2024年山东省淄博市桓台县中考数学一模试卷 答案解析

2024年山东省淄博市桓台县中考数学一模试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.-2|等于()

A.-2B.——C.2

2

2.如图，直线CD,EF被射线OA,0B所截，CD〃EF，若

度数为()

A.52°

B-62:

C.72°

D.82,

3.2023年淄博市经济运行回升向好.全年全市生产总值约为4561亿元.按不变价格计算，比上年增长5.5%.将

4561亿用科学记数法表示为（）

A.1561x10sB-1.561x1011C.1.561x10inD.卬对x1(),,

4.下列立体图形中，主视图是圆的是（）

5.将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把60。和

45°角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的

顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A,B两点，则

AB的长是（）

A2-《B2>/3-2C.2D-26

6.如图，◎。的直径AB与弦DE交于点C,且若弧AD的度数为

则弧AE的度数为（）

A.50°

B.60°

C.75°

D.85°

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7.计算—!-----J的结果等于（）

r-1J-2-1

A.-1B.x-1C.1D.—!—

x+1Jr2-1

8.如图，在中，，,点D在BC上，且

BD：CD=I：连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转得到线段AE，连接BE,

OE.则的面积是（）

A.1B,3C.3D.

4842

9.关于x,y的方程组（y+2"=卜-1的解为（:,若点p（“.b）总在直线V上方，那么k的取

2工+切=址+11“一"

值范围是（）

A.k>1

10.如图，在平面直角坐标系中，。为原点，（）八_（）打_：w万，点C为平面内

一动点，UC=5,连接AC,点M是线段AC上的一点，且满足CM：：

2,当线段0M取最大值时，点M的坐标是（）

B.

55

C转）

D.西当乃）

55

、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。

11-分解因式：〃J一力〃‘+h〃=-

12.若实数a、b分别满足/_3a+2=0，/-36+2=0，且〃"，，则！—！_.

ab

13.如图，在平面直角坐标系中，AABC与

An

位似中心，且石瓦=3,若，则点的坐标是

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14.如图，点A,B,C在数轴上，点A表示的数是_1，点B是AC的中点，ABC

线段=则点C表示的数是.-10

15.如图，在平面直角坐标系中，的边0A在y轴上，点C在第一

象限内，点B为AC的中点，反比例函数〃=々1>0）的图象经过B,C两

点.若△."）「的面积是6,则k的值为.

三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题10分）

⑴计算：^8+（IT+1）°+-^=+|3-\/5|-（^）-1；

2（Z+2）>z+3

（2）解不等式组：〈上工十2

-<―--

17.（本小题10分）

已知:如图，点0为DABCD对角线AC的中点，过点0的直线与AD,BC分别相交于点E,尸.求证：OE—3尸.

18.（本小题10分）

如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=g（Z>0）的图象经过点4（2,6）,将点A向右平移2个单位，

再向下平移a个单位得到点B,点B恰好落在反比例函数”=：（工〉（）1的图象上，过A,B两点的直线与y

轴交于点（二

[11求k的值及点C的坐标；

⑵在y轴上有一点。（。,5）,连接AD,BD,求的面积.

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19.:本小题10分）

暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山.需要登顶600m高的山峰，由山底A处先步行300m到达B

处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处.已知点A,B,D,E,F在同一平面内，山坡AB的坡角为30',

缆车行驶路线BD与水平面的夹角为”（换乘登山缆车的时间忽略不计I.

（“求登山缆车上升的高度DE；

⑵若步行速度为登山缆车的速度为,求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟

（结果精确到。［min）.

（参考数据：sin53,as（）.8（）,cos53（~0.60,tan53~1.33）

20.（本小题12分）

6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取

了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：八（优秀）；H良好）；。（中I；〃（合格）.并将统

计结果绘制成如图两幅统计图.

环保知识竞赛学生成绩条形统计图环保知识宛赛学生成绩扇心统计图

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请根据统计图提供的信息，解答下列问题:

U1本次抽样调查的学生共有名；

⑵补全条形统计图；

I邛该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得B等级的学生有多少名？

（II在这次竞赛中，九年一班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这4

人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人恰好是一男一女的

概率.

21.（本小题12分）

某企业准备对A,B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项

目一年后的收益万元）与投入资金工（万元）的函数表达式为：以―投资B项目一年后的收益万

O

元）与投入资金J（万元）的函数表达式为：yu=+2J.

