人教版九年级上册数学课本知识点归纳总结

九年级上册数学课本知识点归纳

第21章一元二次方程

一、学习目标

1.理解一元二次方程的概念

2.学会一元二次方程的解法

3.了解方程的根与系数的关系

4.掌握一元二次方程的实际应用

二、重点

一、一元二次方程

1.一元二次方程

含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一

次项系数；c叫做常数项。

二、降次一一解一元二次方程

1.降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程（不管用什么方法解一元二次方程，都

是要一元二次方程降次）

2.直接开平方法

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适

用于解形如x2=b或的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，…当b〈0时，

方程没有实数根。

3.配方法:配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x,并用x代替，则

有。

配方法解一元二次方程的步骤是：①移项、②配方（写成平方形式）、③用直接开方法降次、④

解两个一元一次方程、⑤判断2个根是不是实数根。

4、公式法：公式法是用求根公式，解一元二次方程的解的方法。

一元二次方程的求根公式：

一b±ylb~—4ac2A、八、

x=---------------------------（bz——4ac>O）

当>0时，方程有两个实数根。

当=0时，方程有两个相等实数根。

当＜0时，方程没有实数根。

5、因式分解法：先将一元二次方程因式分解，化成两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两

个一次式分别等于0,从而实现降次，这种解叫因式分解法。这种方法简单易行，是解一元二次方

程最常用的方法。

三、一元二次方程根的判别式

根的判别式：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即

四、一元二次方程根与系数的关系

如果方程的两个实数根是，由求根公式

可算出，。

第22章二次函数

一、学习目标

1.理解二次函数的概念

2.学会画二次函数的图象

3.掌握二次函数的性质

4.学会函数图象的平移

5.能够运用二次函数解决实际问题

二、重点

1.二次函数的解析式

①一般式：（a、b、c为常数），则称y为x的二次函数。

②顶点式：

③交点式（与x轴）：

2.抛物线的性质

①二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

②a,b,c为常数，aWO,且a决定函数的开口方向，a〉0时，开口方向向上，a〈0时，开口方向向

下。a还可以决定开口大小,a越大开口就越小,a越小开口就越大。

③抛物线是轴对称图形。对称轴为直线.

④对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y

轴（即直线x=0）

⑤抛物线有一个顶点P,坐标为P（）

当时，P在y轴上；当时，P在x轴上。

⑥二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时，抛物线向上开口；当aVO时，抛物线向下开口。

a1越大，则抛物线的开口越小。

⑦一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：

I.当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；因为若对称轴在左边则对称轴小于

0,也就是-b/2a〈0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同号

II.当a与b异号时（即ab<0）,对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于

0,也就是-b/2a〉0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号

事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次

函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

⑧常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0,c）

⑨二次函数的增减性

抛物线，若a>0,当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.若a〈0,当时，y

随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.抛物线的最值：如果a>O（a〈O）,则当时，y

最小（大）值=.

3、二次函数，，（各式中，aWO）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴

如下表：

函数解析式开口方向对称轴顶点坐标

y=ax2x=0(y轴)(0,0)

y=ax2+k当a>0时x=0(y轴)(0,k)

y=a{x-/z)2开口向上x=h(A.0)

当〃<。时

y=a^x-hf+kx=h（A,左）

开口向下

b(b4ac-b2)

y=ax2+bx+cx-----

2a2a4a

4.二次函数与一元二次方程

二次函数（以下称函数）y=ax~+bx+c（awO）

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），

即)此时，函数图像与X轴有无交点即方程有无实数根；函数与X轴交点的横坐标即为方程的

根。

抛物线的图象与坐标轴的交点：

A>0,图象与x轴交于两点：(,0)和(,0)；

A=0,图象与x轴交于一点：(,0)；

A<0,图象与x轴无交点；

5.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形

式：

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大(小)值时，可设解析式为顶点式：.

(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：.

6.二次函数的应用

二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函

数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现.

