江苏省各市2024年中考数学模拟试题分类解析：函数的图像与性质

专题6:函数的图象与性质

一、选择题

1.(2024江苏常州2分)已知二次函数y=a(x-2)2+c(a>0),当自变量x分别取应，3,0时，对应的

值分别为y2>y3>则y-y2>丫3的大小关系正确的是【

A.y3<y2<Y1B.Yi<y2<y3C.y2<Yi<y3D.y3<Yi<y2

【答案】Bo

【考点】二次函数的图象和性质。

【分析】由二次函数y=a(x-2)2+c(a>0)知，

它的图象开口向上，对称轴为x=2,如图所示。

依据二次函数的对称性，x=3和x=l时，y值相等。

由于二次函数y=a(x-2/+c(a>0)在对称轴x=2左侧，y随x的增

大而减小，而0<1〈应，因此，Yi<y2<y30故选B。

2.(2024江苏淮安3分)已知反比例函数丫=工」的图象如图所示，则实数m的取值范围是【

X

A、m>lB、m>0C、m<lD、m<0

【答案】Ao

【考点】反比例函数的性质。

【分析】依据反比例函数y=—(kwO)的性质：当图象分别位于第一、三象限时，k>0；当图象分别位

X

于其次、四象限时，左V0：•••图象两个分支分别位于第一、三象限，...反比例函数y=2匚的系数m-1>0,

x

即故选A。

k

3.（2024江苏南京2分）若反比例函数y=—与一次函数y=x+2的图像缘有交点，则k的值可以是

X.

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】Ao

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程的判别式。

【分析】把两函数的解析式组成方程组，再转化为求一元二次方程解答问题，求出k的取值范围，找出符

合条件的k的值即可：

•..反比例函数y=-与一次函数y=x+2的图象没有交点，

X

y=V①k

yx无解，即4=x+2无解，整理得x2+2x-k=0,

y=x+2②

.-.△=4+4k<0,解得k<一1。

四个选项中只有所以只有A符合条件。故选A。

勺口上，且yi>y2,则m的取值

4.（2024江苏南通3分）已知点A（—l,y。、B（2,y2）都在双曲线y=

范围是【

33

A.m<0B.m>0C.m>—yD.m<—y

【答案】Do

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，解一元一次不等式。

【分析】将A（-1,Y1）,B（2,y2）两点分别代入双曲线y=■直等\求出yi与y2的表达式:

__3+2m

Yi=-2m-3,y2=——。

由yi>y2得，-2m一3>+2m,解得m<—母。故选D。

--2z

5.（2024江苏苏州3分）若点（m,n）在函数y=2x+l的图象上，则2m-n的值是【

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】D。

【考点】直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】依据点在直线上，点的坐标满意方程的关系，将点（m,n）代入函数y=2x+l,得到m和n的关

系式：n=2m+l,即2m—n=11。故选D。

V

6.(2024江苏无锡3分)若双曲线y=—与直线y=2x+l的一个交点的横坐标为-1,则k的值为【】

x

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】Bo

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】依据点在曲线上点的坐标满意方程的关系，将x=l代入直线y=2x+l,求出该点纵坐标：y=-2+1=

k

-1,从而，将该交点坐标代入y=-即可求出k的值：k=-lx(-1)=1。故选B。

x

7.(2024江苏徐州3分)一次函数y=x-2的图象不经过【】

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第一象限

【答案】Bo

【考点】一次函数图象与系数的关系。

【分析】一次函数丫=代+13的图象有四种状况：

①当k>0,b>0时,函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限;

②当k>0,b<0时，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限;

③当k<0,b>0时,函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限;

④当k<0,b<0时,函数y=kx+b的图象经过其次、三、四象限。

因此，函数y=x—2的k>0,b<0,故它的图象经过第一、三、四象限，不经过其次象限。故选B。

8.(2024江苏镇江3分)关于x的二次函数y=(x+l)(x-m),其图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m