O

u若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？

?若对A,B两个项目投入相同的资金〃，（，〃＞山万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？

:；3吐；年，我国对小微企业施行所得税优惠政策.该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计

32万元，全部投入到A,B两个项目中，当A,B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最

大？最大值是多少万元？

22.（本小题13分）

如图，在等边△A3。中，"C于点D,E为线段AD上一动点（不与A,D重合，，连接BE,CE,将

CE绕点C顺时针旋转60得到线段CF,连接AF.

⑴如图1,求证:/（'BENCAF;

⑵如图2,连接BF交AC于点G,连接DG,EF,EF与DG所在直线交于点H,求证：EH=FH;

⑶如图3,连接BF交AC于点G,连接DG,EG,将沿AG所在直线翻折至△ABC所在平面内，

得到△APG,将/.DEC；沿DG所在直线翻折至△4BC所在平面内，得到，连接PQ,若AB=4,

直接写出PQ+Qf■的最小值.

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23.(本小题13分)

如图1,抛物线S："=-/+67+「与x轴交于点4(-3,0),两点，交y轴于点C,连接AC,点

D为AC上方抛物线上的一个动点，过点D作DE_LAC于点E.

求抛物线的解析式；

(2)求线段DE的最大值；

⑶如图2,将抛物线G沿y轴翻折得到抛物线(二抛物线(1的顶点为F,对称轴与x轴交于点G,过点

//(1.2)的直线直线FH除外।与抛物线交于J,I两点，直线FJ,FI分别交x轴于点M,N,试探究

是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：由于-2|=2,故选c.

根据绝对值的定义，可以得到？等于多少，本题得以解决.

本题考查绝对值，解题的关键是明确绝对值的定义.

2.【答案】C

【解析】解：如图：

■.CD/EF,

：.N2+N3=180：,

•/Z1=Z3,

Zl+Z2=180"

■1-Z1108,

Z2=72:,

故选：(,.

根据两直线平行，同旁内角互补，得出N2+/3=180°,由/1=N3,得出/1+/3=18(f，即可得答案.

本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补，是解答此题的关键.

3.【答案】B

【解析】解：4561-1561000000001.561x1011,

故选：B.

将一个数表示成〃>10,的形式，其中14|"|<1。，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求

得答案.

本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键.

4.【答案】D

【解析】解：4圆锥的主视图是等腰三角形，因此选项A不符合题意;

B.三棱柱的主视图是矩形，因此选项B不符合题意；

C.圆柱的主视图是矩形，因此选项C不符合题意；

D.球的主视图是圆，因此选项D符合题意；

故选：I).

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根据各个几何体的主视图的形状进行判断即可.

本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握各种几何体的三视图的形状是正确判断的前提.

5.【答案】B

【解析】解：在RtAACD中

ZC4D=45°=Z.4CD,

AD=CD=2E,

在RtABCD中，

/.£CBD=30°,

BC=2CD=leni,

HD=x/BC2-CD2=/42-22=2x/3(rrn),

/.AB=BD-AD=(2v/3-2)(cm).

故选：B.

根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可得到结论.

本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

6.【答案】B

【解析】解：连接0D,0E,

•.•MAD的度数为,

ZAOD=40。，

---CD=CO,

.•OD=OE,

NE=ND=40°,

Z.DOE=-40-4()3=100,

Z4O£=1003--10?=60c,

.-.MAE的度数是60°.

故选：B.

连接0D,OE,由弧AD的度数为40°,求出由等腰三角形的性质得到

Z£'=ZD=Z4OD=10。，求出//")£=180-40-10-1(阳，即可得到「1(%-100-40°=60°,

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即可求出弧AE的度数

本题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是由弧AD的度数为40°,求出乙400=40°.

7.【答案】C

12

【解析】解：।,

JT-1J2-1

1+1____________2

一(工+l)(x-1)(1+l)(x-1)

工+1—2

=(x+l)(x-l)

X-1

=(x+l)(z-l)

1

=工+T

故选：C.

由于是异分母的分式的加减，所以先通分，化为同分母的分式，然后进行加减即可.

本题主要考查了分式的加减，计算时首先判断分母是否相同，然后利用分式加减的法则计算即可.

8.【答案】B

【解析】解：：线段AD绕点A顺时针旋转9。得到线段AE,

AD=AE,NDW90,

../E』8+/£M〃=9(),

在△.18C中，/BAC90,AB-AC,

：.^BAl)+/.CAI)=9(『，ZC=Z.AI3C=卷,

£EAB=Z.CAD,

：.ZC=NABE=45,CD=DE,

：./£8C=Z.EBA+Z.ABC=90,

：B('-2,BD：CD-I：3,

iQ

BD=^,CD=BE=-,

11133

S△BDE=Z?£=2X2X2=8，

故选：B.

