添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题.

12.对于二次函数y=2机x—3,有下列说法：

①它的图象与x轴有两个交点：

②如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则加=1

③如果当x<l时，y随x的增大而减小，则闭=-1

④如果当x=2时的函数值与x=2010时的函数值相等，则x=2012时的函数值为-3；

其中正确的说法是()

A.①②B.②③C.①②④D.①③④

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，利用判别式即可判

断①；先求出平移后的解析式为y=(x-加+3『-3-加2,再把原点坐标代入求解即可判断②；求出对称

轴，再根据增减性即可判断③；根据对称性求出对称轴即加的值，进而求出x=2012的函数值即可判断

④.

【详解】解：由题意得，A=(-2m)2+12=4m2+12>0,

它的图象与x轴有两个交点，故①说法正确；

将y=——2加x—3=(x—加丫—3—加2它的图象向左平移3个单位后的解析式为

y=(X—加+3)~—3一加2,

・••平移后的函数图象经过原点，

(0-m+3)--3-m2=0,

解得m=l,故②正确；

—2m

•••对称轴为直线》=------=m,且抛物线开口向上，

2

・•・如果当X<1时，>随x的增大而减小，则故③错误；

如果当X=2时的函数值与X=2010时的函数值相等，则对称轴为直线x=m=--------=1006,

2

・・.当x=2012时，j=(2012-1006)2-3-10062=-3,故④正确，

故选：C.

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.

13.计算：V3x2^+20230-sin60o=.

【答案】1

【解析】

【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握负指数幕的意义、零指数幕的意义以及特殊角的三角函数

值是解答本题的关键.

先根据负指数暴的意义、零指数暴的意义以及特殊角的三角函数值化简，再算加减即可.

【详解】百x2-1+2023°-sin60°

=ALi—立

22

=1.

故答案为：1.

14.一个不透明的口袋中装有5个红球和切个黄球，这些球除颜色外都相同，某同学进行了如下试验：从

袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，为一次摸球试验.根据记录在下表中的摸球试验数据，

可以估计出m的值为.

摸球的总次数。10050010002000・・・

摸出红球的次数b19101199400・・・

摸出红球的频率2

01900.2020.1990.200・・・

a

【答案】20

【解析】

【分析】利用大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根

据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率求解

即可.

【详解】解：•••通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2,

5

---=0.2,

5+m

解得：加=20.

经检验”=20是原方程的解,

故答案为：20.

【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率和解分式方程，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事

件的概率.关键是根据摸出红球的频率得到相应的等量关系.

15.如图，用圆心角为120。，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是

cm.

【答案】472

【解析】

【分析】先求出扇形弧长，再求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理即可出圆锥的高.

【详解】圆心角为120。，半径为6cm的扇形的弧长为'Ox6乃=4乃加

180

圆锥的底面半径为41-2万=2,

故圆锥的高为病与=40cm

故答案为：472

【点睛】此题主要考查圆的弧长及圆锥的底面半径，解题的关键是熟知圆的相关公式.

16.如图，在矩形中48CD中，48=4,8c=6,当直角三角板的直角顶点尸在边上移动时,

直角边始终经过点4设直角三角板的另一直角边PN与。相交于点。.BP=x,C0=y，那么y

与x之间的函数式为

1,3

【答案】y=—x"H—x

42

【解析】

【分析】先证明△48PSAPC。，再利用相似三角形对应边的比相等进行转化即可求解.

【详解】解：•••NMPN=90。，

；.NAPB+NQPC=90。,

又•••矩形中，ZB=90°,

.■.ZAPB+ZPAB=90°,

ZPAB=ZQPC,

•••NB=NC=90°,

.•.△ABPSAPCQ,

BP_AB

"~CQ~~PC'

BPPC_x[6-x）

••-----------------------，

AB4

123

**•y——xH—x

429

193

故答案为：y=—x'H—x.

42

【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质，解题关键是正确得到相似的三角形.

2.x—1<3（x-2）

17.若关于x的一元一次不等式组1x_a的解集为x>5,且关于夕的分式方程

------>1

[2

ya«

-^+-------1有非负整数解，则符合条件的所有整数。的和为____________.

y-22-V

【答案】3

【解析】

【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，先解不等式组，

根据不等式组的解集确定。的范围，再解分式方程求出了的值，然后根据分式方程有非负整数解，确定a

的值即可解答.