的取值范围是【】

A.m<—1B.—l<m<0C.0<m<lD.m>l

【答案】D。

【考点】二次函数的性质。

【分析】y=(x+l)(x-m)=x2+(l-m)x-m,

它的对称轴为*=-匕吧=巴二1。

2-12

又：对称轴在y轴的右侧，

rn—1

--=故选D。

2

二、填空题

1.(2024江苏常州2分)在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3,0),(DP是以点P为圆心，2为半径

的圆。若一次函数y=kx+b的图象过点A(―1,0)且与。P相切，则k+b的值为▲

26或2百

【答案】

【考点】一次函数综合题，直线与圆相切的性质，勾股定理，相像三角形的判定和性质，一次函数的性质。

【分析】如图，设一次函数y=kx+b与y轴交于点C,与。P相切于点P。

贝|OA=1,0C=Ib|,0P=3,BP=2,AP=4。

AB=7AP2-BP2=A/42-22=2百=

由△AOCSZSABP,得匹="，即也1=2，

BPAB22V3

解得问=亭。

•产=忖=3

“AO13

由图和一次函数的性质可知，k,b同号,

，k+b=毡或k+b=一辿。

33

2.(2024江苏常州2分)如图，已知反比例函数y=.(ki>0)和y=±2(k2<0)。点A在y轴的正半轴上,

过点A作直线BC〃x轴，且分别与两个反比例函数的图象交于点B和C,连接OC、OBo若△BOC的面

【答案】2,一3。

【考点】反比例函数综合题，反比例函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】设点A(0,a)(:点A在y轴的正半轴上，；.a>0),则点B(Xa),点C(殳，a)。

aa

.\OA=a,AB=-&(Vk9<0),AC=殳(Vk]>0),AB=±-^。

aaaa

VABOC的面积为*,i-f---'a~）即k「k2=5①。

2

XVAC：AB=2：3,=2：3,即31+2k2=0②。

联立①②，解得扇=2,k2=-3o

3.（2024江苏淮安3分）如图，射线OA、BA分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数的图象,

图中s、t分别表示行驶距离和时间.，则这两人骑自行车的速度相差▲km/人

【答案】4。

【考点】一次函数的图象和应用。

【分析】要求这两人骑自行车的速度相差，只要由图象求出两人5h行驶的距离即可：

甲5h行驶的距离为100km,故速度为1004-5=20km/h；

乙5h行驶的距离为100km-20km=80km,故速度为804-5=16km/h。

这两人骑自行车的速度相差20-16=4km/ho

2

4.（2024江苏连云港3分）已知反比例函数y=—的图象经过点A（m,1）,则m的值为▲.

x

【答案】2。

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】•・•反比例函数y=—的图象经过点A（m,1）,・・.2=工，即m=2。

x1

5.（2024江苏连云港3分）如图，直线y=kix+b与双曲线丫=心交于A、B两点，其横坐标分别为1和

x

5,则不等式kix<a+b的解集是▲.

X

【答案】一5<x<—l或x>0。

【考点】不等式的图象解法，平移的性质，反比例函数与一次函数的交点问

题，对称的性质。

【分析】不等式kix<&+b的解集即k1X-b<匕的解集，依据不等式与

XX

V

直线和双曲线解析式的关系，可以理解为直线y=kix-b在双曲线y二立下

x

方的自变量X的取值范围即可。

而直线y=kix—b的图象可以由y=kix+b向下平移2b个单位得

到，如图所示°依据函数图象的对称性可得：直线y=kix—卜和丫=1<产+1）与双曲线y=£•的交点坐

xx

标关于原点对称。

由关于原点对称的坐标点性质，直线y=kix—b图象与双曲线y=匕图象交点A，、B，的横坐标为

X

A、B两点横坐标的相反数，即为一1,一5。

k

・••由图知，当一5VxV—1或x>0时，直线y=kix—b图象在双曲线y=，■图象下方。

x

・••不等式kix<—+b的解集是一5<xV—1或x>0o

x

6.（2024江苏南京2分）已知一次函数y=kx+k—3的图像经过点（2,3）,则k的值为▲

【答案】2。

【考点】直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】依据点在直线上，点的坐标满意方程的关系，将（2,3）代入y=kx+k—3,得