第23章旋转

一、学习目标

1.理解旋转、旋转中心、旋转角、中心对称的概念

2.学会找旋转角及画中心对称图形

3.掌握中心对称的性质

4.学会关于原点对称的点的坐标

5.了解图形旋转的应用

二、重点

一、旋转

L定义：把一个图形绕某一点。转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中0叫做旋转中心，转

动的角叫做旋转角。

2.性质

(1)对应点到旋转中心的距离相等。

(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

⑶旋转前后的图形全等。

二、中心对称

L定义：把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,

那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

2.性质

(1)关于中心对称的两个图形是全等形。

(2)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

(3)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等。

3.判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于

这一点对称。

4.中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互

相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。

5.关于原点对称的点的特征：两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P(X,y)关

于原点的对称点为P'(-X,-y)

6、关于x轴对称的点的特征：两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即

点P(x,y)关于x轴的对称点为P，(x,-y)o

7、关于y轴对称的点的特征：两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即

点P(x,y)关于y轴的对称点为P'(-x,y)o

第24章圆

一、学习目标

1.理解圆的几何定义与圆有关的概念

2.掌握垂径定理、切线的判定定理、切线长定理以及圆周角定理

3.学会判断点、直线、圆与圆的位置关系

4.会计算弧长、扇形的面积及圆锥的侧面积和全面积

二、重点

一、圆的相关概念

1.圆的定义：在一个个平面内，线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A随之旋

转所形成的图形叫做圆，固定的端点0叫做圆心，线段0A叫做半径。

2、圆的几何表示：以点0为圆心的圆记作“。0”，读作“圆0”

二、弦、弧等与圆有关的定义

(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。(如图中的AB)

(2)直径：经过圆心的弦叫做直径。(如途中的CD)直径等于半径的2倍。

（3）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（4）弧、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号表示，以

A,B为端点的弧记作“/”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母

表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）

三、垂径定理及其推论

1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分

线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦

所对的另一条弧。

推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。

四、圆的对称性

1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2、圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

2、弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3.弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量

相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

六、圆周角定理及其推论

1.圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2:半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

七、点和圆的位置关系

设。0的半径是r,点P到圆心0的距离为d,则有：

d〈rO点P在。0内；

d=r0点P在。0上；

d〉r0点P在。0外。

八、过三点的圆

1.过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2.三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

3、三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三

角形的外心。

4、圆内接四边形性质(四点共圆的判定条件)：圆内接四边形对角互补。

九、反证法

先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得

到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。

十、直线与圆的位置关系

直线和圆有三种位置关系，具体如下：

(1)相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫

做交点；

(2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，

(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

如果。0的半径为r,圆心0到直线1的距离为d,那么：

直线1与。0相交Od〈r；

直线1与。0相切=d=r；

直线1与。0相离—d〉r；

十一、切线的判定和性质

1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

2、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

十二、切线长定理

1.切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

2、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两

条切线的夹角。

十三、三角形的内切圆

1.三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

2、三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的

内心。

十四、圆和圆的位置关系

1.圆和圆的位置关系：如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含

两种。

如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。

如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。

2^圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。

3.圆和圆位置关系的性质与判定

设两圆的半径分别为R和r,圆心距为d,那么

两圆外离od>R+r

两圆外切Od=R+r

两圆相交OR-r〈d<R+r(RNr)

两圆内切Od=R-r(R>r)

两圆内含Od<R-r(R>r)

4.两圆相切、相交的重要性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形,

对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

十五、正多边形和圆

1.正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2、正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形,

这个圆就是这个正多边形的外接圆。

十六、与正多边形有关的概念

1.正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

2.正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。

3、正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。

4、中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

十七、正多边形的对称性

1.正多边形的轴对称性：正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称

轴都通过正n边形的中心。

2.正多边形的中心对称性：边数为偶数的正多边形是中心对称图形,它的对称中心是正多边形

的中心。

3、正多边形的画法：先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。

十八、弧长和扇形面积

1.弧长公式：n。的圆心角所对的弧长1的计算公式为

2.扇形面积公式：其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，1是扇形的弧长。

3.圆锥的侧面积：其中1是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。

4、弦切角定理：弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角，叫做弦切角。

弦切角定理：弦切角等于弦与切线

夹的弧所对的圆周角。

即：ZBAC=ZADC

5.切割线定理

PA为。0切线，PBC为。0割线,

则PA?=PB-PC

第25章概率初步

一、学习目标

1.理解概率、必然事件、随机事件、不可能事件的概念

2.学会运用列举法求随机事件的概率

二、重点

一、概率

1.随机事件:在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.一般的，随

机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性大小有可能不同。

(确定事件：事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件

称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的.事件分为确定事件和不确定事件(随机事件)，

确定事件又分为必然事件和不可能事件，)

二、概率

L概率：

(1)一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率m/n会稳定在某个常数p附近，那

么这个常数P就叫做事件A的概率，记为P(A)=po(频率接近概率)

(2)概率是频率(多个)的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现。概率反映可能

性大小的一般规律。

(3)概率取值范围：OWpWl.

(4)必然发生的事件的概率P(A)=1；不可能发生事件的概率P(A)=0.

(5)事件发生的可能性越大，概率越接近与1,事件发生的可能性越小，概率越接近于0.

