高中数学：高中数学知识方法

高中数学知识方法汇总

（理）（2020-06-12）

第一部分集合、复数、简易逻辑、不等式

一、集合：

1、集合｛%,出，…，凡｝共有2"个子集，有个真子集。

2、①是任何集合的子集。（子、交、并、补、全，空集最讨嫌）

二、复数：z=a+biCa,beR）

1、基本概念：复数的实部，虚部，纯虚数，共朝复数，复数的模。

2、Z=1Z『=|Z/+'2；

3、|z.z2HziIJzzI；IA1=1A!；\\z\-\z\\<\z±z\<\z\+\z,\.

Zl2lol

z2I2I

三、简易逻辑：

1、“充分条件”与“必要条件”：

如果p=q,那么p是q的充分条件，q是p的必要条件。

2、“否命题”与“命题的否定”：

（原）命题“若P，则q”的否命题是“若r?,则「q”；

而命题的否定则只是否定其结论。

3、全称命题p：VxeM,p（x）；其否定3%0eM,^p（x0）

特称命题p：3x0eM,p（x0）；其否定r>：VXG.

四、不等式：

1、不等式的性质：（如：倒数性质a>b,ab>Q=>1<1）

ab

2、不等式的证明（或比大小）：

（比较法（比差、比商）、函数单调性法、中间量法、放缩法、（三角）换元等等）

3、不等式的解法：（一元二次不等式；简单的分式不等式，等等）

4、重要不等式：@a2+b2>2ab；2（a2+Z?2）>（«+Z?）2

②a+b>24ab;ab<—（a+b）2（a>0,b>0）

即：巴广（结构：积、和、平方和、和的平方）

1

（在用“均值不等式”求最值时，必须紧扣“一正二定三相等”三个条件。）

③||«|-|M|<\a+b\<\a\+\b\（三角不等式，注意等号成立的条件）

5、不等式的应用：

如：定义域、值域（最值）的求法；单调性的推断；

特别地，求参数取值范围时，常常分离变量（或分类讨论）再求解。

其中不等式“恒成立问题”等问题常常转化为量值求解。

6、线性规划：（注意三类目标函数，如z=2尤+y,J（x-l）2+y2的几何意义）

x-4

附：不等式转化为最值问题：

①、对任意xeA,都有a>/（x）恒成立o；（a</（x）恒成立呢？）

②、对任意xwA,都有y（x）>g（x）恒成立oo

③、存在尤eA,使得a>/（x）成立o；（使得a</（x）成立呢？）

④、存在xeA,使得/（%）>g（x）成立o；

⑤、对任意x2eB,都有/（xj>g（%）恒成立Oo

⑥、对任意总存在%e3,使得/（玉）>8（々）成立oo

⑦、存在x2^B,使得/（Xi）>g（X2）成立O=

⑧、存在%2eB,使得/（%1）=g（%2）成立O。

第二部分函数、导数

一、“定义域”问题：•••研究函数时，定义域优先•••

1、,中的%20；6中的1之0；log°x中的x>0；2、实际问题

二、“值域”问题：.

1、基本函数的值域（如：丫=优（4>0且"1））

2、二次函数常用配方法；

3、分式函数常用分离整式法（如：）=空口）

X+1

4、（均值）不等式法；（注意：一正二定三相等）・••

5、利用函数的单调性、有界性、数形结合（如：利用几何意义求解（圆、椭圆

两点间的距离、两点连线的斜率、线性规划等）等方法。

2

三、“单调性”问题：一图二导三观察（变化）

1、图象法（掌握双勾函数y=+>0,〃>0）和y=（—W—）的图象）

x-ax+mam

2、导数法（注意：若/（X）递增，求所含参数时，则应满足止任•••）

3、观察法（观察y随x的变化如何变化。如：增+增一增；复合函数“同增异减”）

•••多个单调区间轻易不要用“U”•••

四、”奇偶性”问题：（定义、图象、赋值法）

1、奇土奇f奇，偶土偶f偶，奇X奇f偶，偶义偶f偶，奇X偶f奇.