3=2k+k—3,解得，k=2o

7.（2024江苏苏州3分）已知点A（xi,yi）>B（X2,y2）在二次函数y=（x—1）2+1的图象上，若

XI>X2>L则yi▲

【答案】>o

【考点】二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质。

【分析】由二次函数y=（x—1）2+1知，其对称轴为x=l。

・・・X1>X2>1,・,・两点均在对称轴的右侧。

・・,此函数图象开口向上，，在对称轴的右侧y随X的增大而增大。

VXI>X2>L.*.yi>y2o

8.（2024江苏苏州3分）如图，已知第一象限内的图象是反比例函数丫=工图象的一个分支，其次象限

X

2

内的图象是反比例函数丫=-上图象的一个分支，在X轴上方有一条平行于久轴的直线I与它们分别交于点A、

X

B,过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D.若四边形ACDB的周长为8且AB<AC,则点A的坐标是

【答案】（-13）。

3

【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，解分式方程。

【分析】：点A在反比例函数y=L图象上，，可设A点坐标为（a,1）。

xa

；AB平行于x轴，.•.点B的纵坐标为!。

a

221

・・,点B在反比例函数产-*图象上，・・・B点的横坐标x=-2a,即B点坐标为（-2a,-）。

xya

AB=a~（—2a）=3a,AC=—。

a

•・,四边形ABCD的周长为8,而四边形ABCD为矩形，

・・・AB+AC=4,即3a+'=4,整理得，3a2-4a+l=0,即（3a—1）（a-1）=0。

a

._1-

・•a1—，3.2-1o

3

VAB<AC,.\a=-o；.A点坐标为（L3）。

33

9.（2024江苏宿迁3分）在平面直角坐标系中，若一条平行于x轴的直线1分别交双曲线y=-。和y=2

xx

于A,B两点，P是x轴上的随意一点，则4ABP的面积等于▲.

【答案】4。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】设平行于X轴的直线1为y=m(m川)，

则它与双曲线y=-£和y=2的交点坐标为A(,m),B(—,m)o

xxmm

m<my|m|

1Q

**•AABP的面积=—­।~r-Iml=4o

21mli1

10.(2024江苏无锡2分)若抛物线y=ax?+bx+c的顶点是A(2,1),且经过点B(1,0),则抛物线的函

数关系式为▲.

【答案】y=-X2+4X-3。

【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】••,抛物线丫=2*2+6*+<:的顶点是A(2,1),...可设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+1„

又：抛物线y=a(x-2)?+1经过点B(1,0),(1,0)满意y=a(x-2)2+1。

将点B(1,0)代入y=a(x-2)2得，o=a(1-2)2即a=-1。

.•.抛物线的函数关系式为y=-(x-2)2+1,即y=-x?+4x-3。

11.(2024江苏徐州2分)正比例函数y=k]X的图象与反比例函数y=母的图象相交于点(1,2),贝|(+]<2=

X

【答案】4o

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】依据点在曲线上，点的坐标满意方程的关系，将(1，2)分别代入丫=显*和丫=匕，得曷=2,匕=2,

X

则k1+k2=4o

3

12.(2024江苏徐州2分)函数y=x+2的图象如图所示，关于该函数，下列结论正确的是一▲(填

x

序号)。

①函数图象是轴对称图形；②函数图象是中心对称图形；③当x>0时，函数有最小值；④点(1,4)在函

数图象上；⑤当xVl或x>3时，y>4o

【答案】②③④.

【考点】函数的图冢和性质，轴对称图形和中心对称图形，曲线上点的坐标与方程的关系.

【分析】根据图冢作出判断：

①函数图冢不是轴对称图形.故结论①错误.

