2024年高考数专项复习：常用逻辑用语

常用逻辑用语2024年高考数专项复习

知识点一：命题的概念

回顾1：什么是命题？

例1.判断下列语句是否为命题？若是命题，则判断其真假.

(1)空集是任何集合的子集；

(2)若allc,bile,则allb；

(3)若x?=l,则无=1；

(4)x＞5；

(5)难道正弦函数不是周期函数吗？

知识点二：命题的结构

回顾2：一种特殊形式的命题

例2.(1)若allc,bile,则a//b；

(2)若必=1,则x=l.

例3.将下列命题改写为“若p,则q”的形式，并判断其真假.

(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行；

(2)对角线相等的平面四边形是矩形.

解析：有一些命题虽然表面上不是“若p,则q”的形式，但适当的改写

后可以写成“若P，则q”的形式，那么就能很清楚地看出其条件和结论.

解：(1)“若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行”，真命题.

(2)“若一个平面四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形”，

假命题.

知识点三：四种命题

四种命题

例4.给出如下四个命题：

(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；若p,则q.

(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；若q,则p.

(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；I-----＞若”则

(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数.I-----＞若“贝卜p.

分析：（1）与（2）、（3）、（4）的关系.

（2）的条件是（1）的结论，结论是（1）的条件；

（3）的条件是（1）的条件的否定，结论是（1）的结论的否定；

（4）的条件是（1）的结论的否定，结论是（1）的条件的否定.

四种命题

原命题1“若P，则q."◄------------►逆命题“1若q,则p.”

否命题“若rp,贝Gq."------------►逆否命题”若rq,贝卜p.”

例5写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断四种命题的真假.

（1）若=0,则/+A?=0；

（2）若x=l,则x?-3x+2=0；

（3）若一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等.

解析：

（1）原命题：若应?=0,则/+/=0；假命题

逆命题：若〃+廿=。，则曲=0；真命题

否命题：若他00,则真命题

逆否命题：若则他W0.假命题

（2）原命题：若x=l,则/一3%+2=0；真命题

逆命题：若V—3x+2=0,则x=l；假命题

否命题：若xwl,则无2—3%+2#0；假命题

逆否命题：若炉―3x+2/0,则九A1.真命题

（3）原命题：若一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等;

真命题

逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等;

真命题

否命题：若一个三角形没有两条边相等，则这个三角形没有两个角

相等；真命题

逆否命题：若一个三角形没有两个角相等，则这个三角形没有两条

边相等.真命题

例5答案汇总

原命题逆命题否命题逆否命题

(1)假真真假

(2)真假假真

(3)真真真真

原命题“若p,则q."V-----------►逆命题”若q,则p.”

1XI

否命题“若rp,贝kq."◄-----------►逆否命题”若rq,贝卜p.”

如果两个命题互为逆否命题，则它们具有相同的真假性.

例6.设原命题：若。+匕22,则凡。中至少有一个不小于1.写出其逆

命题，并判断原命题及其逆命题的真假.

解析：逆命题：若。，。中至少有一个不小于1,则0+522.

很容易判断逆命题为假命题，如a=l,b=-l,a+3=0<2.对于原命

题，很容易判断其是真命题，但从正面似乎不大容易说清楚理由.考虑利

用逆命题与其同真假来说明.

答案：逆命题（从略）是假命题.

考虑逆否命题：若a力都小于1（a<l且b<l）,则a+b<2.

显然是真命题，所以原命题是真命题.

反思：如果从正面不容易说明命题“若p,则q”的真假，那么可以考虑

先说明其逆否命题的真假.这是有效的“以退为进”的间接做法.

练习：

写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.

(1)若a,6都是偶数，则a+匕是偶数;

(2)若m>0,则关于x的方程炉+x—wi=0有实根.

参考答案：

(1)逆命题：若a+匕是偶数,则。,。都是偶数；假命题

否命题：若a,6不都是偶数，则a+匕是奇数；假命题

逆否命题：若a+b是奇数，则。，。不都是偶数.真命题

(2)逆命题：若关于x的方程9+%-加=0有实根，则加>0；假命题

否命题：若mMO,则关于x的方程1+x—m=0没有实根；假命题

逆否命题：若关于x的方程/+X一机=。没有实根，贝卜”<0.真命题

总结：

1、可以判断真假的陈述句是命题.

逆命题”若q,则p.”

I

逆否命题“若rq,则rp.”

如果两个命题互为逆否命题，则它们具有相同的真假性.

充分条件与必要条件

一、回顾并引入新的概念

回顾：

判断下列命题的真假：

(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；

(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；

(3)若x>2,则x>l.

说明：如果命题“若p,则q”是真命题，那么称p可以推出q,

并记作pnq.

