高考数学一轮复习点点练：定积分与微积分基本定理

点点练11—定积分与微积分基本定理

I一基础小题练透篇

1.若”=「x2i/x,b=「x3Jx,c=C2sinxJx,则a,b,c的大小关系是()

JCJQJ0

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<b<aD.c<a<b

2.由曲线xy=l,直线y=x,y=3所围成的平面图形的面积为（）

32

A,~gB.2~In3

C.4+/〃3D.4—In3

3.［2023•甘肃省兰州市第一次月考］求由抛物线y=2x2与直线x=0,x=t（t>0）,y=0

所围成的曲边梯形的面积时，将区间［0,t］等分成n个小区间，则第i—1个区间为（）

「Ft(i-1)til

LnnJ

-t(i-2)t(i-1)一

D.--------,--------

LnnJ

4.若数列｛aj是公比不为1的等比数列，且a20i8+a2020=C2弋4一x?dx,则22017(22019

J0

+2a2021+a2023)—()

A.4层B.2MC.712D.3出

5.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v（t）=7—3t+币

（t的单位：s,v的单位：m/s）行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离（单位：㈤是（)

A.1+25/〃5B.8+25/几

C.4+25历5D.4+50加2

fl+x2,x<0,

6.已知分段函数f（x）=f(x—2)dx=()

X,x>0,

171

A.3+工B.2—eC.3--

7.设函数f(x)=ax2+b(ar0),若「f(x)dx=3f(x°),xo>O,则xo

J0

[2023•河南省信阳考试],2d+y/l—南一信2)ck=

8.

能力小题提升篇

1.［2023・兰州检测］曲线和直线x=0,x=l,y=；所围成的图形(如图中阴影部分

所示)的面积为()

A.1B.gC.3D.；

i—1

2.［2023•河北唐山联考］曲线y=干与其在点(0,—1)处的切线及直线尤=1所围成的

封闭图形的面积为()

A.1—In2B.2—21n2

C.21n2-lD.In2

3

3.［2023•河南商丘检测］已知不等式1一1时<0的解集为(一1,2),则(2e2x+x)dx

=()

A.e+万B.e—2

C.e2+^D.

4.［2023•河南省洛阳市考试］由抛物线y=-x?+4x—3及其在点M(0,—3)和点N(3,

0)处的两条切线所围成的图形的面积为()

997

A.aB.%caD2

x+4,—4<x<0,

5.［2023•江西省新余市第一中学考试］函数的图象f(x)=<与x轴所围

成的封闭图形的面积为.

6J2023•吉林省东北师范大学模拟］设y=f(x)为区间［0,1］上的连续函数，且恒有0<f(x)<l,

可以用随机模拟方法近似计算积分/f(x)dx,先产生两组(每组n个)区间［0,1］上的均匀随

机数X1，X2，…，Xn和yi，y2，…，yn>由此得到n个点(七，yi)(i=l,2,n),再数出

其中满足y>f(xi)(i=l,2,n)的点有m个，那么由随机模拟方法可得积分/f(x)dx的

近似值为.

f(x—4),x>0,

7」2023•吉林省实验中学检测诺f(x)=<2则f(2018)=

x

2+p0c(?53xdx,x<0,

一:高考小题重现篇

1.［湖南卷］由直线尤=冶,,y=0与曲线尸cosx所围成的封闭图形的面积为

()

A.B.1C.当D.y［3

2.［湖北卷］若函数於)，g(x)满足，J(')8(X)dX=0,则称f(x),g(x)为区间［—1,

1］上的一组正交函数.给出三组函数：

@f(x)=sin3x,g(x)=cos；x②f(x)=x+l,g(x)=x—1③f(x)=x,g(x)=x2.

其中为区间［—1,1］上的正交函数的组数是()

A.0B.1C.2D.3

3.［江西卷］若f(x)=x?+2'f(x)dx,贝!J「f(x)dx=()

Joo

A.—1B.l10§D.1

4.［湖北卷］已知二次函数y=f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为()

-1O

27r

A.T

5.(xT)dx=

6.［福建卷］如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它

落到阴影部分的概率为.

经典大题强化篇

1.［2023•四川绵阳模拟］A,2两站相距7.2km,一辆电车从A站开往B站，电车开出fs

后到达途中C点，这一段的速度为12m/s,到C点的速度为24m/s,从C点到8站前的。

点以等速行驶，从。点开始刹车，经fs后，速度为(24—12)m/s,在8站恰好停车，试求：

(1)A,C间的距离；

(2)2,。间的距离.

2.［2023•江西省赣州市赣县月考］已知函数7(x)=ar+lnx(aeR).

(1)若。=2,求导函数曲线y=/(x)与直线尤=1,x=e及x轴所围成的面积;

⑵求1x)的单调区间.

点点练11定积分与微积分基本定理

基础小题练透篇

1.答案：D

解析：a=f2x2Jx=(jx3^)|o=|,b=r2x3Jx=(jx4^|o=4,c=,sinxdx

JoJ0J0

、|2

=(—cosx)0=1—cos2.

•・・cos2£[—1,1],「.I—cos2£[0,2],

8

1—cos2<^<4,故c<a<b.

2.答案：D

[(3-)djr+X2X2=(3j;—InJC)+2

解析：S=Jmx24=4—/n3.

3.答案：D

解析：在[0,t]上等间隔插入(n-1)个分点，把区间[0,t]等分成n个小区间，每个小

区间长度均为:，故第i—1个区间为「由二9,配二».

nLnnJ

本题选择D选项.