②函数图冢是中心对称图形，对称中心是坐标原点.故结论②正确。

③：当x>0时，尸计』=W-李|+25，...函数有最小值2折.故结论③正确。

xIJxJ

④...当x=l时，y=l+j=4。.•.点（1,4）在函数图象上.故结论④正确.

⑤...当x<0时，yVO,...当xVl时，y不大于4.故结论⑤错误.

,结论正确的是②③④.

13.（2024江苏盐城3分）若反比例函数的图象经过点若（-1.4）.则它的函数关系式是▲.

4

【答案】y=—o

x

【考点】待定系数法，反比例函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。

“4

【分析】设函数解析式为y=—，将P（-l,4）代入解析式得左=~k故函数解析式为丁=——。

xx

14.（2024江苏扬州3分）如图，线段AB的长为2,C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB

的同侧作两个等腰直角三角形4ACD和ABCE,那么DE长的最小值是▲.

【答案】1。

【考点】动点问题，等腰直角三角形的性质，平角定义，勾股定理，二次函数的最值。

【分析】设AC=x,则BC=2—x,

E

'：AACD和aBCE都是等腰直角三角形，

；./DCA=45。，ZECB=45°,DC=—x,CE=—(2-x)。

22ACB

・・・NDCE=90。。

/.DE2=DC2+CE2=)2+[^-(2—x)]2=x2—2x+2=(x—：

l)2+lO

22

...当x=l时，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1。

V

15.(2024江苏扬州3分)如图，双曲线y二—经过RL^OMN斜边上的点A,与直角边MN相交于点B,

X

三知OA=2AN,ZkOAB的面积为5,则k的值是▲.

M7

【答案】12。

【考点】反比例函数综合题。

【分析】如图，过A点作ACLx轴于点C,则AC〃NM,

4

AAOAC^AONM,：.OC：OM=AC：NM=OA：ON-

XVOA=2AN,AOA：ON=2：3。

设A点坐标为(xo,yo),贝ijOC=xo,AC=yo。

33_33CM7

OM—9_Yo°:・N点坐标为(务乂。，—YQ)o

3

・••点B的横坐标为]xo,设B点的纵坐标为yB,

k32

•・,点与点都在图象上，・・・・・。「・

ABy=—k=xoyo=—x0yBYB=§y。°

x2

32

.♦.B点坐标为(5X0，—YQ)O

VOA=2AN,AOAB的面积为5,.;△NAB的面积为*。

AONB的面积=5+-=—。

222

-NBOM=—1<0>Q15

2即9。

2,315yo3X0=5/.x0-y0==12o.*.k=12o

16.（2024江苏镇江2分）写出一个你喜爱的实数k的值▲,使得反比例函数y=L2的图象在

X

第一象限内，y随x的增大而增大。

【答案】1（答案不唯一）。

【考点】反比例函数的性质。

【分析】依据反比例函数y=±（mw0）的性质：当m>0时函数图象的每一支上，y随x的增大而减小；

X.