根据旋转的性质得出AD=AE,NDAE=90°,再根据SAS证明△瓦4B均ZiDAC得出

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ZC=£ABE=45°,CD=BE,得出N£BC=9（『，再根据三角形的面积公式即可求解.

本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，根据SAS证明之△DAC是解题的关键.

9.【答案】B

3工+2~~~k—]

【解析】解：解方程组，廿13V.3A-4I可得，

一〉-1

5

%=4+1

•.•点尸（"]，）总在直线“一/上方,

：.b>a,

7Q

-A:+1>--fc—1,

o5

解得k>-1,

故选：B.

将k看作常数，解方程组得到x,y的值，根据P在直线上方可得到b〉a,列出不等式求解即可.

本题考查了解二元一次方程组，一次函数上点的坐标特征，解本题的关键是将k看作常数，根据点在一次

函数上方列出不等式求解.

10.【答案】D

【解析】解：•.•点C为平面内一动点,

.•.点C在以点B为圆心，为半径的圆B上,

在x轴的负半轴上取点。（_5四,0）,

连接BD,分别过C、M作CFLO4,,垂足为F、E,

"1_（）11_3\/5,

,AD=OD+04=竽

OA2

'AD~3"

C.w："1=1:2,

OA2_AM

•Z.OAM=Z.DA（,

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OM_OA2

.•.当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当D,B,C三点共线，且点B在线段DC上时,

CD取得最大值，

0.4=()8=3>/5,OP=-1

BD=\/0B2+0D2=—,

CD=BC+BD=9,

OM2

,CD=3)

OM=(i,

・〃轴”轴，CFkOA,

：.NDOB=ZDFC=90°,

£BDO=ZCDF,

fCDF,

10

OBBD由q尼—

CF=CD'即¥=2,

53CF9

解得。/「=竺"，

5

同理可得，hAEMsAAFC,

12Vz5

解得二

OE=x/OAZ2-ME2=等

5

(j]2

二.当线段OM取最大值时，点M的坐标是(.V石，5x/5),

故选D

由题意可得点C在以点B为圆心，.为半径的圆B上，在X轴的负半轴上取点。(_+色,0),连接BD,分

221

别…过IC和4M作〃「产上。4,\HOI,垂-足7为F、E,先…AC…证A_得___,=()N”一(生)A一?2，从，一而

(DAU.5

当CD取得最大值时，0M取得最大值，结合图形可知当D,B,C三点共线，且点B在线段DC上时，CD

取得最大值，然后分别证△/""S-/，/)/,△AE.l/s△AFC,利用相似三角形的性质即可求解.

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本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角

形的判定及性质是解题的关键.

2

11.【答案】m(„,-2)

【解析】解：m3-4m24-4m

=m(m2—4m+4)

=m(m—2)2.

故答案为：—2尸.

先提取公因式m,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.

本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方

法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.

12.【答案】

2

【解析】解：:“、b分别满足M-34+2=0,护-36+2=0,

二a、b可以看作是一元二次方程」-3r+2=()的两个实数根，

/.a+6—3,ah=2,

•_1-A.—1—a__+__b=—3

-abab2,

故答案为：*

先根据题意把a、b看作是一元二次方程/_3工+2=0的两个实数根，利用根与系数的关系得到a+b=3,

ab=2,再根据1+!=中进行求解即可.

abao

本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的

关键.

13.【答案】(3,1)

【解析】解::△4BC与△4山61位似,且原点。为位似中心，且A8=3,点49,3),

二;x9=3,1x3=1,

即4点的坐标是(3,1),

故答案为：(3.1).

根据位似变换的性质计算，得到答案.

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本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那

么位似图形对应点的坐标的比等于k或-A.

14.【答案】

【解析】解：•.•点A表示的数是-1,线段,43=四，

.•.点B表示的数是一1+四，

•.•点B是AC的中点，

.♦.线段BC==

.•.点C表示的数是：-1+\8+&—2g-l,

故答案为：2四一1.

先表示出点B表示的数，再根据点B是AC的中点进行求解.

此题考查了用数轴上的点表示实数的能力，关键是能准确理解并运用该知识.

15.【答案】4

【解析】解：过点C作。。1”轴于点D,如图：

设点C的坐标为（"」，），点A的坐标为（（）,「），

.-.CD=a,OA=c,

•;△AOC的面积是6,

S&4OC=泉。,0.4==6,

...QC=12,

•.■点C（"."）在反比例函数y=[]>0）的图象上,

X

：.k=ab,

,・•点B为AC的中点，

,b+。、

，点。（1,

.点B在反比例函数"=j（.r>（））的图象上，

第13页，共23页

,ab+c

-k=2-'

即：Ik,=a（b+c）,

/.Ik=ab-ar,

将向=k,ac-12代入上式得：k=I.