2、偶函数无奇次项，奇函数无偶次项。（如/（x）=+an_iX"T+…+/%+。0）

3、/（x）为偶函数n/'（x）为奇函数；/（幻为奇函数n/'（x）为偶函数

4、几类常见奇函数：y=ln――y-ln（7x2+1-x）,.....

x+1

5、求奇（偶）函数式中的参数时,常用赋值法。

如：奇函数/（幻若在x=0处有意义，则有/（0）=0。

五、“周期性”问题：/（x±T）=/（x）O/（x）的周期为T。

六、”对称性与周期性”问题：

m

1、若/（X1）=/（X2）,且玉+%2=加（常数），则有对称轴％=万

2、若/（X1）+/（&）=0,且一+々=加（常数），则有对称中心（£,0）

3、若/（xi）=/（x2）,且七一%2=。（常数），则有周期T=a。

4、/（x+a）=—/（x）或/。+°）=编或/（x+a）=一点nT=2a

5、若函数具有两个对称性（对称轴〃y轴），那么这个函数一定具有周期性，且：

对称轴x=a,x=b=>T=2\a—b\;对称中心（a,0）,（b,0）=>T=2\a—b\;

对称轴尤=a,对称中心（b,0）=>T=4|a-）|.如：y=sinx,y=cosx

七、“零点”问题：（方程法、定理法、图象法）（二分法）

注意：1、超越方程需善于观察求解，或图象了解根的情况；

2,用零点存在性定理时，常结合单调性判断；

3、已知函数/（%）的零点个数求所含参数a时，或分离（参变量）或分类（讨论）

（分离变量，转化为a=g（x）的解的问题，并注意数形结合）

3

八、“图象变换”问题:

1、平移：y=/(x)--------->y=/(x+a)；_y=/(x)--------->y=/(x)+。

(点P(x,y)按a=(/?,左)平移后得点P(W),则x，=x+/z,y'=y+k

2、伸缩：y=/(x)----------->y=/(ox)；y=/(x)----------->y=Af{x)

3、翻折：y=/(x)----------->y=\/(x)I；y=/(x)----------->y=/(|x|)

4、中心对称：y=/(%)----------->y=-/(-x)

(另：纥三与归空^(。>0且"ND互为反函数，其图象关于直线y=x对称)

九、导数及其应用：

1、导数的几何意义：左切=/'(/)=;/1=跖

2、求切线方程的一般方法：

X已知切点时，曲线y=/(x)在点x=/处的切线方程为y-/(/)=/'(%)(x—%)

※不知切点时，需设切点坐标,并结合“切点既在切线上也在曲线上”等条件求之。

注意：(1)曲线在某点处的切线与曲线过某点的切线的区别；

(2)公切线问题：(分别求两曲线的切线方程，统一化为斜截式后对比即可)

3、利用导数求单调区间、极值、最值：

(1)/\%)>0n/(x)递增；但求参数时，/(x)递增n

(2)/'(%)=0是/(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件；

(3)函数/(%)在闭区间[a,b]上的最值总在端点或极值点取到。

十、定积分的应用：

利用[y(九)dr可求x轴上方的曲线f(x)与x轴及直线*=2/斗所围成的图形面积。

Ja

f[/(%)-g(x)]dx表示上方曲线f(x)与下方曲线g(x)及直线x=a,x=b围成的图形面积。

Ja

附：

n___

1、指数与对数运算：=而；log『,b"='log*；aogab=Z?

m

2、求导公式：(w±v)r=；(uv)r=；(—)r=o

v

复合函数的求导方法：y[=y：•另：37=〃ln〃；(k>g“xy=^^

4

3、熟记一些导数的常用结论(可结合图象记忆)

如：ex+lnx<x-l,lnx>l--,sinx<x<tanx(0<x<-)

x

4、几类重要函数图象:

三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(aWO)的图象

(1)当AW。时，/(%)有唯一零点；

f\x)=3ax2A-2bx-ic

当时，

A=4b2-12ac=4(/?2-3ac)(2)A>0

/(x)有唯一零点=/(%)/(工2)0;