当mVO时，函数图象的每一支上，y随x的增大而增大。因此，

若反比例函数y=J的图象在第一象限内，y随x的增大而增大，则k-2V0,即kV2。

x

.••只要取k<2的任■实数即可，如k=l（答案不唯一）。

三、解答题

1.（2024江苏常州7分）某商场购进一批L型服装（数量足够多），进价为40元/件，以60元/件销售，

每天销售20件。依据市场调研，若每件每降1元，则每天销售数量比原来多3件。现商场确定对L型服

装开展降价促销活动，每件降价x元（x为正整数）。在促销期间，商场要想每天获得最大销售利润，每件

降价多少元？每天最大销售毛利润为多少？（注：每件服装销售毛利润指每件服装的销售价与进货价的差）

【答案】解：依据题意，商场每天的销售毛利润Z=（60—40—x）（20+3x）=-3x2+340x+400

・••当x=--竺=6?时，函数Z取得最大值。

2a-33

22

：x为正整数，>7-6-<6--6,

33

当x=7时，商场每天的销售毛利润最大，最大销售毛利润为-3・72+40・7+400=533。

答：商场要想每天获得最大销售利润，每件降价7元，每天最大销售毛利润为533元。

【考点】二次函数的应用，二次函数的最值。

【分析】求出二次函数的最值，找出x最接近最值点的整数值即可。

2.（2024江苏淮安10分）国家和地方政府为了提高农夫种粮的主动性，每亩地每年发放种粮补贴120元,

种粮大户老王今年种了150亩地，.安排明年再承租50~150亩土地种粮以增加收入，考虑各种因素，预料

明年每亩种粮成本y（元）与种粮面积x（亩）之间的函数关系如图所示：

（1）今年老王种粮可获得补贴多少元？

（2）依据图象，求.y与x之间的函数关系式；

（3）若明年每亩的售粮收入能达到2140元，求老王明年种粮总收入W（元）与种粮面积x（亩）之间的

函数关系式，当种粮面积为多少亩时，总收入最高？并求出最高总收入。

八元)

1280

1000

o205275x(亩)

【答案】解：(1).・.国家和地方政府为了提高农民种粮的积极性，每亩地每年发放种粮补贴120元，种粮

大户老王今年种了15。亩地，

二今年老王种粮可获得补贴120x150=18000元。

(2)设函数解析式为y=kx+b,根据图冢可以得出：图冢过(2。5,1。0口)，(275,1280),

代人解析式得，F°5：+：=1皿,解得，[了.

[275k+b=1280[b=180

.\y与x之间的函数关系式为：y=4x+180(x>0).

(3)根据题意得出：W=(2140-y)X+120X=[2140-(4X+180)]+120X

=-4x2+1960x+120x=-4x2+2080x=-4(x-260)a+270400.

...当x=26。时，W最大=270400(元).

答：当种粮面积为260亩时，总收入最高为270400元.

【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值.

【分析】(D根据每亩地每年发放种粮补贴120元，种粮大户老王今年种了150亩地，得出老王种粮可获

得补贴数目.

(2)利用待定系数法求出一次函数解析式即可.

(3)根据明年每亩的售粮收入能达到2140元，预计明年每亩种粮成本y(元)与种粮面积x(亩)

之间的函数关系为y=4x+180,从而得出W与x的函数关系式，再利用二次函数的最值公式求出即可.

3.(2024江苏连云港10分)如图，。。的圆心在坐标原点，半径为2,直线y=x+b(b>0)与。O交于A、

B两点，点O关于直线y=x+b的对称点0、

(1)求证：四边形OAO，B是菱形；

(2)当点O,落在。O上时，求b的值.

【答案】(I)证明：•••点o、O'关于直线丫=*+1)的对称,

.,.直线丫=*+1?是线段00,的垂直平分线，；.AO=ACy,BO=BOl

又：OA,OB是OO的半径，.,.OA=OBo

AO=AO，=BO=BO，。四边形OACXB是菱形.

(2)解：如图，设直线y=x+b与x轴、y轴的交点坐标分别是

N(-b,0),P(0,b),AB与00,相交于点M。

则AONP为等腰直角三角形，.,.ZOPN=45°=

,四边形OACTB是菱形，.♦.OMLPN。

/.△OMP为等腰直角三角形。

当点0'落在圆上时，OM=』OO，=1。

2

在RtZkOMP中，由勾股定理得：OP=及,即b=J^。

【考点】一次函数综合题，线段中垂线的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，

勾股定理。

【分析】(1)依据轴对称得出直线y=x+b是线段00D的垂直平分线，依据线段中垂线上的点到比下有余

两端的距离相等得出AO=AO，，BO=BO\从而得AO=AO，=BO=BO，，即可推出答案。

(2)设直线y=x+b与x轴、y轴的交点坐标分别是N(—b,0),P(0,b),得出等腰直角三角形ONP,

求出OM_LNP,求出MP=OM=1,依据勾股定理求出即可。

4.(2024江苏连云港10分)我市某医药公司要把药品运往外地，现有两种运输方式可供选择，

方式一：运用快递公司的邮车运输，装卸收费400元，另外每公里再加收4元；

方式二：运用铁路运输公司的火车运输，装卸收费820元，另外每公里再加收2元，

(1)请分别写出邮车、火车运输的总费用yi(元)、y2(元)与运输路程x(公里)之间的函数关系式；

(2)你认为选用哪种运输方式较好，为什么？

【答案】解：(1)由题意得：yi=4x+400；y2=2x+820。

(2)令4x+400=2x+820,解得x=210。

...当运输路程小于210千米时，yi<y2,,选择邮车运输较好;