故答案为：I

过点C作I，/轴于点D,设点C的坐标为s」”，点A的坐标为（（）,「）,贝!I。。-a,OA=c,由

的面积是6得，”=IK,将点「（〃.小代入反比例函数的表达式得卜仙,然后根据点B为AC的中点得点

B（*号），将点B代入反比例函数表达式得上=?•，’，据此即可取出k的值.

此题主要考查了反比例函数的图象，解答此题的关键是理解函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数

解析式的点都在函数的图象上.

16.【答案】解：①原式2+1+\/5+3-\/5-2

=4.

'2a+2）＞工+3（1）

解不等式①：得，〉一1,

解不等式②：得工＜3,

不等式组的解集是1＜工＜3.

【解析】（1）首先根据立方根定义、零指数零的性质、二次根式的化简、绝对值的性质、负整数指数零的性

质进行计算，然后从左向右依次计算，求值即可.

⑵分别求解两个不等式，得到不等式组的解集即可.

本题考查的是实数的运算、解一元一次不等式组，熟练运算法则是解题关键.

17.【答案】证明：：四边形ABCD是平行四边形，

AD=BC,AD//HC,

：.£EAO=£FC（）,LOEA=ZOFC,

二点0为对角线AC的中点，

.40=CO,

在△八OE和「中，

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Z.EAO=Z.FCO

<Z.OEA=Z.OFC,

AO=CO

.\AOE^/\COF\.\.\S),

：.AE=CF,

;.AD-AE=BC-CF,

DE=BF.

【解析】根据平行四边形的性质得到4D=BC,,进而推出/EAO=ZFCO,LOEA=£01(',

结合」0=CO,利用AAS证明△ROEzZXCOP,根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可.

此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键.

18.【答案】解：⑴把点.4(2.6)代入v―",1=2x6=12,

X

:反比例函数的解析式为7=y,

将点A向右平移2个单位，

/.—4,

12

当」।时，?/=—=3,

4

/?(4.3),

设直线AB的解析式为UI'"•'',

由题意可得｛门；：；：，

3

解得<〃'=一*

、71=9

3

y=-y+9,

当r一0时，y=9,

.­.C(0.9)；

(2)由(1)知CD—9-5-J,

S^ABD=S^BCD—S^ACD=TCDJXBI=-X4X4--X4X2=4.

【解析】(1)由点4(2,6)求出反比例函数的解析式为，二口，可得k值，进而求得/，".；"，由待定系数法

求出直线AB的解析式为i/=-*r+9,即可求出C点的坐标；

(2)由(1)求出CD,根据\BD~ACD~\(D可求得结论.

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本题考查了反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，求得直线

AB的解析式是解题的关键.

19.【答案】解：(1)如图，过点B作于点M,由题意可知,

Z.DBE=53。，，，

在中，，，

BM==150rn=EF,

：,DE=DF-EF=600-150=450(??i),

答：登山缆车上升的高度DE为450m；

2：在RtAB。匚中，匕DBE=53°,DE=450m,

..BD=DE

sin2DBE

,450

七两

=5(>2.5(z//),

「.需要的时间'；.।

300562.5

='[+

3060

y19.1(niin),

答：从山底A处到达山顶D处大约需要19.1分钟.

【解析】Ml根据直角三角形的边角关系求出BM,进而求出DE即可;

(2)利用直角三角形的边角关系，求出BD的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可.

本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提.

20.【答案】60

【解析】(1)调查的学生共有--60(名)；

O\J/O

故答案为：60；

⑵。合格的人数=6()-24-18-3=15(名),

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答：估计本次竞赛获得B等级的学生有480名;

（•）画树状图如下：

开始

小/1\/1\小

男2女I女2男1女1女2男1男2女2男1男2女1

，一共有12中等可能的情况，其中一男一女的情况有8种，

/.所选2人恰好是一男一女的概率为£=

（1）由优秀的人数除以所占百分比即可；

」：求出C合格的人数，补全条形统计图即可；

1-5：由该校共有学生人数乘以“良好”以上的学生所占的比例即可；

（I）画树状图，共有12种等可能的结果，其中被选中的两人恰好是一男一女的结果有6种，再由概率公式

求解即可.

此题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以

上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情

况数之比.

21.【答案】解：（1）当10时，%—9-xlO—1（万元），

5

答：将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是4万元；

⑵由题意得：当T="I时，"4—9”,

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=8,m2=0(舍去),

7〃=8；

HI设投入B项目的资金是t万元，投入A项目的资金h万元，一年后获利为W万元，

由题意得，

\V=-if2+2/+J32-t)=-1(t——1)2+1G,

555

.•.当t=4时，W最大=16,

32-/=28,

:投入A项目的资金是28万元，投入B项目的资金是4万元时，一年后获利最大.最大值是16万元.