/(九)有两个零点<=>/(^)/(%2)0;

/(%)有三个零点=/(^)/(%2)0o

补充几个常见函数图象:

(1)/(x)=xlnx(2)f(x)=xex(3)/(%)=xe~x

6、洛比塔法则:

£

若9或艺则

如limxlnx=lim=Hm—=lim(—x)=0

g(犬)0OOg(x)g\x)x-0+xf0+1x―0+1xf0+

XX2

5

第三部分三角函数

一、“化简与求值”类问题

①从角度关系入手:(和、差、倍、半、互余、互补)

如：工+=与工一a互余，工+a与女—a互补，cc=(«-—)+—)...

443333

②从函数名称入手:(切化弦，弦化切一适用于分式齐次式)

③从式子的结构特征入手:(熟记公式结构特征.另：sinx±cos尤，sin尤•cos尤)。

附：诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。同角基本关系式：(略)

和、差角公式二倍角公式降次公式

sin（cr±/?）=sina•cos/?±cosa•sin/3sin2a=2sinacosa

2.2l-cos2a

cos@±/?）=coscr-cos夕干sina•sin夕cos2a=cosa-sin2asma=--------

2

-2cos2a1

/,c、tana±tanB2l+cos2a

tan（6z±/?）=----------------2acosa=--------

1+tana•tan/3=l-2sin2

辅助角公式（asin6>+Z?cosg=Ja2+Z?2sin（4+。）其中tan°=2）

----------------------a

另：sinl5°=；sin75°=；tanl5°=；tan75°=。

二、“图象与性质”类问题:

1、熟悉正弦、余弦、正切曲线的图象与性质；

2,先将式子化为“一角一名一次”的形式；

3、运用“数形结合”、“整体思想”或“平移变换”等方法求解相关问题。如：周期性、

单调性、最值、对称性等；

注意：

(1)求正、余弦的单调区间时，应先将x的系数化正；•••

(2)正余弦图象的对称轴必经过“最高或最低点”,对称中心即是“平衡点”o

(3)正切函数的性质与正余弦函数的重要区别：定义域、值域、单调性、周期性

三、“解斜三角形"类问题：

1、正弦定理：=—也==(常用于边角互化，以及牵涉到对应边角的条件)

sinAsinBsinC

扇22

2、余弦定理：Q2=/+/一20c・cosA,cosA=---------------

2bc

3、面积公式：S=-^a-h=^absinC(|xxy2-x2yx\)

4、A+B+C=7insin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,sin=cos—

6

5、两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；大边对大角，小边对小角

6、几种特殊三角形：=1:1:72,1：V3:2,1:1：V3）

7、三角形中的“四心”：（正三角形四心合一，名为中心；反之，任两心重合的必为正三角形）

重心G外心0内心I垂心H

三条中线交点三条垂直平分线交点三条角平分线交点三条高的交点

幺孳

BDCBDC

AGBGCG2ABDB.......

GD-GE-GF-T0A=0B=0C=RAC-DC?

2尺='=上=工2S

GA+GB+GC=Gr=------

sinAsinBsinCa+b+c

（正弦定理）（等面积法）

"+X2+X3%+为+为、

G（3，3）RtA外心为斜边中点

jr

8、在锐角三角形△ABC中，由于2,所以sinA>cosB，sinB>cosA»«2+/?2>（?.