【详解】解：x-«g，

------->1(2)

I2

解不等式①得：x>5,

解不等式②得：x>2+a,

:不等式组的解集为x>5,

：.2+a<5,

：.a<3,

ya.

—+----1,

y-22-y

去分母得，y—a=一(y—2),

解得：y^a+2,

•••分式方程有非负整数解，

<7+2>0,且a+2w2,

a2-2且a70,

综上所述：一2<。<3且。工0,

符合条件的所有整数a的值为：-2,-1,1,2,3,

符合条件的所有整数a的值的和为：-2+(-1)+1+2+3=3,

故答案为：3.

18.如图，在平面直角坐标内有点4(1,0),点4第一次跳动到点4(T1)，第二次点4跳动到a(2,1)，

第三次点4跳动到4(-2,2),第四次点4跳动到4(3,2),…依此规律动下去，则点4O23的坐标是.

【答案】(—1012,1012)

【解析】

【分析】根据跳动后点的坐标的变化，可得出变化规律"4,1(〃为非负整数)”，再代入

2«-1=2023即可求出结论.

【详解】解：因为4(—1,1),4(2,1),

4(-2,2),4(3,2),

4(-3,3),4(4,3),

4(-4,4),4(5,4),

4"一(一"，")，4"("+1，〃)(〃为正整数),

当2〃-1=2023时，/7=1012,

所以4(侬(-1012,1012),

故答案为：(—1012,1012).

【点睛】本题考查了点的坐标规律探究，解决本题的关键是寻找点的变化规律.

三、解答题：本题共7小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

aa—\(a1)

19.先化简，再求值：----------+----厂丁，其中Q=2sin450+tan45。

Q+1a(Q+2a+2a)

2「

【答案】-----,^2—2

a+\

【解析】

【分析】先利用分式的混合运算法则进行化简，再利用二次根式、特殊角的三角函数值的运算法则进行计

算求解.

aa-\a1

【详解】解:

Q+1aQ+2a2+2a

__C_t____Q__—__1_!___Q_2__—_1_

Q+1aQ(Q+2)

Q-l、，

—--a---------xQ(Q+2)

Q+1a(Q+1)(Q—1)

_aQ+2

Q+1Q+1

=__2_

a+1

,•*a=2sin450+tan45°=V2+1，

当Q=V2+1时，

原式=—加1石=—£=3—2.

【点睛】本题考查了分式的化简求值，利用分式的除法和减法进行化简，再利用实数的运算法则进行计算

求解是解答关键.

20.如图，反比例函数＞=—的图象与一次函数y=fcc+6的图象交于/,8两点，点月的坐标为（2,6）,

x

（1）求反比例函数与一次函数的表达式；

（2）点E为y轴上一个动点，若S/^EB=5,求点后的坐标.

121

【答案】（1）y=—；＞=--x+7；（2）点E的坐标为（0,6）或（0,8）.

x2

【解析】

【分析】（1）把点/的坐标代入y=一,求出反比例函数的解析式，把点2的坐标代入＞=—,求出〃的

Xx

值，即可得点2的坐标，再把/、3的坐标代入直线＞=履+6,求出鼠6的值，从而得出一次函数的解析

式；

（2）设点E的坐标为（0,m）,连接/E,BE,先求出点尸的坐标（0,7）,得出尸£=血-7],根据

s/\A£B=S-SAJ4EP=5,求出m的值,从而得出点E的坐标.

m

【详解】解：（1）把点/（2,6）代入y=—,得〃?=12,

x

,12

则ny=—.

x

把点3(n,1)代入y=—，得〃=12,

x

则点5的坐标为(12,1).

2k+b=6

由直线过点/(2,6),点5(12,1)得上27「

12k+b=1

k=--

解得《2,

b=7

则所求一次函数的表达式为y=-1x+7；

(2)如图，直线与y轴的交点为尸，设点£的坐标为(0,%)，连接BE,

则点P的坐标为(0,7).

：.PE=\m-7|.

•'S/\AEB=S/\BEP~S4AEP=5，

yXIm-71X(12-2)=5

|m-71=1

•・m]=6,%2=8

...点£的坐标为(0,6)或(0,8).

21.随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了一

份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式.现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完

整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

(1)这次活动共调查了人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为;

(2)将条形统计图补充完整.观察此图，支付方式的“众数”是“”；

(3)在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支

付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.