当运输路程小于210千米时，yi=y2，,两种方式一样；

当运输路程大于210千米时，yi>y2,选择火车运输较好。

【考点】一次函数的应用。

【分析】(1)依据方式一、二的收费标准即可得出yi(元)、y2(元)与运输路程x(公里)之间的函数关系式。

(2)比较两种方式的收费多少与x的改变之间的关系，从而依据x的不同，选择合适的运输方式。

5.(2024江苏连云港12分)如图，抛物线y=-x?+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,点

O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF=

2,EF=3,

(1)求抛物线所对应的函数解析式;

(2)求4ABD的面积;

(3)将aAOC绕点C逆时针旋转90。，点A对应点为点G,问点G是否在该抛物线上？请说明理由.

【答案】解：(1)：四边形OCEF为矩形，OF=2,EF=3,

...点C的坐标为(0,3),点E的坐标为(2,3).

把x=0,y=3；x=2,y=3分别代入y=—x?+bx+c,得

c=3b=2

,解得

-4+2b+c=3c=3

抛物线所对应的函数解析式为y=-x2+2x+3o

(2)Vy=-x2+2x+3=-(x-l)2+4,

.••抛物线的顶点坐标为D(l,4)。.二△ABD中AB边的高为4。

令y=0，得一X2+2X+3=0,解得XI=-1,X2=3。

AB=3—(—l)=4o

AABD的面积=Lx4x4=8。

2

(3)如图，△AOC绕点C逆时针旋转90。，CO落在CE所在的

直线上，由(1)⑵可知OA=1,OC=3,

•.•点A对应点G的坐标为(3,2)o

:当x=3时，y=-32+2x3+3=0先,

.••点G不在该抛物线上。

【考点】二次函数综合题，矩形的性质，曲线图上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，二次函数的

性质，旋转的性质。

【分析】(1)在矩形OCEF中，已知OF、EF的长，先表示出C、E的坐标，然后利用待定系数法确定该函

数的解析式。

(2)依据(1)的函数解析式求出A、B、D三点的坐标，以AB为底、D点纵坐标的肯定值为高，可

求出4ABD的面积。

(3)依据旋转条件求出点A对应点G的坐标，然后将点G的坐标代入抛物线的解析式中干脆进行

判定即可。

6.(2024江苏南通9分)甲、乙两地相距300km,一辆货车和一辆轿车先后从甲地动身向乙地.如图，

线段0A表示货车离甲地距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地距离y(km)

与时间x(h)之间的函数关系.请依据图象，解答下列问题：

(1)线段CD表示轿车在途中停留了h；

(2)求线段DE对应的函数解析式；

(3)求轿车从甲地动身后经过多长时间追上.货车.

【答案】解：⑴0.5o

(2)设线段DE对应的函数解析式为y=kx+b(2.5<x<4.5),

点坐标为(2.5,80),E点坐标为(4.5,300),

80=2.5k+b—Fk=110

代入y=kx+b，得：,解得：

300=4.5k+b[b=-195

线段DE对应的函数解析式为：y=110x-195(2.5<x<4.5)o

(3)设线段OA对应的函数解析式为y=mx(0<x<5),

：A点坐标为(5,300),代入解析式y=mx得，300=5m,解得：m=60。

线段OA对应的函数解析式为y=60x(0<x<5)