附：圆心角为a，半径为R的弧长公式和扇形面积公式：l=\a\-R，S扇=；/.尺=义|研出

第四部分平面向置

平面向量问题三大方法：

1、图形法2、坐标法3、基底法（通常选关起点的两个不共线向量作基底）

附：

1、若直线/的方向向量为t=，且直线/的斜率存在，则斜率左=。

2、平面向量共线定理：如果a^Q,那么o&=

推论：已知而=加而+〃而，则A、B、尸三点共线的充要条件是〃+“=1。

特别地,P为AB的中点时（而为AQA相勺中线向量时）<=>0P=0

3、向量的数量积：（分别用几何方式、坐标方式表示）,

（1）、定义：==。向量a在E方向上的投影为

（2）、重要性质：①（求模）101=7^7=

:②（求夹角）cos<a,b>=

③（判断垂直）albo

7

第五部分数列

一、等差数列与等比数列：（基本数列基本量或基本性质）

等差数列等比数列

定义=d（常数）=q（非零常数）

通项

a=a+(n—l)d=a+(n—m)da~=a—-q~〃一1=a一-q~n-m

公式nxmnxm

求和

s〃=-----------=-----------------

公式

若m+n=p+q=2k,若m+n=p+q=2k,

基则___________________________；则____________________________

本

等差（比）数列中，Cl,ak+m^ak+2m^ak+3m…也成等差（比）

性k

质

等差（比）数列中，sm,s2m-sm,s3m-s2m,…也成等差（比）

二、求通项公式乐：

1、等差数列、等比数列：

2、己知S“，求明,则a”1---------------------o（注意分类讨论）

3、由递推关系求明:

①叠加法：a„+1=an+/（«）=>+（«2-«；）+（tz3-«2）+••■+-an_}

②叠乘法：4+i=/（〃）•%na,=q••…&

a?an-i

③构造法：%=qa”+p=>an+i+%=q{an+A）

又如：na“+i=（n+l）an-n（n+l）,an+1=2a“+20,……

④分奇偶类求通项：如：an+i+an=2n

⑤归纳猜想（证明）

三、求前n和鼠：

1、等差、等比数列的求和公式；

2、分组求和法；

8

3、错位相减法：形如｛a/b/、｛%/2｝的数列求和（但“｝,｛>｝分别为等差、等比）

4、拆项相消法：形如｛---｝（其中｛a"为等差数列）的数列求和。

,^n+1

x111

女口•---------,---------=,------=o

«•（«+1）----------'n（H+2）-----------4/-1----------

5、倒序相加法（首尾配对）

四、与数列综合的不等式证明：常用放缩法一一常常与裂项相消法相关。

如：证明：1H—-H----1不<一（关键：-y<-=—（---------------））

2232n24KI」2/1-1n+1

五、用“函数”的观点解决数列问题：

运用函数思想可有效解决数列的单调性、最值等问题。特别地：

等差数列：a,=kn+b,Sn=Az?+Bn,是关于n的一次、二次函数;（dH0时）

等比数列：S.=C（l—〃"），是关于n的指数函数。时）。

•••对正负相间的摆动数列，在求值域或最值时，应分奇偶类。

五、用“归纳一猜想一证明”的思维方法探求某些数列问题。

第六部分立体几何

一、简单几何体（棱柱、直棱柱、正棱柱；棱锥、正棱锥；圆柱、圆锥、球）

1、空间几何体的直观图和三视图05五，长对正,）宽相等）。

2、空间几何体的表面积、体积：

圆柱表面积公式：

圆锥表面积公式:

$球=；/=

长、宽、高分别为a,b,c的长方体的一条体对角线长为

9

3、球的截面圆性质：如图，OO'，。。，且店=产+12。

外接球半径求法：直接法、补形法（补形为长方体）••

3V

内切球半径求法：直接法、等体积法（R内="）••

•••另：正四面体、正方体、球等几何体的对称性及相互关系。

（1）正方体中，平行且全等的AAgC、AADG与对角线3,垂直，且被3,三等分。

（2）正四面体的对棱（如AB与CD）互相垂直;且对棱间的距离为棱长;（AB=a）

二、空间的平行与垂直:

三、空间中的角

异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角

范围

(0,1][0,1][0㈤

图

—7

示Z^

几何找平行线找射影（斜足与垂足）找平面角（垂直于棱）

法一作（找）二证三求（解相关三角形）

向

sinZABC=|cos<AB,n>|Icos91=|cos<m,n>|

量cos^=|cos<a,b>\

法

•••结果要还原（并注意角的范围）•••

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第七部分解析几何

一、直线与圆

1、直线的方程：

（1）点斜式、斜截式、截距式；（各有局限）

（2）-■般式：Ax+By+C=0（当时，k=；b=）

2、直线平行、垂直的条件：

4//z2I1±z2

:y=k1X+瓦,l2-y=k2x+b2

4:4%+5］丁+储=0

Z2:4九+B2y+C2=0

3、距离公式：

（1）已知A（X[,%）、B（x2,y2）,贝!|IAB|=o

（2）点P（Xo，x））到直线Ax+5y+C=0的距离d=。

（3）平行线Ac+By+G=0、—+为+。2=0间的距离d=

4、圆的方程：标准方程一般方程参数方程

（x-a）2+（y-b）2-r2x2+y2+Dx+Ey+F=0

5、直线与圆的位置关系：

判断方法：（1）画图（2）比较圆心距与尺±厂的大小（3）方程组的个数

（两圆相交时，如何求相交弦所在直线方程？如何求相交弦长？）

11

二、圆锥曲线解题方法一一定义、性质、方程组（代点法）。（数形结合）

1、求曲线方程常用方法：（“轨迹方程”与“轨迹”的区别）

“待定系数法”、“定义法”、“直接法”、“相关点法”等。

2、求解直线与圆锥曲线的综合问题时，常运用方程（组）思想，“设而不求”…

①。••设直线y=或x=时，应考虑斜率k或斜率倒数加是否存在•••

②须保证/>0条件;对于双曲线与抛物线，还应考虑a=0和a丰0两种情况。

3、弦长公式：

①、\AB\=^je\X1-x2\=^e^=^±iyi-y2i=I^±^

②、抛物线的焦点（在X轴上）的弦长公式：|4初=七+9+2。

附：椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程、性质:

定义\MF{\+\MF2|=2a\\MF1\-\MF2\\=2a1MF|=|MM'\

X

图形一一ir

IK

标准2222—=2川（p〉。）

鼻+七=1(。〉6〉0)—7-75-=1(〃>。/>0)

方程abab

基本量长轴长2a,短轴长2b,焦距2c实轴长2a,短轴长2b,焦距2cp:焦准距

e，=Jl_与e(0,l)_c_1豆、

c——=——G((1,+00)

离心率a\aa\a

b

渐近线：y=±—x通径长为2P

a

（近日点，远日点）

焦点到渐近线的距离为b焦点弦中，通径最短

焦点三角形AM耳耳中，记22

.双曲线二-斗=〃人0）

ab

1MFX|=m,\MF21=n/FiMF?=d

22

①M为短轴端点时，。最大;有共同渐近线2=0

ab

2e

@^MAFiF1=b-tan-=c|y0

12

第八部分排列组合二项式定理概率统计

一、排列与组合：

1、遵循三个原则:先特殊后一般，先选后排，先分类后分步。

2、掌握基本类型:

“在与不在”问题：

“邻与不邻”问题；(捆绑法、插空法)

“均分不均分”问题：

“至多至少型”问题：(或分类相加，或对立相减)

二、二项式定理：(a+by=C：a"+CS…+留卫+…+C；b"

(注意：1、展开原理：从每个括号各取一项相乘；2、共有"+1项；

3、二项式系数与系数的区别；4、二项式系数最大的为正中间的一或两项)

二项式系数和：C：+C：+C；+…+C：=_;

q-CY-…+(-i)y=。

所有项系数和：(赋值法)通常将式中的字母取值：1或-1。

三、概率：求解概率问题的一般步骤：1、判断事件的类型2、运用相关公式求解。

1、古典概型(有限个基本事件，等可能)、几何概型(无限个基本事件，等可能)；

2、互斥事件A,B有一个发生的概率：P(AUB)=P(A)+P(B)

3、独立事件A,B同时发生的概率：P(AB)=P(A)P(B)

4、条件概率：P(8|A)=r@?=>P(AB)^P(A)-P(BIA)(概率乘法公式)

P(A)----------------------

5、n次独立重