支

微

银

付

信

行

金他

宝

卡

【答案】(1)200、81°；(2)补图见解析；(3)-

3

【解析】

【分析】(1)用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用360。乘以“支付

宝”人数所占比例即可得；

(2)用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形，再根据众数的定义求解可得；

(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的

情况，再利用概率公式即可求得答案.

【详解】(1)本次活动调查的总人数为(45+50+15)+(1-15%-30%)=200人，

45

则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360咏力=81。，

200

故答案为200、81°；

(2)微信人数为200、30%=60人，银行卡人数为200xl5%=30人，

补全图形如下：

伙数

75

支

微

银

付

信

行

金他

宝

卡

由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”，

故答案为微信；

(3)将微信记为《、支付宝记为3、银行卡记为C,

画树状图如下：

画树状图得：

开始

:共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，

31

，两人恰好选择同一种支付方式的概率为一=一.

93

【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

22.随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度.某校“综合

与实践”活动小组的同学要测星CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人

机在NB,CD两楼之间上方的点。处，点O距地面NC的高度为60m,此时观测到楼N8底部点/处的俯

角为70。，楼CD上点E处的俯角为30。，沿水平方向由点。飞行24m到达点尸，测得点£处俯角为

60°,其中点4B,C,D,E,F,。均在同一竖直平面内.请根据以上数据求楼与CD之间的距离

/C的长（结果精确到1m.参考数据：sin70°»0.94,cos70°®0.34,tan70°®2.75,73®1,73）.

【答案】58m

【解析】

【分析】延长和CD分别与直线。尸交于点G和点X,则NZG。=N£〃0=90°,再根据图形应用三

角函数即可求解.

【详解】解：延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H,则ZAGO=ZEHO=90°.

GOFH

又；ZGAC=90°,

四边形/CHG是矩形.

GH=AC.

由题意，得4G=60,。尸=24,ZAOG=70°,NEOF=30。，NEFH=60°.

在R/ZXZGO中，ZAGO=90°,tanZAOG=——

OG

OG=———=‘°一现一21.8-22(m).

tanZAOGtan70°2.75

,/NEFH是AEOF的外角,

ZFEO=ZEFH-ZEOF=60°-30°=30°.

/.ZEOF=ZFEO.

EF=OF=24m.

FH

在Rt^EHF中,NEHF=90°,cosNEFH=—

EF

/.FH=EF-cos/EFH=24xcos600=12(m).

.•./C=G〃=G0+0E+W=22+24+12a58(m).

答：楼48与CD之间的距离NC的长约为581n.

【点睛】本题主要考查三角函数的综合应用，正确构造直角三角形并应用三角函数进行求解是解题的关

键.

23.某电子商品经销店欲购进/、2两种平板电脑，若用9000元购进/种平板电脑12台，5种平板电脑

3台；也可以用9000元购进/种平板电脑6台，8种平板电脑6台.

(1)求/、2两种平板电脑的进价分别为多少元？

(2)考虑到平板电脑需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的平板电脑，已知/型

平板电脑售价为700元/台，2型平板电脑售价为1300元/台.根据销售经验，/型平板电脑不少于2型平

板电脑的2倍，但不超过3型平板电脑的2.8倍.假设所进平板电脑全部售完，为使利润最大，该商城应

如何进货？

【答案】(1)/、8两种平板电脑的进价分别为500元、1000元

(2)为使利润最大，购进3种平板电脑13台，A种平板电脑34台.

【解析】

【分析】(1)设/和2的进价分别为x和y,台数X进价=付款，可得到一个二元一次方程组，解即可.

(2)设购买8平板电脑。台，则购进/种平板电脑“OOOTOOO"台,由题意可得到不等式组，解不等

500

式组即可.

【小问1详解】

[12x+3j=9000

设/、3两种平板电脑的进价分别为X元、V元.由题意得，,

6x+=9000

x=500

解得《

>=1000

答：/、2两种平板电脑的进价分别为500元、1000元;

【小问2详解】

30000-1000a,

设商店准备购进3种平板电脑a台，则购进工种平板电脑--------------台，

500

c30000-1000O

2a<---------------

由题意，得《500

30000—1000。。

---------------------<2.8a

500

解得12.5<a<15,

为整数,

.513或14或15.