2

【解析】⑴把10代入以―从而求得结果；

O

21c

⑵当工=m时，=~rn--m2+2m,从而求得结果；

55

设投入B项目的资金是t万元，投入A项目的资金「物-八万元，一年后获利为W万元，列出关系式

121

H=~~t~+2f+—(32—/)=——(/-4)'+l(i,进一步得出结果.

555

本题考查了二次函数及其图象性质，一元二次方程的解法等知识，解决问题的关键是根据题意列出函数关

系式.

22.【答案】(1)证明：•.•△A3C为等边三角形，

/-AC13=60r,AC=DC,

1,将CE绕点C顺时针旋转6。得到线段CF,

CE=CF,^ECF=60,

△431是等边三角形，

ZBCA=Z.ECF,

£BCE=AACF,

■..\BCE^£,A('F(SAS),

：.Z.CBE;ZC.4F；

(2)证明：如图所示，过点F作交DH点的延长线于点K,连接EK,FD,

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•・・△.•13。是等边三角形，

AB=AC=BC,

：AD1DC,

BD=CD,

AD垂直平分BC,

EB-EC,

又四L:\CF,

AF=BE,CF=CE,

AF=CF,

二厂在AC的垂直平分线上，

：AB=BC,

8在AC的垂直平分线上，

8F垂直平分AC,

.4C1HF,AG=CG=^AC,

：.NAGF-90r,

又.DG=：4C=CG,ZACD=60°,

.•.△DCG是等边三角形，

Z.CGD=ACDG=6(),

Z.AGH=Z.DGC=60",

£KGF=Z.AGF-Z.AGH=90°-60°=30°,

又Z.ADK=/.ADC-乙GDC=9()°-6。=30°,KF//AD,

Z/7AF=AADK=30°,

Z.FKGZ.KGF30,

第19页，共23页

FG=FK,

在RtACED与RtACGF中,

[CF=CE

\CD=CG,

：,RtACED^RtACFf；,

GF=ED,

ED=FK,

:四边形EDFK是平行四边形，

EH=HF；

(3)解：依题意，如图所示，延长AP,DQ交于点R,

由(2)可知△DCG是等边三角形，

AEDC；=3(),

•.•将△,IEG沿AG所在直线翻折至.【1/"’所在平面内，得到△APG,将△OEG沿DG所在直线翻折至

△ABC所在平面内，得到△DQG,

Z/MG=NEAG=30'，乙QDG=匕EDG=3()。，

^PAE-4QDE-6(),

△?!〃/i是等边三角形，

ZQDC=^ADC-Z.ADQ=9(『一60°=30°,

由⑵可得RtACEQ匕Rl£CFG,

DE=GF,

：.DE=DQ,

GF=DQ,

.4GBe=乙QDC=3(),

：.GF//DQ,

：.四边形GDQF是平行四边形，

QF=DG==2,

第20页，共23页

由⑵可知G是AC的中点，则GH=G0,

Z.GAD二NGDA30,

Z.AGD1200,

:折叠，

/.AGP+Z.DGQ=Z.AGE+ZDGE=Z.AGD=120°,

乙PGQ=360'-2/.AGD=120°,

又PGGEGQ,

PQ瓜PG瓜GQ,

:当GQ取得最小值时，即GQ_LO/?时，PQ取得最小值，此时如图所示,

GQ==纱。=1,

PQ=a,

PQ+QF=V3+2.

【解析】(1)根据旋转的性质得出CE=CF,ZECF=60°,进而证明△BCE以447尸(5A5),即可得

证；试⑵过点F作FKHAD,交DH点的延长线于点K,连接EK,FD,证明四边形四边形EDFK是平行

四边形，即可得证；I*如图所示，延长AP,DQ交于点R,由I*可知'.〃('(，,是等边三角形，根据折叠的

性质可得/P4G=NE4G=30°,ZQDG=Z.EDG=30,进而得出△八。/?是等边三角形，由।②可得

RtACED^BtACF(；,得出四边形GDQF是平行四边形，则QF=DC=-4C=2.进而得出

CPGQ=360°-2C4GD=120c,则尸Q=/3pG=/3GQ,当GQ取得最小值时，即G'Ql。"时，PQ

取得最小值,即可求解.⑴由“SAS”可证A4CF-△BCE,可得结论；

(2)

本题考查了等边三角形的性质，旋转