如果命题''若p,则q”是假命题，那么P不能推出q,

记作p^>q.

进一步，以(3)为例：

(3)若x>2,则x>L

解析：这里p是x>2,q是x>l,并且有p=>q.

一方面，条件p足以保证结论q成立，或者说能够“充分”保证结论q

成立.

另一方面，由于“原命题与其逆否命题等价”，所以“若x不小于1,则

x不小于2”，也就是说，X>1成立是尤>2成立的“必须要有”前提条件.

充分条件与必要条件

定义：如果命题“若p,则q”是真命题，那么记作pnq.

称p是q的充分条件，称q是p的必要条件.

(1)“若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数”是真命题，

则“f(x)是正弦函数"n“f(x)是周期函数”，

“f(x)是正弦函数”是“f(x)是周期函数”的充分条件，

“f(x)是周期函数”是“f(x)是正弦函数”的必要条件.

(3)命题“若x>2,则X>1”是真命题，

贝4“%>2"0“x>l”

“x>2”是“x>l”的充分条件；

“X>1”是“1>2”的必要条件.

(2)“若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数”是假命题，

则”f(x)是周期函数”与“f(x)是正弦函数”，

“f(x)是周期函数”不是“f(x)是正弦函数”的充分条件.

“f(x)是正弦函数”不是“f(x)是周期函数”的必要条件

二、例题

例1.完成下表

Pqp是q的什么条q是p的什么条

件件

X=1x2-4x+3=0

/(X)=X在

(-00,+oo)上

是增函数

X是无理数X2是无理数

a>ba+c>b+c

a>bac>bc

解析：如何判定？

——回归定义！判断“若p,则q"与“若q,则p”是否为真命题.

问题：为什么还要判断“若q,则p”是否为真命题呢？

总结：在判断p是q的什么条件时，既要判断“若p,则q”的真假，也

要判断“若q,则p”的真假，从而根据定义得出正确的答案.

例2.已知p：0<x<3,q：|x-l|<2,则p是4的()

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

解析：q：|x-l|<2,解得-l<x<3,亦即q：

如图，在数轴上画出集合P=(0,3),Q=(-l,3),/QA

I__>

-10123x

从图中看PQ,p=>q，但q/p,所以选择(A).

反思：充分条件和必要条件与集合之间的关系.

已知P=Q,记p：XGP,q：xeQ.

用图形表示P^Q,于是

“若xeP,则xeQ”是真命题，即有pnq,

所以p是q的充分条件，q是p的必要条件.

问题：(1)若p是q的充分不必要条件，那么集合P,Q是什么关系？

(2)若p是q的充要条件，那么集合P,Q是什么关系？

例3设xeR,则X>2的一个必要不充分条件是().

(A)x>l(B)%<1(C)x>3(D)x<3

解析：审清题目是关键！

利用定义确定x>2的必要不充分条件，那么x>2是“pnq”中

的p还是q呢？

根据题意可知，需要判断“x>2"n?

由图可知，选择(A)..

反思：要先确定x>2是p还是q,才能根据定义选择正确答案.

三、总结：

(1)定义：若p=>q,称p是q的充分条件，q是p的必要条件.

若pOq,称p是q的充分必要条件.

(2)判断“若p则q”与“若q则p”的真假，根据定义确定p是q的什

么条件.

(3)用集合观点理解充分条件与必要条件.

简单的逻辑联结词

一、逻辑联结词：且，或，非

例：给出如下命题：

(1)12是3的倍数；

(2)12是4的倍数；

(3)12是3的倍数，且12是4的倍数；

(4)12是3的倍数，或12是4的倍数；

(5)12不是3的倍数

在逻辑、数学中使用“且"、“或”、“非”三种逻辑联结词，用它们

和比较简单的命题能够构成相对复杂的命题.

例：给出如下命题：

(1)P;

(2)q；

(3)p且q；(记作p/\q)

(4)p或q；(记作pVq)

(5)非p.(记作「p)T•命题的否定

二、例题

例1将下列各组命题用“且”联结组成新命题：

(1)P：平行四边形的对角线互相平分，

q：平行四边形的对角线相等；

(2)p：集合力是6的子集，

q：集合力是4y6的子集；

(3)p：%2+1>1,

q：3>4.

解析：

(1)pAq：平行四边形的对角线互相平分且相等；

(2)pAq：集合/是/一6的子集，且是小」8的子集;

(3)pAq：X2+1>1,且3>4.

PqPAq

真真真

真假假

(1)P真，q真，pAq真;

假真假

(2)P假,q真，pAq假;

(2)P真，q假，pAq假.假假假

例2将下列各组命题用“或”联结组成新命题:

(1)P：平行四边形的对角线互相平分，

q：平行四边形的对角线相等；

(2)p：集合/是/"6的子集，

q：集合/是4.6的子集；

(3)p：%2+1>1,

q：3>4.