、30000-1000(2、

设总利润为w,则:w=(700-500)X---------------------+(1300-1000)a=-100。+12000,

500

V-100<0,

Aw随a的增大而减小,

30000-1000x13

.••为使利润最大，该商城应购进8种平板电脑13台，/种平板电脑=34台.

500

答：购进8种平板电脑13台，/种平板电脑34台.

【点睛】本题考查了一次函数的应用以及二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知

数，找出合适的等量关系，列方程组求解.

24.【阅读理解】如图1,在矩形48CD中，若AB=a,BC=b,由勾股定理，得同理

BD2=a2+b2,故3+*=2(/+/)

【探究发现】如图2,四边形4BC。为平行四边形，若4B=a,BC=b,则上述结论是否依然成立？请

加以判断，并说明理由.

【拓展提升】如图3,已知80为的一条中线，4B=a,BC=b,AC=c.求证:

BO'3上

24

【尝试应用】如图4,在矩形4BCD中，若4g=8,8C=12,点P在边4。上，则尸B'+PC?的最小值

图3图4

【答案】探究发现：结论依然成立，理由见解析；拓展提升：证明见解析；尝试应用：200

【解析】

【分析】探究发现：作于点E,作。E1BC交8C的延长线于点R则

ZAEB=ZCFD=90°,证明R34BE4R3DCF（HL）,BE=CF,利用勾股定理进行计算即可得

到答案；

拓展提升：延长80到点C,使OD=BO,证明四边形4BCD是平行四边形，由【探究发现】可知，

AC2+BD2=2（AB2+BC2）,则02+（280『=2（/+b2）,得到c?+万。?=2（，+比）,即可得到

结论；

尝试应用：由四边形4BC。是矩形，AB=8,BC=T2,得到45=CD=8,8C=幺。=12,

ZA=ZD=90°,设/尸=x,PD=12-x,由勾股定理得到尸4+尸不=2（x—6y+200,根据二次函

数的性质即可得到答案.

【详解】探究发现：结论依然成立，理由如下：

作NE_LBC于点E,作。E18C交8C的延长线于点R则=NCED=90°,

:四边形4BQ?为平行四边形，若4B=a,BC=b,

：.AB=DC=a,AD〃BC,AD=BC=b,

,：AEVBC,DF1BC,

：.AE=DF,

：.RtA^^RtADCF(HL),

BE=CF,

AC2+BD2=AE2+CE2+BF2+DF2

=（AB2-BE2）+（BC-BE?+（BC+CF）2+OF2

=AB2-BE2+BC--2BC-BE+BE2+BC2+2BC-BE+BE2+AE~

=AB2+BC-+BC2+BE2+AE2

AB-+BC2+BC~+AB-

=2（^52+5C2）

=2（4+/）；

拓展提升：延长8。到点C,使0D=8。,

V8。为A48c的一条中线，

0A=CO,

四边形4BCD是平行四边形,

■:AB=a,BC=b,AC=c.

...由【探究发现】可知，AC2+BD-=2[AB2+BC2Y

/.c2+（2BO）2=2（a2+62）,

c2+4BO-=2（a2+b2）,

“。2=且—d

24

尝试应用：..•四边形4BCD是矩形，48=8,3。=12,

AB—CD—8,BC—AD=12,Z_A=ND=90°,

设AP=X,则PZ）=4D—4P=12—x,

PB-+PC2=AP-+AB2+PD-+CD2=x2+82+（12-x）2+82

=2x2-24x+272=2（x-61+200,

,?2>0,

...抛物线开口向上，

.,.当x=6时，尸4+尸。2的最小值是20。

故答案为：200

【点睛】此题考查了二次函数的应用、勾股定理、平行四边形的判定和性质、矩形的性质等知识，熟练掌

握勾股定理和数形结合是解题的关键.

25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线＞="2+区—3（。。0）与x轴交于点/（—3,0）、5（1,0）,与了

轴交于点C.点尸在线段NC上（不与点/、C重合），尸。〃y轴交抛物线于点0,以P。为边作矩形

PQMN,矩形的顶点M、N均在此抛物线的对称轴上.设点尸的横坐标为小.

（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；

（2）当一22时，y的取值范围是；

（3）设矩形PQW的周长为/,求/与机之间的函数关系式；

（4）当矩形尸。被线段ZC分成的两部分图形的面积比为1:3时，直接写出加的值.

【答案】（1）y=x"+2x—3

(2)-4<y<5

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