由60x=110x—195,解得：x=3.9o

货车从甲地动身经过3.9小时与轿车相遇，即轿车从甲地动身后经过2.9小时追上货

车。

答：轿车从甲地动身后经过2.9小时追上货车。

【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】(1)利用图象得出CD这段时间为2.5-2=0.5,得出答案即可。

(2)由D点坐标(2.5,80),E点坐标(4.5,300),用待定系数法求出线段DE对应的函数

解析式。

(3)用待定系数法求出OA的解析式，列60x=110x-195时，求解减去1小时即为轿车追上货车

的时间。

7.(2024江苏南通14分)如图，经过点A(0,—4)的抛物线y=32+bx+c与x轴相交于点B(—0,0)

和C,O为坐标原点.

(1)求抛物线的解析式；

17

(2)将抛物线y=f?+bx+c向上平移^■个单位长度、再向左平移m(m>0)个单位长度，得到新抛物

线.若新抛物线的顶点P在AABC内，求m的取值范围；

(3)设点M在y轴上，ZOMB+ZOAB=ZACB,求AM的长.

【答案】解:(1)将A(0,—4)、B(-2,0)代入抛物线y=1x2+bx+c中，得:

0+c=-4b=-l

解得,

2—2cb=+-c4=0

•••抛物线的解析式：y$2—x—4。

(2)由题意，新抛物线的解析式可表示为：y=1(x+m)2-(x+m)-4+1,

即：y=^x2+(m-l)x+^-m2-m-io它的顶点坐标P(1—m,一1)。

由(1)的抛物线解析式可得：C(4,0)。

・••直线AB：y=-2x-4；直线AC：y=x—4。

当点P在直线AB上时，一2(1-m)-4=-l,解得：m=-；

2

当点P在直线AC上时，(1-m)+4=-l,解得：m=-2；

又：m>0,

当点P在AABC内时，0<m<*o

2

(3)由A(0,-4)、B(4,0)得：OA=OC=4,且AOAC是等腰直角三角形。

如图，在OA上取ON=OB=2,则NONB=NACB=45。。

AZONB=ZNBA+OAB=ZACB=ZOMB+ZOAB,

即NONB=NOMB。

如图，在△ABN、AAM,B中，

ZBAN=ZMiAB,ZABN=ZAM,B,

.'.△ABN^AAMIB,得：AB2=AN«AMI；

由勾股定理,得AB2=(-2)2+42=20,

又AN=OA-ON=4-2=2,

；.AMi=20+2=10,OMi=AMi-OA=10-4=6o

而/BMiA=/BMbA=/ABN,.•.OMI=OM2=6,AM2=OM2-OA=6-4=2o

综上，AM的长为6或2。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，二次函数的性质，等腰直角三角

形的判定和性质，勾股定理。

【分析】(1)该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A、B两点坐标代入即可得解。

(2)首先依据平移条件表示出移动后的函数解析式，从而用m表示出该函数的顶点坐标，将其

代入直线AB、AC的解析式中，即可确定P在△ABC内时m的取值范围。

(3)先在OA上取点N,使得/ONB=NACB,那么只需令/NBA=NOMB即可，明显在y轴的正

负半轴上都有一个符合条件的M点；以y轴正半轴上的点M为例，先证△ABN、Z^AMB相像，然后通过

相关比例线段求出AM的长。

8.（2024江苏苏州10分）如图，已知抛物线yJx?-，（b+l）x+2（b是实数且b>2）与x轴的正半轴

44V74

分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C.

⑴点B的坐标为▲,点C的坐标为▲（用含b的代数式表示）；

⑵请你探究在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且4PBC是以点P为直角

顶点的等腰直角三角形？假如存在，求出点P的坐标；假如不存在，请说明理由；

⑶请你进一步探究在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO、AQCIA和AQAB中的随意两个三角形

均相像（全等可看作相像的特别状况）？假如存在，求出点Q的坐标；假如不存在，请说明理由.

【答案】解：(1)B(b,0),C(0,-)o

4

（2）假设存在这样的点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且APBC是以点P为直角顶

点的等腰直角三角形。

设点P