解析：

(1)pVq：平行四边形的对角线互相平分或相等；

(2)pVq：集合/是©-'6的子集，或是的子集;

(3)pVq：X2+1>1,或3>4.

PqPVq

真真真

(1)P真,q真，pVq真;真假真

(2)P假，q真，pVq真;

假真真

(2)P真，q假，pVq真.

假假假

例3写出下列命题的否定：

(1)P：平行四边形的对角线相等；

(2)p：集合/是4,6的子集；

(3)p：3>4.

解析：

(1)「p：平行四边形的对角线不相等;

(2)P：集合/不是8的子集;

(3)rp：3W4.

(1)P真，rP假;

(2)P真，rp假;

(3)P假，P真

问题：如何判断命题p/\q,pVq,rp的真假？

工具：真值表

pqPAqpVq「P

真真真真假

真假假真假

假真假真真

假假假假真

例4判断下列命题的真假：

(1)1是奇数，且1是素数；

(2)2是素数，且3是素数；

(3)2W2；

(4)周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等;

(5)y-sinx不是周期函数.

例5已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数,

则下列命题为真命题的是()

(A)Qp)Vq(B)pAq

(C)(rp)V(rq)(D)(rp)八(rq)

例6若命题pAq的否定是假命题，则()

(A)p和q都是真命题

(B)p和q都是假命题

(C)p是真命题，q是假命题

(D)p是假命题，q是真命题

练习：

1、将下列各组命题用“且”与“或”联结组成新命题，并判断它们的真假.

(1)P：4G{2,3},q：2e{2,3}.

(2)p：奇函数的图象关于原点对称；q：728.

2、写出下列命题的否定，并判断它们的真假.

(1)#47=-1；

(2)3是％2—9=0的根.

三、总结

(1)逻辑联结词：且(A),或(V),非Q).

(2)用真值表判断命题pAq,pVq,rp的真假

工具：真值表

PqpAqpVq「P

真真真真假

真假假真假

假真假真真

假假假假真

全称量词与存在量词

一、回顾：

下列语句是命题吗？

(1)尤＞3；

(2)2x+l是整数.

解析：命题是可以判断真假的陈述句.

问题：如何修改上述语句能使之成为命题？

解析：给变量x赋值或给出变量x的取值范围.

第一种修改：

(1)任意xe(4,5),都有x>3；

(2)对于所有实数x,都有2x+l是整数.

解析：“所有”、“任意”等通常称为全称量词，并用符号V表示.

含有全称量词的命题称为全称命题.

(1)Vxe(4,5),尤>3；

(2)VxeR,2x+leZ.

全称命题的一般形式：\/xeM,p(x).

第二种修改：

(1)存在与6(4,5),使得x0>3；

(2)至少有一个实数x0,使得2x0+l是整数.

解析：“存在”、“至少有一个”等通常称为存在量词，并用符号三表示.

含有存在量词的命题称为特称命题.

(1)3%0e(4.5),%0>3；

(2)3/eR,2x0+leZ.

特称命题的一般形式：3x0EM,p(X0).

二、例题

例1判断下列命题是全称命题还是特称命题.

(1)VxeR,x2+l>l；

(2)所有素数都是奇数；

(3)存在两个相交平面垂直于同一条直线；

(4)有些整数只有两个正因数.

解析：通过量词来确定命题是全称命题还是特称命题.

例2判断下列命题的真假.

(1)p：VxeR,x2+2>0；

(2)p：VxeN,x4>1.

例3判断下列命题的真假.

(1)p：3%0eZ,XQ<1；

(2)p：3%0eQ,Xg=3.

例4写出下列命题的否定，并判断真假:

(1)p：VXGR,x2—2x+1>0；

(2)p：所有能被3整除的数都是奇数；

(3)p：3XQeR,XQ—2x0+2>0；

(4)p：有的三角形是等边三角形.

例5%和b都不是偶数”的否定形式是()

(A)a和b至少有一个是偶数

(B)a和6至多有一个是偶数

(C)。是偶数，6不是偶数

(D)a和b都是偶数

三、练习：

判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：

(1)每条直线在y轴上都有截距；

(2)每个二次函数的图象都与x轴相交；

(3)存在一个三角形，它的内角和小于180°；

(4)存在一个四边形没有外接圆.

答案：

(1)假；否定：存在一条直线在y轴上没有截距；

(2)假；否定：存在一个二次函数的图象与x轴不相交;

(3)假；否定：任意三角形的内角和不小于180°；

(4)