二、求概率方法

一般地，如果在一次实验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含

其中的m种结果，那么事件发生的概率为P（A）=m/n0

1.列举法:一次实验中，涉及1个因素，并且可能出现的结果数目有限多个，并且它们发生的

可能性都相等，把可能的结果都列出来，求P（A）=m/n的方法。

2.列表法：当一次实验要涉及2个因素，并且可能出现的结果数目较多，并且它们发生的可能

性都相等，为不重不漏地列出所有可能的结果，采用列表法。（频率等于概率）

（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有

可能的结果，再求出概率.

（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的

结果数目叫求出概率.

3.树状法：当一次实验要涉及3个或更多的因素，列表法就不方便了，为不重不漏地列出所有

可能的结果，通常采用树形图法.（频率等于概率）

树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末

端的枝丫个数就是总的可能的结果n.

4.游戏公平性（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率

相等就公平，否则就不公平.

三、利用频率估计概率

1.利用频率估计概率（频率接近概率）

（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小,

根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值P就是这个事件

的概率.

（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确.

（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等

时，一般通过统计频率来估计概率.

2.模拟实验

（1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为

模拟实验.

（2）模拟实验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在

于省时、省力，但能达到同样的效果.

（3）模拟实验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新

课标》要求，只要设计出一个模拟实验即可.

指导学生学习的技能

指导学生学习是指在课堂教学中，教师以学生学习的心理过程为依据，为学生的自

主学习创设有利环境，发挥学生的主观能动作用，对学生的学习过程进行指导和引导，

从而达到教学目标的行为方式。在课程教学中，对学生进行

学习指导主要从以下几个方面来讨论。

1.指导集体学习

集体学习的优点吸引着很多教师。一般来讲，采用集体学习策略所需要的准备时间

和教学时间都相对较少

典型的集体学习包括:讲授、讨论、辩论、演示和指导。

(1)讲授。讲授是教师通过语言系统连贯地向学生传授知识、技能的方法，是使学

生接受人类已有的间接知识快速达到人类发展的最前沿的一种快捷方式。从教师的角

度看，讲授是一种以教师为中心的传授方法，从学生的角度看，讲授是一种教师以“专家”

的角色与学生分享知识的方法。讲授经常用来提供必要的基础知识，运用讲授教师可以

通过合乎逻辑的分析、论证，生动形象的描述，启发诱导性的设疑、解释,使学生在较短

的时间内获得较为全面系统的知识，并把知识教学、情感教育、开发智力有效地结合，

融为一体。使用讲授时既要注意学生的听讲技巧和注意广度，也要注意教师的讲授技巧

和身体语言

(2)讨论。讨论是学生在教师指导下为解决某个问题而进行探讨、辨明是非真伪以

获取知识的一种方法。讨论是教师在教学过程中，根据教学内容的特点和学生的实际，

提出具有启发性、思考性的讨论题，组织学生讨论的一种方法讨论的过程是:提出问题，

设立情景。根据问题，学生自学。划分小组，进行讨论。课堂讨论，全班交流。归纳总结，

得出结论

讨论的目的是交流，参与者可以展示自己的知识，说明自己的理解以及表达自己的

观点。这是以学生为中心的策略，教师在其中承担“促进者”的角色。参与交流的过程

就是学生分享自己知识的过程。讨论前要做好讨论的准备工作教师要设计好讨论的课

题，要提出具体的要求,使学生作好讨论发言的准备。讨论的问题要有吸引力，使学生积

极主动地参与讨论。讨论时要善于对学生启发引导，既要使学生积极主动自由地发表意

见，又要使学生围绕课题，联系实际进行持之有据，言之有理的争论。讨论后作好讨论小

结。总结要承前启后，语言要简洁。采用讨论的策略、选择恰当的主题，应该了解每个

学生的能力，考虑学生的年级、年龄以及理解该话题和参与讨论的能力。确定进行开放

式讨论还是让学生举手发言，指导学生遵守讨论规则，避免少数学生“控制”讨论等，

引导学生总结讨论的内容，让每个学生轮流说出一个从讨论中得出的观点。但是，在讨

论的过程中，有时难以保证学生完全参与；难以使学生始终围绕同

主题进行讨论;教师难以确定是否应该干预；学生的基础知识不足或者对该主题的

理解不够深入等。为了避免出现学生“不参与”或“被动参与”以及讨论时的跑题”，

教师有必要进行规则的训练，只有遵守规则，讨论的效果才会改进

(3)辩论。辩论源于有争议的问题。它是以学生为中心的集体学习，教