4.答案：C____

解析：根据定积分的几何意义，「港二乒dx表示以原点为圆心，以2为半径的四分

_____J0

之一圆的面积，所以/44—x2dx=「所以a20i8+a2020=%,设a20i8=a,公比为q,则a+

2—

aq一冗,

242

所以a20i7(a20i9+2a202i+a2023)=1(aq+2aq3+叫5)=a2(i+2q+q)=a(1+

q2)2=[a(1+q2)]2=Z

5.答案：C

解析：令v(t)=7—3t+缶=0,又t>0,则t=4,汽车刹车的距离是p(7—3t+盖)

J0

dt=4+25/〃5.

6.答案：C

解析：f3f(x—2)dx=p2f(x—2)dx+f3f(x—2)dx=p2(x2—4x+5)dx+f3

•/]•/।«/•/।•/2

1x+2dx

=(JX3—2X2+5X^)1+(—0-x+2)2

=[[JX23-2X22+5X2)-[jxl3-2xl2+5xl^]+[(-^3+2)-(~e~2+2)]=1.

7.答案：A/3

解析：依题意得学，+bx)=3(axo+b),即3ax：=9a(a^O),XQ=3(XQ>0),

由此解得Xo=，5.

,jr

8.答案：In2+^

解析：由题意得，/.+11一(x-2)2)dx=「(dx+/25一(x—2)2dx=ln

x|i+£y/l-(x-2)2dx=/几2+[(x-2)2dx.

根据定积分的几何意义可知，「71一(x—2)2dx表示圆(x—2>+y2=l满足10x02,

J1

y>0的这一部分面积，即圆面积的〃,故/2yjl—(x—2)2dx=^.

-------------7T

因此,2(X-2)2dx~~In2+(x—2)2dx=In2+].

二能力小题提升篇

1.答案：D

解析：令X2=（,得x=T或X=一3（舍去），所以所求的阴影部分的面积为

!

；一乂2）dx+P］卜一£1）dx=2_1

Fol+x~4'

、2o2

2.答案：C

x—1x~1Ov—1

解析：因为y==，所以y'=（x+i）2'则曲线y=£jzy在（o,-1）

x+1

x—1

处的切线的斜率k=2,切线方程为y=2x—1,则曲线y=F7与其在点（0,—1）处的切

Jx十1

X—12

线及直线x=l所围成的封闭图形的面积S=2xT一节dx=(2x-1-1+।.)

x+1

oJ0

1

Jx=[x2—2x+2/n(x+1)]=2ln2—1.

o

3.答案：D

3x-1-a—3

解析：•.•不等式1<0,'(x+a)(x+a—3)<0,

x+a

3—a=-1

/.—a<x<—a+3,由于1<0的解集为（-1,2）,/.

x+a—a+3=2

2\I1_1

2x”(2e2x+x)dx==e2

解得a=l,；(2e+x)dx—~2,

oo

4.答案：A

解析：Vy=—x2+4x—3,则y，=—2x+4,

在点M(0,-3)的切线斜率ki=y%=o=4,切线方程y=4x—3,

在点N（3,0）的切线斜率k2=y，|［x=3=一2,切线方程y=-2（x—3）,

3

y=4x—3x=2

联立方程./八，解得V

.y=-2(x—3)

[y=3

即两切线的交点坐标为（|，3

3

22

所围成的图形的面积为S=o[(4x—3)—(—x+4x—3)]rfx+P2

2

[―2(x—3)—(―x2+4x—3)]dx

3131Q

2323323

=?oxJx+f3(x—6x+9)dx=qxpo+(2x—3X+9X)|3=[.

22

故选A.

5.答案：12

解析：由题意可得：围成的封闭图形的面积为:

兀]—

(x+4)Jx+j-Q^COSxdx=(5X2+4X)|°-+4sinx|2o

s=2，4

"-4

=0—(8—16)+4sin卜—0=12.

6.答案：1一々

解析：由题意得满足y£f(七)(i=l,2,n)的点有n—m个,

珈n—m-

故丁之f(x)

o

故积分「f(x)dx的近似值为1一个

J0

7

7.答案：五

71

itsin3x6=2X+|,所以f(2018)

解析：当x<0时，f(x)=2X+Pcos3xJx=2H

O3

0.

=f(2)=f(-2)+|7

12•

三高考小题重现篇

1.答案：D

解析：如图可得，1/

3

2.答案：C

解析：由题意，要满足f(x),g(x)是区间［—1,1］上的一组正交函数，即需满足/

—^COSX

1sinxdx=

3=o,故第①组是区间［—i,1］上的正交函数;f(x)-g(x)dx=f1(x+1)(x

-1JT

—1)dx=

4(x2—1)dx=©~—x)3=—gM，故第②组不是区间［—1,1］上的正交函数；

-1

)/f(x)g(x)dx=Jixx?dx=Jix3dx=?3=0,故第③组是区间［-1,1］

上的正交函数.综上，其中为区间［—1,1］上的正交函数的组数是2.

3.答案：B

解析：不妨设「f(x)dx=k,贝!Jf(x)=X2+2C1f(x)dx=x2+2k,所以pf(x)

J0J0Jo

dx=p(x2+2k)Jx=Qx3+2kx^+2k=k,得k=-g,即:f(x)dx=—g.

JoJ0

4.答案:B

解析：容易求得二次函数的解析式为f(x)=1—x2,所以S=「(l—x2)dx=(x—^)

l-i=］.

5.答案：0

解析：「(x—1)dx=(^x2—x^|ox22—2=0.

Jo

2

6.答案：.

解析：联